數(shù)學(xué)世家伯努利家族的貢獻(xiàn) (3)

1、南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文南 京 師 范 大 學(xué) 泰 州 學(xué) 院畢 業(yè) 論 文（設(shè) 計）（ 一 四 屆）題 目： 數(shù)學(xué)世家伯努利家族的貢獻(xiàn) 院（系、部）： 數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名： 夏玲玲 學(xué) 號 08100439 指導(dǎo)教師： 馬云 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院教務(wù)處 制摘要：在18世紀(jì)的世界科學(xué)史上，瑞士伯努利家族發(fā)出了耀眼的光輝，創(chuàng)造了這樣一個神話，在一個家族跨世紀(jì)的幾代人中，連續(xù)出過十余位科學(xué)家，堪稱科學(xué)史上的一個奇跡。伯努利家族在力學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)、生理學(xué)、領(lǐng)域里具有根本性的貢獻(xiàn)，伯努利家族3代人中產(chǎn)生了8位科學(xué)家，出類拔萃的至少有3位,而在他們一代又一代的

2、眾多子孫中，至少有一半相繼成為杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人們系統(tǒng)地追溯過，他們在數(shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)、工程乃至法律、管理、文學(xué)、藝術(shù)等方面享有名望，有的甚至聲名顯赫。最不可思議的是這個家族中有兩代人，他們中的大多數(shù)數(shù)學(xué)家，并非有意選擇數(shù)學(xué)為職業(yè)，然而卻忘情地沉溺于數(shù)學(xué)之中。在整個世界科學(xué)界起著承前啟后，開辟科學(xué)新時代的作用。關(guān)鍵詞：伯努利家族；數(shù)學(xué)；成就；物理學(xué)；Abstract: In eighteenth Centurythe world history of science,the Swissfamily Bernoulli issued a dazzling brilli

3、ance, created such a myth, in a family of several generations century, continuous over-dozen scientists, called the history of science a miracle. theBernoulli family, in mechanics, mathematics, astronomy, physiology, in the field of fundamental contribution to the Bernoulli family of three generatio

4、ns of people had eight scientists, at least three outstanding; while in their generations many descendants, at least half have become outstanding figures. Bernoulli family, the descendants of not less than 120 had been systematically traced them in math, science, technology, engineering and even leg

5、al, management, literature, art, etc. enjoy fame, some even prominent. The most incredible is that there are two generations of this family, most of them mathematicians, math is not intended as a career choice, but it drunkenly indulging in mathematics among. Scientific community in the whole world

6、plays the past and open up a new era of science role.Keywords: the Bernoulli family;mathematics; achievement; physics;目錄1 緒論31.1 研究背景31.2 研究意義31.3本課題的研究現(xiàn)狀31.4本文解決的主要問題42 介紹伯努利家族52.1伯努利家族概況52.2伯努利家族的傳奇和軼事62.3伯努利家族主要成員介紹63 伯努利家族在數(shù)學(xué)中的貢獻(xiàn)83.1伯努利微分方程83.2伯努利概型103.3伯努利大數(shù)定理113.4伯努利不等式144 伯努利在科學(xué)界的貢獻(xiàn)164.2伯努利在物

7、理中的應(yīng)用164.2伯努利在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用19總結(jié)20謝 辭21參考文獻(xiàn)221 緒論1.1 研究背景瑞士的伯努利家族是科學(xué)史上著名的科學(xué)家族之一，其家族成員天資聰明，在科學(xué)上頗有建樹。尤其是在數(shù)學(xué)方面，更是人才輩出，祖孫三代曾經(jīng)出現(xiàn)過八位數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，其中著名的有雅科布伯努利，雅科布的弟弟約翰伯努利,約翰的次子丹尼爾伯努利等等。在發(fā)展微分理論及其應(yīng)用上的伯努利家族起了重要作用，有力地推動了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，伯努利數(shù)學(xué)家族從繁榮到衰落的過程，其原因是值得后人思考的。在此之前，有很多科學(xué)家和歷史學(xué)家，對伯努利家族進(jìn)行過研究，縱觀伯努利家族的家族史不難發(fā)現(xiàn)，自17世紀(jì)后半葉開始至20世紀(jì)30年代，這

8、個名門望族中有據(jù)可查的120多人中近半數(shù)是優(yōu)秀人才，伯努利家族作為科學(xué)家的家族，是一個特殊的群體，他們以家族關(guān)系為紐帶，以學(xué)術(shù)研究為中心，研究科學(xué)家家族這種科學(xué)共同體，有利于更加深刻全面的了解科學(xué)家這個特殊的職業(yè)，認(rèn)識到不同的科學(xué)家群體的產(chǎn)生是有其獨(dú)特的歷史環(huán)境和主觀條件，在這樣的背景下，對這個科學(xué)家群體進(jìn)行一個系統(tǒng)的總結(jié)是很必要的。1.2 研究意義伯努利家族的成功，對我們具有重要的研究意義，他們的數(shù)學(xué)熱情,興趣，數(shù)學(xué)的天才以及這個家庭的良好的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的熏陶成為他們成功的主客觀原因。從方法論的角度看，“對于科研人員來說，最基本的兩種品格就是對科學(xué)的熱愛和難以滿足的好奇心”。這是科學(xué)家確定自己的

9、科研方向和選擇課題的重要條件，他們具備了這個條件。對數(shù)學(xué)的極大熱情和興趣，使伯努利家族的成員們看到了數(shù)學(xué)的光輝前景，確定了自己的理想和事業(yè)的目標(biāo)，成為他們研究數(shù)學(xué)的非?？少F的動力，致使雅格布醉心于天心學(xué)和數(shù)學(xué)，獨(dú)自地學(xué)習(xí)和研究它們，他們受到了良好的家庭教育，使得他們更加了數(shù)學(xué)的熱情，有了良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，運(yùn)用他們的數(shù)學(xué)才能善于抓住當(dāng)時各數(shù)學(xué)分支中最關(guān)鍵的，需要發(fā)展和完善的基本概念和基本問題創(chuàng)造性地工作，從而在數(shù)學(xué)上做出了突出的成就。1.3本課題的研究現(xiàn)狀隨著生產(chǎn)力的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，國內(nèi)外有不少學(xué)者對伯努利理論進(jìn)行研究，研究內(nèi)容主要集中在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、醫(yī)學(xué)等方面，比如著名學(xué)者王靜發(fā)表的

10、淺談伯努利家族在科學(xué)界貢獻(xiàn)，印向東的伯努利概型的應(yīng)用等。同時在應(yīng)用的過程中也產(chǎn)生了一系列問題，因此對伯努利家族的貢獻(xiàn)繼續(xù)研究，尤其是在流體動力學(xué)方面的研究越來越深刻，并不斷將研究成果賦予實(shí)踐，推動航天事業(yè)的發(fā)展。另外研究者也在不斷的嘗試著用伯努利理論來解決生活中的問題。不斷豐富其理論，為其他的科學(xué)的發(fā)展提供理論支持，也為后人的研究打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，對于理論的研究是無止境的，因此有關(guān)伯努利理論的研究也是無止境的！1.4 本文解決的主要問題在現(xiàn)在看來，伯努利家族的貢獻(xiàn)是有長遠(yuǎn)發(fā)展的意義的，有必要對它們家族的歷史和他們的生活習(xí)慣或是他們?nèi)绾纬晒Φ?，更重要的是對他們的研究成果，做一個系統(tǒng)，全面的了解，

11、本文利用一些重要的參考文獻(xiàn)或是他人對伯努利家族的評價，以及加上我自己對伯努利世家的了解，和對伯努利成就的理解和生產(chǎn)實(shí)踐應(yīng)用等諸多方面，本文試圖就這些方面做出一定的分析，歸納起來，本文的主要研究內(nèi)容如下：（1）伯努利家族的概況，這是怎樣的一個家族，是什么在讓這個家族，人才輩出。以及家族的傳奇和軼事；（2）對家族中比較卓越的幾位成員的個人經(jīng)歷進(jìn)行概括的介紹，看看這個家族的數(shù)學(xué)家是如何成為大數(shù)學(xué)家的；（3）介紹一些經(jīng)典的以伯努利命名的定理、定律，以及他們在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用。（4）對于這樣一個不平凡的家族，不僅在數(shù)學(xué)方面頗有成就，所以本文也將在物理，醫(yī)學(xué)等方面對伯努利家族的貢獻(xiàn)做一些介紹。2 介紹伯努

12、利家族 2.1 伯努利家族的概況伯努利家族（1718世紀(jì)）Bernoulli family，原籍比利時安特衛(wèi)普，1583年遭天主教迫害遷往德國法蘭克福，最后定居瑞士巴塞爾。17世紀(jì)的歐洲大陸在思想上處于相對保守的時期，科學(xué)剛剛有所發(fā)展，伯努利家族定居的瑞士處于歐洲大陸文化和經(jīng)濟(jì)的交匯處，是個“自由”風(fēng)氣盛行的國度，特別是瑞士的第二大名城巴塞爾自由城，長久以來是歐洲大陸文化和學(xué)術(shù)中心，巴塞爾大學(xué)又是歐洲最古老的的大學(xué)之一，這些為伯努利家族的成長提供了良好的社會環(huán)境，其家族成員就是在這樣的社會文化氛圍中接受熏陶和培養(yǎng)，展現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)天賦。同時，伯努利家族也有著適合數(shù)學(xué)思維的良好遺傳，這也是伯努利家

13、族成功的不可否認(rèn)的原因。伯努利這個名門望族中有據(jù)可查的120人紅近半數(shù)是優(yōu)秀人才，其中有學(xué)者、教育家、藝術(shù)家、科學(xué)家、政治家，不少人名傳后世，堪稱數(shù)學(xué)史上的一個神話。圖1 伯努利家族主要成員世系老尼古拉伯努利（Nicolaus Bernoulli，公元16231708年）生于巴塞爾，受過良好教育，曾在當(dāng)?shù)卣退痉ú块T任高級職務(wù)。他有3個有成就的兒子。其中長子雅各布（Jocob，公元16541705年）和第三個兒子約翰（Johann，公元16671748年）成為著名的數(shù)學(xué)家，第二個兒子小尼古拉（Nicolaus I，公元16621716年）在成為彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)界的一員之前，是伯爾尼的第一個法

14、律學(xué)教授。其中家族中成就最大的三人是雅各布第一伯努利（Jacob Bernoulli），約翰第一伯努利（Johann Bernoulli），丹尼爾第一伯努利（Daniel Bernoulli）。2.2 伯努利家族的傳奇和軼事伯努利家族曾產(chǎn)生許多傳奇和軼事，對于這樣一個既有科學(xué)天賦然而又語言粗暴的家族來說，這似乎是很自然的事情。一個關(guān)于丹尼爾的傳說這是樣的：有一次在旅途中，年輕的丹尼爾同一個風(fēng)趣的陌生人閑談，他謙虛地自我介紹說：“我是丹尼爾伯努利?！蹦吧肆⒓磶еI諷的神情回答道：“那我就是伊薩克牛頓?！弊鳛榈つ釥?，這是他有生以來受到過的最誠懇的贊頌，這使他一直到晚年都甚感欣慰。最為人們津津樂道

15、的軼事之一，是雅各布癡心于研究對數(shù)螺線()，他發(fā)現(xiàn)，對數(shù)螺線經(jīng)過各種變換后仍然是對數(shù)螺線：如它的漸屈線和漸伸線是對數(shù)螺線，自極點(diǎn)至切線的垂足的軌跡，以極點(diǎn)為發(fā)光點(diǎn)經(jīng)對數(shù)螺線反射后得到的反射線，以及與所有這些反射線相切的曲線（回光線）都是對數(shù)螺線他驚嘆這種曲線的神奇，竟在遺囑里要求后人將對數(shù)螺線刻在自己的墓碑上，并附以頌詞“縱然變化，依然故我”，用以象征死后永生不朽2.3 伯努利家族主要成員介紹2.3.1雅各布第一伯努利生平1654年12月27日，雅各布伯努利生于巴塞爾，畢業(yè)于巴塞爾大學(xué)，1671年17歲時獲藝術(shù)碩士學(xué)位。這里的藝術(shù)指“自由藝術(shù)”，包括算術(shù)、幾何學(xué)、天文學(xué)、數(shù)理音樂和文法、修辭、

16、雄辯術(shù)共7大門類。 1678年和1681年，雅各布伯努利兩次外出旅行學(xué)習(xí)，到過法國、荷蘭、英國和德國，接觸和交往了許德、玻意耳、胡克、惠更斯等科學(xué)家，寫有關(guān)于彗星理論（1682年）、重力理論（1683年）方面的科技文章。1687年，雅各布在教師學(xué)報上發(fā)表數(shù)學(xué)論文用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分的方法，同年成為巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，直至1705年8月16日逝世。 1699年，雅各布當(dāng)選為巴黎科學(xué)院外籍院士；1701年被柏林科學(xué)協(xié)會（后為柏林科學(xué)院）接納為會員。 許多數(shù)學(xué)成果與雅各布的名字相聯(lián)系。例如懸鏈線問題（1690年），曲率半徑公式（1694年），“伯努利雙紐線”（1694年），“伯努

17、利微分方程”（1695年），“等周問題”（1700年）等。 雅各布對數(shù)學(xué)最重大的貢獻(xiàn)是在概率論研究方面。他從1685年起發(fā)表關(guān)于賭博游戲中輸贏次數(shù)問題的論文，后來寫成巨著猜度術(shù)，這本書在他死后8年，即1713年才得以出版。 2.3.2 約翰伯努利生平約翰伯努利（Johann Bernoulli，1667年7月27日1748年1月1日）出生于瑞士巴塞爾，是一位杰出的數(shù)學(xué)家。他是雅各布伯努利的弟弟，丹尼爾伯努利（伯努利定律發(fā)明者）與尼古拉二世伯努利的父親。 從巴塞爾大學(xué)畢業(yè)后，約翰遷移至日內(nèi)瓦，在那里教微分方程。1694年，約翰與 (Dorothea Falkner)共結(jié)連理。不久后，他成為格羅寧

18、根大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。1705年，由于岳父病重，想要與女兒共享天倫之樂。因此，約翰決定返回巴塞爾家鄉(xiāng)教書。在歸途中，他得到哥哥雅各布因患肺結(jié)核過世的噩耗。約翰原本去巴塞爾大學(xué)當(dāng)希臘文教授的計劃，也因而有所改變。為了紀(jì)念雅各布對學(xué)術(shù)界的貢獻(xiàn)，巴塞爾大學(xué)聘請他繼承哥哥的數(shù)學(xué)教授職位。 在舉世矚目的牛頓-萊布尼茨辯論中，牛頓與萊布尼茨兩派人馬，因?yàn)檎l是微積分的發(fā)明者的榮譽(yù)，產(chǎn)生了激烈地爭執(zhí) (Newton-Leibniz debate)。約翰是萊布尼茨微積分的學(xué)生；他站在萊布尼茨這一邊。約翰甚至為萊布尼茨辯護(hù)；一些牛頓方法無法解答的問題，萊布尼茨的優(yōu)秀方法可以給予圓滿的答案。但是，由于約翰對于牛頓的反對

19、，以及他和笛卡兒跟隨者的合作，他大力支持笛卡兒的渦旋理論，同時又強(qiáng)烈地攻擊牛頓萬有引力定律。因此，牛頓理論在歐洲地廣泛接受被拖延了很久。 1691年，約翰成功地解答了雅各布著名的懸鏈線問題，這使兄弟倆之間的緊張關(guān)系更猶如火上澆油。1696年，約翰提出了自己已解出的最速降線問題。在短短的兩年內(nèi)，他接到五個解答，其中一個是雅各布給予的。約翰也曾經(jīng)建議了一個流體永動機(jī)。 2.3.3丹尼爾伯努利生平丹尼爾伯努利，(Daniel Bernoulli 17001782)瑞士物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、醫(yī)學(xué)家。1700年2月8日生于荷蘭格羅寧根。著名的伯努利家族中最杰出的一位。他是數(shù)學(xué)家伯努利的次子，和他的父輩一樣，

20、違背家長要他經(jīng)商的愿望，堅(jiān)持學(xué)醫(yī)，他曾在海得爾貝格、斯脫思堡和巴塞爾等大學(xué)學(xué)習(xí)哲學(xué)、論理學(xué)、醫(yī)學(xué)。1721年取得醫(yī)學(xué)碩士學(xué)位。努利在25歲時(1725)就應(yīng)聘為圣彼得堡科學(xué)院的數(shù)學(xué)院士。8年后回到瑞士的巴塞爾，先任解剖學(xué)教授，后任動力學(xué)教授，1750年成為物理學(xué)教授。在17251749年間，伯努利曾十次榮獲法國科學(xué)院的年度獎。 1782年3月17日，伯努利在瑞士巴塞爾逝世，終年82歲。 約翰伯努利想迫使他的第二個兒子丹尼爾去經(jīng)商，但丹尼爾在不由自主地陷進(jìn)數(shù)學(xué)之前，曾寧可選擇醫(yī)學(xué)成為醫(yī)生。 丹尼爾認(rèn)為圣彼得堡那地方的生活比較粗鄙，以至于8年以后的1733年，他找到機(jī)會返回巴塞爾，終于在那兒成為解

21、剖學(xué)和植物學(xué)教授，最后又成為物理學(xué)教授。 1734年，丹尼爾榮獲巴黎科學(xué)院獎金，以后又10次獲得該獎金。能與丹尼爾媲美的只有大數(shù)學(xué)家歐拉。丹尼爾和歐拉保持了近40年的學(xué)術(shù)通信，在科學(xué)史上留下一段佳話。 在伯努利家族中，丹尼爾是涉及科學(xué)領(lǐng)域較多的人。他出版了經(jīng)典著作流體動力學(xué)(1738年)；研究彈性弦的橫向振動問題(17411743年)，提出聲音在空氣中的傳播規(guī)律(1762年)。他的論著還涉及天文學(xué)(1734年)、地球引力(1728年)、湖汐(1740年)、磁學(xué)(1743、1746年)，振動理論(1747年)、船體航行的穩(wěn)定(1753、1757年)和生理學(xué)(1721、1728年)等。凡尼爾的博學(xué)

22、成為伯努利家族的代表。 丹尼爾于1747年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士，1748年當(dāng)選巴黎科學(xué)院院士，1750年當(dāng)選英國皇家學(xué)會會員。他一生獲得過多項(xiàng)榮譽(yù)稱號。3 伯努利家族在數(shù)學(xué)中的貢獻(xiàn)3.1 伯努利方程伯努利方程：形如 (3.1)的方程稱為伯努利方程，其中為常數(shù)，且.伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，就可以把它化為一階線性的.伯努利方程的解法(1)一般解法伯努利方程： （0，1），其一般解法步驟如下： 方程兩端同除以得： 令即可化為一階線性微分方程： 通過常數(shù)變易法求得一階線性非齊次方程的通解 最后經(jīng)變量代換得原方程的通解， 即： 例3.1.1 求解方程 解 這是一個伯努利方程，兩端

23、同乘以2y，得 令y ,這已經(jīng)是線性方程，它的解為 z = Cx+.于是，原方程的解為 y = .(2)常數(shù)變易法方程， （3.2）（3.2）的齊次方程的通解為：.設(shè)原方程的通解為：，代入（3.2）得：這是一個可分離變量的微分方程，可求出即： ，則原方程的通解為:例3.1.2 解微分方程：解 原伯努利方程的齊次方程為：，其通解為：設(shè)原方程的通解為：，代入原方程得：，整理得：，積分得： ，則原方程的通解為： 3.2 伯努利概型對于伯努利家族在概率方面的研究，我們很容易想到曾經(jīng)學(xué)過的伯努利概型，在許多問題中，我們對試驗(yàn)感興趣的是試驗(yàn)中某件事是否發(fā)生。例如，擲硬幣試驗(yàn)中，關(guān)心的是出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面

24、;產(chǎn)品抽樣檢查中，注意抽取的產(chǎn)品是正品還是廢品；射擊試驗(yàn)中命中還是不命中；比賽中，勝還是負(fù)；。在這類問題中試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個，或者事件發(fā)生，或者事件不發(fā)生即不發(fā)生，這種只有兩個結(jié)果的試驗(yàn)稱為伯努利試驗(yàn)?，F(xiàn)在考慮重復(fù)進(jìn)行n次獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)。這里“重復(fù)”的意思是指各次試驗(yàn)的田間是相同的。它意味著各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率保持不變，設(shè)這都是（從而的概率也保持不變設(shè)都是。“獨(dú)立”的意思是指各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的。這種試驗(yàn)所對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型成為伯努利模型。有時為了突出試驗(yàn)次數(shù)n，也稱為n次伯努利概型或n重伯努利概型。 關(guān)于伯努利概型，有如下的重要的定理。 定理3.2 對于伯努利概型，事件在n次試驗(yàn)中發(fā)

25、生k次的概率為（0）證明 記得“n次試驗(yàn)中事件發(fā)生k次”，=“第i次試驗(yàn)中事件發(fā)生”，i=1,2,3，,n.事件應(yīng)是n次試驗(yàn)中k次發(fā)生A其余n-k次發(fā)生的一切可能的事件的和，即 AAA顯見，和式中共有項(xiàng)，且兩兩互不相容；有試驗(yàn)的獨(dú)立性，可以知道各項(xiàng)中的諸事件是相互獨(dú)立的，于是不難算得各項(xiàng)概率均為。利用概率的有限可加性知P（B）=，即 .例3.2.1 在圖書館中只有存放技術(shù)書和數(shù)學(xué)書，任一讀者借技術(shù)書的概率為0.2，而借數(shù)學(xué)書的概率為0.8.設(shè)每人只借一本書，有5名讀者依次借書，求至多有2人借數(shù)學(xué)書的概率。解 一個讀者節(jié)一本書有兩種結(jié)果，或者借數(shù)學(xué)書（事件A）。或者借技術(shù)書（事件）,因此一個讀者

26、借一本書可以看作是一次伯努利試驗(yàn),5名讀者各借一本書可以看作是n=5的伯努利概型。問題歸結(jié)為計算5次伯努利概型事件中A至多發(fā)生2次的概率，其中P(A)=0.8，P()=0.2.按照定理的所求概率為 P = = C(0.2)+C(0.8)(0.2)+C(0.8)(0.2) 例3.2.2 某廠每天的產(chǎn)品分三批包裝，規(guī)定每批產(chǎn)品的次品率低于0.01才能出產(chǎn)。某日有三批產(chǎn)品等待檢驗(yàn)出廠，檢驗(yàn)員進(jìn)行抽樣檢查，從三批產(chǎn)品中各抽出一件進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有一件是次品,問該日產(chǎn)品能否出廠？解： 假設(shè)該日產(chǎn)品能出廠，表明每批產(chǎn)品的次品率都低于0.01，在這條件下，我們來計算事件B=“3件產(chǎn)品中至少有1件是次品”的概率

27、。假如將抽出的一件產(chǎn)品是次品看作事件A，是正品看作,那么P（A）=p，所求概率為3次伯努利概型中事件A至少發(fā)生一次的概率，于是 P（B）= = 1- P(0) =1- Cp （1-p） =1-（1-p）1-（0.99）這是一個小概率，在一次試驗(yàn)中B可以認(rèn)為是不可能發(fā)生的。然而現(xiàn)在經(jīng)過一次檢查中發(fā)現(xiàn)有一次是次品，也就是小概率事件B在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，這表明原來假設(shè)不正確，即該日產(chǎn)品不能出廠。3.3 伯努利大數(shù)定律伯努利是第一個研究這一問題的數(shù)學(xué)家，他于1713年首先提出后人稱之為“大數(shù)定律”的極限定理。因此概率論歷史上第一個極限定理屬于伯努利。它是概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本定律之一，屬于弱大數(shù)

28、定律之一，當(dāng)然也稱為伯努利大數(shù)定律。 它可以通俗的理解，有些隨機(jī)事件無規(guī)律可循，但不少卻是有規(guī)律的，這些“有規(guī)律的隨機(jī)事件”中在大量重復(fù)出現(xiàn)的條件下，往往呈現(xiàn)幾乎必然的統(tǒng)計特性，這個規(guī)律就是大數(shù)定律。通俗地說，這個定理就是，在試驗(yàn)不變的條件下，重復(fù)試驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率。例如：在重復(fù)投擲一枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，觀測投擲n次硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù)。不同的n次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面的頻率（出現(xiàn)正面次數(shù)與n之比）可能不同，但當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n越來越大時，出現(xiàn)正面的頻率將大體上逐漸接近于。頻率靠近概率的一種客觀存在的，可以直接觀察到的現(xiàn)象。而伯努利給這種現(xiàn)象給予了一種確切的含義。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，隨機(jī)變

29、量序列服從大數(shù)定律的證明，出現(xiàn)了更多更廣泛的大數(shù)定律，例如契貝曉夫大數(shù)定律，伯努利大數(shù)定律就是契貝曉夫大數(shù)定律的一個特例。定理（伯努利大數(shù)定律）設(shè)是n重伯努利實(shí)驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p（0p1）,則，有 證明 令 E（）= p，D()=p(1-p)，i=1,2,n,而于是從而有即 此定理表明：當(dāng)n很大時，n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率幾乎等于事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率 即p=，這個定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式刻畫了頻率的穩(wěn)定性，因此，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時，便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率。例3.3.1 拋擲一顆均勻的骰子，為了至少有95的把握使六點(diǎn)向上的

30、概率與概率之差落在0.01的范圍之內(nèi)，問需要拋擲多少次？解 問題是求滿足不等式 參照伯努利大數(shù)定理的證明過程，顯見D（）=npq=，從而 欲使，只要，解上述不等式，求得n3.4 伯努利不等式伯努利不等式：對任意整數(shù)，和任意實(shí)數(shù)，有成立；如果是偶數(shù)，則不等式對任意實(shí)數(shù)成立。可以看到在或時等號成立；而對任意正整數(shù)和任意實(shí)數(shù)，有嚴(yán)格不等式：。伯努利不等式經(jīng)常用作證明其他不等式的關(guān)鍵步驟。伯努利不等式的一般式為：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。證明 設(shè)，則。證用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)時，易知上述不等式成立，設(shè)對，有：成立，則即，有。推廣 下面把伯努利不等式推廣到實(shí)數(shù)冪形式：若或，有； 若，有例3.4.1已知（1）對

31、于。已知，求證：（2）求出滿足等式的所有正整數(shù)n證明：（1）當(dāng)，時；由（1）知于是 （2）由（1）知，當(dāng)時，即，即當(dāng)時不存在滿足該等式的正整數(shù)n，故只需討論的情況，經(jīng)檢驗(yàn)，可求n只有4 伯努利家族在科學(xué)界的貢獻(xiàn)4.1 伯努利方程在物理中的應(yīng)用伯努利不僅是一位數(shù)學(xué)家，還是一位物理學(xué)家 (1)1738年出版了流體動力學(xué)一書，共13章。這是他最重要的著作。書中用能量守恒定律解決流體的流動問題，寫出了流體動力學(xué)的基本方程，后人稱之為“伯努利方程”，提出了“流速增加、壓強(qiáng)降低”的伯努利原理。 (2)他還提出把氣壓看成氣體分子對容器壁表面撞擊而生的效應(yīng)，建立了分子運(yùn)動理論和熱學(xué)的基本概念，并指出了壓強(qiáng)和分

32、子運(yùn)動隨溫度增高而加強(qiáng)的事實(shí)。 (3)從1728年起，他和歐拉還共同研究柔韌而有彈性的鏈和梁的力學(xué)問題，包括這些物體的平衡曲線，還研究了弦和空氣柱的振動。 (4)他曾因天文測量、地球引力、潮汐、磁學(xué)、洋流、船體航行的穩(wěn)定、土星和木星的不規(guī)則運(yùn)動和振動理論等成果而獲獎。伯努利通過實(shí)驗(yàn)得出：理想流體在做穩(wěn)定流動時，流速大的地方壓強(qiáng)小，流速小的地方壓強(qiáng)大(但并非反比關(guān)系)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 這就是著名的伯努利方程.利用伯努利方程來解決實(shí)際問題(1)確定靜止液面下深度為h處的壓強(qiáng)如右圖所示，在裝有液體的容器里取液面上的點(diǎn)A和在液面下深h處的點(diǎn)B來研究，以點(diǎn)B處的水平面作為零(勢能)參考面，則,又因液體靜

33、止，代入伯努利方程得(2)求液體從小孔中流出的流速設(shè)在液面下深為h的容器壁上有一小孔，液體從小孔中流出，取在液面上點(diǎn)A和小孔處點(diǎn)B來研究，因?yàn)槿萜鞯慕孛姹刃】椎慕孛娲蟮枚?，所以容器中水面的下降很慢，點(diǎn)A處的液體微粒的流速可以不計，即，以B點(diǎn)處高度為零，則，點(diǎn)A、B處與大氣接觸，所以（大氣壓），代入伯努利方程得 即(3)測量流體的流速測量流體在管中的流速時，可用下圖所示的儀器， 因?yàn)樗Ｓ脕頊y量氣流速度，所以叫做氣流速度計，分別把必多管A(必多管是一根一端封閉的彎管，封閉端A光滑微尖，并在靠近封閉端的側(cè)面上開有很多的小孔)和一個管口朝向氣流的管子B(動壓管)接在U形管壓強(qiáng)計上，據(jù)U形管兩邊的液柱

34、的高度差便可求出氣體的流速。設(shè)氣體穩(wěn)定流動的速度是v，氣體的密度是，壓強(qiáng)計內(nèi)液體的密度是，在管A上小孔處氣體的壓強(qiáng)是，管B中氣體的壓強(qiáng)是，管B中氣體因受管里流體的阻礙，它的流速等于0，由于管A與管B的端口均在同一高度上且氣體的同一流線上，據(jù)伯努利方程得 故 .根據(jù)U形管兩邊的高度差h，可求出兩管中的氣體的壓強(qiáng)差為 由以上各式得因此，測量出h就可以求出氣流的速度(1) 液流和氣流的空吸作用如下圖所示，若在水平管的細(xì)頸處開一小孔A，用細(xì)管接入容器B中容器內(nèi)，流動液體不但不會流出，而且容器B中液體可以被吸上去，為研究此原理，做如下推導(dǎo)：設(shè)左上方容器E很大，流體流動時，液面無顯著下降，液面與出液孔的高

35、度差為h，和分別表示水平管上小孔A與出液孔F處的橫截面積，用表示液體的密度，設(shè)液體為理想流體，取容器E中液面上的點(diǎn)C和水平管上小孔A以及出液孔F處的水作為研究對象，據(jù)伯努利方程，得到：又因?yàn)榇肷鲜降玫?據(jù)流體在水平管中做穩(wěn)定流動時，管中各處的流量不變，有:由上述幾式綜合得到則 即小孔C處有一定的真空度，因此可將B中液體吸入，這種現(xiàn)象叫做空吸作用不但液流有空吸作用，氣流也同樣有空吸作用，所遵循的規(guī)律也相同，空吸作用的應(yīng)用很廣，化學(xué)實(shí)驗(yàn)室中的水流抽氣機(jī)、內(nèi)燃機(jī)的汽化器、蒸汽鍋加水所用的射水器是根據(jù)這個原理制成的 伯努利效應(yīng) 1726年，伯努利通過無數(shù)次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)了“邊界層表面效應(yīng)”：流體速度加快時,物體與流體接觸的界面上的壓力會減小，反之壓力會增加。為紀(jì)念這位科學(xué)家的貢獻(xiàn)，這一發(fā)現(xiàn)被稱為“伯努利效應(yīng)”。伯努利效應(yīng)適用于包括氣體在內(nèi)的一切流體,是流體作穩(wěn)定流動時的基本現(xiàn)象之一，反映出流體的壓強(qiáng)與流速的關(guān)系，流速與壓強(qiáng)的關(guān)系：流體的流速越大，壓強(qiáng)越小；流體的流速越小，壓強(qiáng)越大。 比如，管道內(nèi)有一穩(wěn)定流動的流體，在管道不同截面處的豎直開口細(xì)管內(nèi)的液柱的高度不同，表明在穩(wěn)定流動中，流速大的地