【精品】初中數(shù)學(xué)02勾股定理的應(yīng)用講義+練習(xí)題

1、講義主題：勾股定理的應(yīng)用:課前糾錯與課前回顧1、作業(yè)檢查與知識回顧2、錯題分析講解(3)、課程內(nèi)容講解與課堂練習(xí)題模一：求線段長例 1.1.1 在 RtABC中，/ C=90° , AC=9 BC=12,則點 C 到 AB 的距離是（012B. 25例1.1.2如圖.在 RtABC中，/ A=30° , DE垂直平分斜邊則AC的長是（）D.史4AC交AB于D, E是垂足，連接CD 若 BD=1,B. 2D.例1.1.3如圖，直線l過等腰直角三角形 ABC頂點B, A C兩點到直線l（ ）4的距離分別是 2和3,則AB的長是A. 5C.例1.1.4如圖，有一塊直角三角形紙片，

2、兩直角邊 它落在斜邊 AB上，且與AE重合，則CDI?于（11 AC 6 cm, )D.BC 8 cm.現(xiàn)將直角邊 ACg直線A所疊，使C.4cm【講透例題】題模一：求線段長例1.1.1【答案】A【解析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示:在 RtAABC 中，AC=9, BC=12,根據(jù)勾股定理得：AB= hC BC2 =15,過C作CD ±AB ,交AB于點D ,又 Sa abc=一 AC?BC= - AB?CD , 223 回bc = u = 36AB 155則點C到AB的距離是36.5 故選A例1.1.2【答案】A【解析】/A=30°, ZB=90 °,Z

3、ACB=180 - 30 -90 =60°, DE垂直平分斜邊 AC ,AD=CD ,/ A= / ACD=30 °,/ DCB=60 - 30 =30°, BD=1 ,CD=2=AD , . AB=1+2=3 , 在ABCD中，由勾股定理得： CB=/3,在4ABC中，由勾股定理得：AC=VAB2+BC2=25,故選：A .例1.1.3【答案】D【解析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué) 思想，靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.如圖所示：. ABC為等腰直角三角形，AB=BC , / ABC=90

4、, / ABD+ / CBE=90 , 又 AD LBD , ./ ADB=90 , / DAB+ / ABD=90 ,/ CBE= / DAB , 在4ABD和4BCE中，ADB BEC 90DAB CBE , AB BC .ABD ABCE,BD=CE ,又 CE=3 ,BD=3 ,在 RtAABD 中，AD=2 , BD=3 ,根據(jù)勾股定理得：AB= 屈2_DB2 = 屈.故選D例1.1.4【答案】B 【解析】該題考查的是勾股定理的計算.AC 6, BC 8, C 90 ,AB 10 , AE 6 , BE 4, 設(shè) CD x DE ,則在 RtADEB 中，2,22x 48 x ,故

5、x 3,故選B.【講透考點】 求線段長 常用的方法有： 1.直接利用勾股定理：已知直角三角形的兩條邊，求另外一條； 2.通過設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程，解方程； 3.通過特殊三角形的比例關(guān)系來計算（僅限于選擇、填空題中的快速計算）如上圖，S ABC |ag|bO 1ABpD, CDAC|BCAB5 .挖掘題目中的隱含條件，通過全等三角形、等腰三角形等來求線段長；6 .做輔助線：根據(jù)題目中的條件，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，如垂直等進而解三角形.隨練1.1已知一個直角三角形的兩條直角邊分別為隨練 1.2 在 RtMBC中，/ ACB=90 / BAC=306cm, 8cm,那么這個直角三角形斜邊上的高為

6、 cm,BC=2以余邊AB為一邊，作等邊ABD則線段CD的長為【相似題練習(xí)】題模二：最短路徑問題例1.2.1如圖，點A的正方體左側(cè)面的中心，點B是正方體的一個頂點，正方體的棱長為2, 一螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是（）A. 3B.2C.而D.4例1.2.2如圖，圓柱形玻璃杯，高為 6cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)離杯底2cm的點C處有一滴蜂蜜，此時 一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點 A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 cm.例1.2.3如圖，是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為5m的半圓

7、，其邊緣 AB=CD=20cm小明要在AB上選取一點E,能夠使他從點D滑到點E再到點C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離為m （兀取3）【講透例題】題模二：最短路徑問題例1.2.1【答案】C【解析】該題考查最短路徑求解.將正方體的左側(cè)面與前面展開，構(gòu)成一個長方形，用勾股定理求出距離即可.如圖，AB Ji 2 2F 力？.故選C.例 1.2.2【答案】10【解析】該題考查的是最值問題. 圓柱的側(cè)面展開圖如下：以DG為對稱軸做點 A的對稱點L,連結(jié)CL則螞蟻從A到C處的最短距離為 LC ,1根據(jù)軸對稱性質(zhì)可得 ALJKAAJK,又由題息得HI BC 16 8 ,2JLBHAJCI2 ,LBLJJB

8、BHJB6 ,RtALBC 中，CL Vbc""""LB2 V6282 10,AK CK CL 10 ,即螞蟻到達蜂蜜處的最短距離為10cm.例 1.2.3【答案】10.1；【解析】其側(cè)面展開圖如圖：作點C關(guān)于AB的對稱點F,連接DF,.中間可供滑行的部分的截面是半徑為5m的半圓，BC=t R=5tt =15m, AB=CD=20m ,，CF=30m,在RtACDF中，df= Jcf ' +CD'二'3 0 '+213,，故他滑行的最短距離約為10J 13m.【講透考點】勾股定理與最短距離在立體圖形中，往往會涉及到求某兩點

9、之間的最短路程問題，這就需要我們畫出立體圖形的展開圖，然后利用“兩點之間線段最短”和“勾股定理”求出最短距離.【相似題練習(xí)】隨練 1.34ABC中，AB=13, AC=15, BC邊上的高 AD=12, 貝U BC=隨練1.4如圖所示，在 RtABC中，/ A=90° , BD平分/ ABC交AC于點D,且AB=4, BD=5,則點D到BC 的距離是（）D. 6A (2, 3), B (4, 1), A, B兩點到“寶藏”點的距A. 3B. 4C. 5題模三：兩點之間距離公式例1.3.1在一次“尋寶”人找到了如圖所示的兩個標志點離都是府,則“寶藏”點的坐標是（）A . (1, 0)C

10、. (1, 0)或(5, 4)B. (5, 4)D. (0, 1)或(4, 5)【講透例題】題模三：兩點之間距離公式 例1.3.1【答案】C【解析】本題考查了坐標的確定及利用兩點的坐標確定兩點之間的距離公式，是一道中難度題.根據(jù)兩點之間的距離公式，d=M_x2)2詼了，將四個選項代入公式中，觀察哪一個等于再作答. 設(shè)寶藏的坐標點為 C (x, y), 根據(jù)坐標系中兩點間距離公式可知，AC=BC ,則(x-2) 2+ (y-3) 2= (x-4) 2+ (y-1) 2, 化簡得x-y=1 ;又因為標志點到 寶藏”點的距離是 尺,所以(x-2) 2+ (y-3) 2=10;把x=1+y代入方程得，

11、y=0或y=4,即x=1或5, 所以寶藏” C點的坐標是(1, 0)或(5, 4).故選C.【講透考點】三.兩點間距離公式在平面直角坐標系中， 任意給定兩點 A a, b , B c, d .過點A、B分別向坐標軸作垂線， 則AC b d| , BC |a c ,由勾股定理可得，AB Ja c2b d 2 .(初中階段解答題中不能直接應(yīng)用，如果需要，應(yīng)【相似題練習(xí)】隨練1.5如圖，長方體的底面邊長分別為 1cm和3cm,高為6cm.如果用一根細線從點 A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏 繞一圈到達點 B,那么所用細線最短需要 cm；如果從點 A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達點B,那么所 用細線最短需要 cm.

12、隨練1.6在平面直角坐標系中，已知點A (-75, 0), B(而,0),點C在坐標軸上，且 AC+BC=6寫出滿足條件的所有點C的坐標題模四：勾股定理與實際問題例2.1.1如圖，有兩棵樹，一棵高 12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵 數(shù)的樹梢，問小鳥至少飛行 米.例2.1.2如圖，點A處有一所中學(xué)，點 A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上行駛時，學(xué)校是否會受到影響？請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？例2.1.3如圖，一根長5米的竹篙AB斜靠在與

13、地面垂直的墻上，頂端A距離墻根4米，點P(1)若竹篙頂端 A下1t 1米，則底端B向外滑行了多少米？(2)若竹篙AB沿墻下滑，則在下滑過程中，點P到墻根端點C的距離是否發(fā)生變化？試說明理為竹篙的中點.由.例2.1.4如圖，輪船從點 A處出發(fā)，先航行至位于點A的南偏西15°且與點A相距100km的點B處，再航行至位于點B的北偏東75°且與點B相距200km的點C處.(1)求點C與點A的距離(精確到1km);(2)確定點C相對于點A的方向.(參考數(shù)據(jù)： 無1.414,點= 1.732 )【講透例題】題模四：勾股定理與實際問題例 2.1.1【答案】10【解析】如圖，設(shè)大樹高為 A

14、B=12m，小樹高為CD=6m,過C點作CEXAB于 巳 則四邊形EBDC是矩形，連接 AC,EB=6m, EC=8m , AE=AB-EB=12-6=6 (m),在 RtAAEC 中，AC= V62 8 =10 (m).故小鳥至少飛行10m.故答案為：10.例 2.1.2【答案】會受到影響，影響時間為24s.【解析】會受到影響.因為 80 100 .當(dāng)拖拉機距離中學(xué) 100以外時，不受影響，故 MN上距離A點100m處為受到影響的臨界點 B,作AH，MN于H,有HB JAB2 AH 2 60 ,這樣的點有兩個，故影響的距離為120m,影響時間為 12018 3.624s.例 2.1.3【答案

15、】(1)竹篙頂端A下滑1米，則底端B向外滑行了 1米；(2)竹篙在下滑過程中，點 P到墻根端點C 的距離保持2.5m不變.【解析】(1)設(shè)竹篙頂端下滑1米到A,點，底端向外滑行到 B一點.由題意得 AA 1m, AC AC AA 3m, 在 RtACB1 中：B1C Jab2AC2 4m 在 RtACB 中：BC VAAC 3mBB1 B1C BC 1 m即竹篙頂端A下滑1米，則底端B向外滑行了 1米.(2)竹篙在下滑過程中，點P到墻根點C的距離不變.理由：連接CP,在 ACB中，1 _C 90 , AP PB, . CP -AB 2.5m2所以竹篙在下滑過程中，點P到墻根端點C的距離保持2.

16、5m不變.例 2.1.4【答案】(1) 173km (2)點C位于點A的南偏東75°方向【解析】(1)如右圖，過點 A 作 ADLBC 于點 D, /ABE=/BAF=15 ,由圖得，/ ABC= / EBC- / ABE= / EBC- / BAF=75 -15 =60° ,在 RtAABD 中，. / ABC=60 , AB=100 ,BD=50 , AD=50 . 3 , . CD=BC-BD=200-50=150 ,在RtAACD中，由勾股定理得：AC= VADCD2 =1005/3173( km).答：點C與點A的距離約為173km.(2)在 4ABC 中，.AB

17、2+AC 2=1002+ ( 100晶)2=40000,BC2=2002=40000,AB 2+AC2=BC2,/ BAC=90 ,/ CAF= / BAC- / BAF=90 -15 =75° .答：點C位于點A的南偏東75°方向.【講透考點】勾股定理與實際問題利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：1 .認真審題，讀懂題目，理解題意；2 .根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的幾何圖形，并在圖中標出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系;3 .根據(jù)幾何圖形和數(shù)量關(guān)系，解三角形，求出答案；4 .作答.【相似題練習(xí)】隨練2.1如圖，受臺風(fēng)的影響，一棵樹在離地面6m處折斷，樹頂落在離樹干底部8m處，則這棵樹在折斷前(不包

18、括樹根)長度是 m隨練2.2如圖，河流兩岸a、b互相平行，點A、B是河岸a上的兩座建筑物， 點C D是河岸b上的兩點，A B的距離約為200米.某人在河岸 b上的點P處測得/ APC=75 , / BPD=30 ,則河流的寬度約為 米.隨練2.3如圖，OALOBW點Q OA 45cm, OB 15cm,小貓在點B處發(fā)現(xiàn)有一只老鼠自點 A出發(fā)正沿著 AO 方向勻速跑向點 Q小貓立即從B處出發(fā)，并以相同的速度勻速直線前進去攔截老鼠，在點C處截住小老鼠，求小貓跑過的路程 BC的長度.隨練2.4如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距 12米，一棵樹 AB高13米，另一棵樹 CD高8米.(1) 一只小鳥從一棵樹的頂

19、端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛多少米？(2)如果兩樹之間的地面(線段 BC上有一些食物，小鳥要從一棵樹的頂端飛到地面找食吃，再飛到另 棵樹的頂端，小鳥至少要飛多少米？隨練2.5超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速,如圖，觀測點設(shè)在到萬豐路的距離為100米的點P處.這時，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為y m秒且 APO 60 , BPO 45 x(1)求A、B之間的路程；(2)請判斷此車是否超過了萬豐路每小時70千米的限制速度？(參考數(shù)據(jù)：& 1.41,弗1.73).隨練2.6 一個長為10m的梯子斜靠在墻

20、上，梯子底端距墻底6m.(1)若梯子的底端水平向外滑動1m,梯子的頂端下滑多少米？(2)如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的距離，那么滑動的距離是多少米?隨練2.7如圖所示，在一次夏令營活動中，小明坐車從營地A點出發(fā)，沿北偏東60。方向走了 100/3 km到達B點，然后再沿北偏西 30。方向走了 100km到達目的地C點，求出A C兩點之間的距離.三、課后練習(xí)(寫出各題的主要解答過程。)作業(yè)1如圖，將 ABC放在正方形網(wǎng)格圖中(圖中每個小正方形的邊長均為1),點A, B, C恰好在網(wǎng)格圖中a 10A .B.如的格點上，那么 ABC中BC的高是()C.疝5作業(yè)2將一個有45。角的三角板

21、的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上.另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30。角，如圖，則三角板的最大邊的長為（）A. 3cmB. 6cmC. 372cmD. 6 72cm作業(yè)3如圖，D為ABC外一點，BD AD , BD平分 ABC的一個外角，C CAD ,若AB 5, BC 3,則BD的長為（）A . 1B. 1.5C. 2D. 3作業(yè)4如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A, B, C, D的邊長分別是3, 5, 2, 3,則最大正方形 E的面積是（）A. 13B. 26C. 47D. 94作業(yè)5如圖，在RtABC中，/ C=90° , AC=/3, BC=1, D在AC上，將 ADB沿直線BD翻折后，點 A落在 點E處，如果 ADL ED,那公' ABE的面積是（）3 ED 1 2d334作業(yè)6如圖，在四邊形 ABCM, / A=120° , / C=60° , AB=2, AD=DC=4則BC邊的長為作業(yè)7如圖，長方體的高BC 5 cm, 一只小螞蟻從 A點爬到BC上某一點P,再爬到D點去吃糖，如果小螞蟻走的最短路程是13cm,