遼寧省高二數(shù)學 函數(shù)的單調(diào)性（導數(shù)）教學案例

1、遼寧省東北育才學校高中部高二數(shù)學 函數(shù)的單調(diào)性（導數(shù)）教學案例教學目標（1）知識目標：讓學生了解導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的聯(lián)系，掌握利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性的基本方法。培養(yǎng)學生利用導數(shù)的思想來認識和解決問題。（2）能力目標：通過學習導數(shù)的方法來判斷函數(shù)的單調(diào)性，能夠引導學生學會用高等數(shù)學的方法解決單調(diào)性的問題。（3）情意目標：能夠結合導數(shù)的幾何意義來判斷函數(shù)的單調(diào)性，站在更高的層面來考察函數(shù)的基本性質，體會高等數(shù)學的思想根源，逐步滲透分析學的方法和理念。教學過程提出問題師：今天我們來學習第六節(jié)函數(shù)的單調(diào)性。(板書：函數(shù)的單調(diào)性)師：首先，請同學們考慮這樣一個問題,看到這樣的一個課題之后你能

2、想到什么？(學生思考)生1：聯(lián)想到什么是函數(shù)的單調(diào)性生2：單調(diào)性與圖象有關師(趁勢提出問題)：那么誰能告訴我到底函數(shù)的單調(diào)性的定義是什么？生1：對于函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個變量，且,都有,則函數(shù)單調(diào)遞增，若,則函數(shù)單調(diào)遞減。生2：應該補充說明是在定義域內(nèi)的某段區(qū)間內(nèi)，任取。教師總結，并肯定后來同學的補充。師(繼續(xù)引導)：既然同學們聯(lián)系到了定義也聯(lián)想到了圖象，就請同學們利用定義或者圖象判斷一下函數(shù)和的單調(diào)區(qū)間。(在提出問題的同時，利用課件給出和的解析式和圖象。)師：誰能先說明一下的單調(diào)區(qū)間生：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。師：你是用什么方法判斷的？生：我是利用圖象。師：的情況呢？生：從，（）是單調(diào)遞增

3、的，在（）是單調(diào)遞減的。 師：強調(diào)一下k是屬于整數(shù)集合Z的。探索問題師（進一步的指明）：這里的兩個問題同學們都是選用圖象法來解決的。顯然，圖象法在解決這個問題的過程中是很方便的。下面我們來一起觀察這兩個函數(shù)的圖象，思考一下這樣的問題，曲線切線的斜率與函數(shù)的單調(diào)性有什么樣的關系？（學生觀察，教師給出一些提示）生：曲線切線的斜率小于0，函數(shù)單調(diào)遞減，曲線切線的斜率大于0，函數(shù)單調(diào)遞增。生：斜率為0時，出現(xiàn)在一個單獨的點處。師：通過這兩個特殊的函數(shù)圖象的觀察，同學們得到了能夠通過曲線切線的斜率的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性。那么對于一般的函數(shù)來說是不是也具有相同的特性呢？下面我們來看一個一般的函數(shù)圖象。（

4、通過投影給出一個一般的函數(shù)圖象，以及其切線的動畫。并引導學生進行觀察。）師：這是一個函數(shù)在某段區(qū)間上的函數(shù)圖象。隨著曲線上任意一點的運動，我們看到，這個點有上升也有下降，此時我們發(fā)現(xiàn)，在上升的曲線上，請同學們仔細觀察，（稍停頓）怎么樣？任意點處的切線的傾斜角都是銳角（師生同），此時斜率為正（師生同）。那么這段區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。同理，在下降的這段曲線上，任意點處的切線的傾斜角為鈍角，斜率為負，這段區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。于是通過上述的分析我們知道，能夠通過曲線切線的斜率來判斷函數(shù)的單調(diào)性。請同學們思考，通過我們得到的結論，結合我們這一段的學習，能否把這個結論換個說法來表述？生1：沒

5、想好生2：當函數(shù)在某一點處的導數(shù)的值是大于0時，這個點處的函數(shù)的切線的斜率就是大于0，所以，我們可以說，在函數(shù)的某一段區(qū)間上，函數(shù)的導函數(shù)都是大于0的話，函數(shù)在這段區(qū)間上就是單調(diào)遞增的。師：好！能否告訴大家你是如何想到導數(shù)的？生：切線的斜率就是函數(shù)的導數(shù)師：這是什么？生：導數(shù)的幾何意義。師：非常好！通過導數(shù)的幾何意義，我們進一步的發(fā)現(xiàn)，能夠通過導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性，這就是我們本節(jié)課要研究的主要內(nèi)容。（板書：如果）師（強調(diào)）：我們既然已經(jīng)利用了導數(shù)的符號，那么就得強調(diào)它的大前提（師生同并板書）函數(shù)在區(qū)間上可導。我們提到了大于0和小于0，那么我們就要考慮若在某段區(qū)間內(nèi)恒有導數(shù)等于0，此時怎

6、么樣？（生補充，師板書）常函數(shù)。（這里板書概念，同時與學生不斷的補充，處理好書寫和口述的過程）師：下面，我們就結合利用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性來解決一個問題。板書并讀題目：例1 判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（學生動手計算。教師觀察學生計算的過程）學生回答，教師板書并引導學生，給出一個規(guī)范的解題過程。解：的定義域為R，且在定義域內(nèi)處處可導。 令，解得,因此，當時，為增函數(shù)；再令，解得,因此，當時，為減函數(shù)。教師簡單的總結，并強調(diào)利用導數(shù)法來判斷函數(shù)的單調(diào)性的具體實施步驟是： (1)確定的定義域； （2）求導數(shù)；（3）在定義域內(nèi)解不等式。并確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。師：在這個基礎上，我們再看一個例題。生（打

7、斷教師，提問）：老師，我們剛才的結果寫成閉區(qū)間是否合適？因為以前講函數(shù)的單調(diào)性的時候，就是寫成閉區(qū)間。生（教師欲回答，又一學生主動回答）：我認為可以不寫，因為按照前面給出的利用導函數(shù)的符號來判斷單調(diào)性的法則中并沒有給出，另外對于單調(diào)區(qū)間，區(qū)間端點并沒有影響。教師此時給出充分的肯定。并給出明確的答復。應用新知教師繼續(xù)給出例題：判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2 （1） （2）（請兩位學生到黑板板演，教師觀察學生計算，并適時給出提示）和學生一起分析板演同學的問題。討論兩個問題中的單調(diào)性的區(qū)域性。尤其強調(diào)書寫。解：（1）的定義域為 令，解得,因此，在為增函數(shù)； 令，解得,因此，在為減函數(shù)。 （2）的定義域為

8、 令，解得,因此，在為增函數(shù)； 令，解得,因此，在為減函數(shù)；請學生談這種方法的體會。生1：用導數(shù)的方法比較簡單，不必畫出圖象或者用定義驗證。生2：第一個問題用以前的方法利用圖像或者定義可以解決，而第二個函數(shù)是一個三次的函數(shù)，不是很清楚它的圖像，也不好用定義。師：大家都提到了導數(shù)法，定義法和圖像法的比較，我們不妨對比一下這兩個問題的定義法。用屏幕給出兩題的定義解法，其中題目二無法用定義法解出，只給出過程的一半，同時給出函數(shù)的圖像。師：對于這個函數(shù)，大家不是很陌生，但是，我們繪出這個函數(shù)的圖像，并不是很容易的，是要經(jīng)歷分析，列表，描點，連線等過程的。而用定義，我們要把問題分成和兩個區(qū)域來分別討論，

9、記得同學們剛開始做的時候，會很奇怪為什么能夠有先見之明，在應用定義之前，就找到了單調(diào)區(qū)間。事實上，我們在分析時，發(fā)現(xiàn)一個因式，于是，通過猜想得到的兩個不同的區(qū)間來討論單調(diào)性，也就是說，原來的方法是一種驗證式的證明，而不是發(fā)現(xiàn)式的證明。師：我們再來看一下這個題目，我們發(fā)現(xiàn)，通過計算機畫出的函數(shù)圖象是很復雜的。而在運用定義來處理的時候，也涉及到一些麻煩的式子（指屏幕具體位置），到最后一步，我們用現(xiàn)在的方法無法判斷其符號，所以不能處理。師：我們這節(jié)課學習了導數(shù)法，導數(shù)法的應用很容易地幫助我們解決一些以前不好解決甚至不能解決的判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題。師：下面我們來進一步研究與函數(shù)單調(diào)性有關的問題，板

10、書例3 當時，求證：不等式（學生思考，教師巡視）生：我們比較熟悉這兩個函數(shù)，可以通過畫圖象來驗證，而今天我們學習了用導數(shù)來解決，我們可以構造一個函數(shù)師：什么樣的函數(shù)？生：，并且能證明這個函數(shù)在-1到正無窮是單調(diào)遞增的，并且在0這一點的函數(shù)值為0，于是就可以判斷在(0,)上是大于0的教師引導學生寫下具體的過程，并板演。簡單總結并指出：大家已經(jīng)能夠掌握利用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性的問題，接下來我們來看一個相對復雜的問題。師（故意放慢語速）：學生還在等待老師的敘述。教師借此情景說：題目就是這樣，學生低聲議論，教師會意，指出：同學們覺得很簡單，甚至有些不屑，這道題怎么算復雜，復雜在哪里？同學們不妨先算一

11、下。學生懷著疑惑進行嘗試。教師要求學生回答。生：用我們今天的方法，的導數(shù)為，而讓的話，x不等于0，那么函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是和師：但是實際上呢？生：的單調(diào)區(qū)間就是，就是整個定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。師：的確如此，我現(xiàn)在同時給出導數(shù)法和定義法來解決的單調(diào)性問題。教師分別進行分析，發(fā)現(xiàn)各有道理，進一步結合函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)，在整個定義域上是單調(diào)遞增的。那么對比這兩種解法，你是否發(fā)現(xiàn)了什么呢？（學生沉默）師：那么發(fā)現(xiàn)了結果不一樣，并且肯定了定義法的準確性，那么是否是導數(shù)法對于解決這個問題不適合呢？（學生討論）生：我們應該完善這種方法，把兩個區(qū)間聯(lián)系起來生：這樣討論的單調(diào)區(qū)間是分段的，我們這種方法是沒有考慮端點

12、的，是不是可以加進來。教師進一步引導，對于這個端點，也就是導數(shù)為0的點應該如何處理？生：前面我們說若在端點有定義，則區(qū)間的端點是可取舍的。師：說明了什么？（教師進一步啟發(fā)）師生同：導數(shù)的方法是充分條件而不是必要條件。師：其實，這個問題就很能說明它的非必要性。為了更進一步認識這個問題，我們看下面這個例子，用投影給出和學生一起觀察圖像，并找出其導函數(shù)，特別關注函數(shù)圖象上的導數(shù)為0的點（通過動畫演示），說明它們并不影響函數(shù)的單調(diào)性并得出結論：如果導數(shù)為0的點只是離散的，而在其它點處導數(shù)恒為正或負，則這些導數(shù)為0的點就不影響函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，回過頭來分析剛才的題目，補充說明。課堂小結師：這節(jié)課通過觀察圖象，了解了通過導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，要求掌握判斷單調(diào)性的三個步驟和應用過程中需要注意的兩個問題，（1）導數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性是充分不必要條件；（2）在單調(diào)區(qū)間內(nèi)的離散的導數(shù)為0的點不影響單調(diào)性。布置作業(yè)，宣布下課。課后反思：仔細地回顧了本節(jié)課的講授過程，對課堂上和學生的交流有很深刻的印象，在授課的過程中適當?shù)匾龑?，讓學生自主地完成探索，對于學生而言是一種成功，對教師而言，則是真正找到和發(fā)揮了自身的作用。而與學生的交流中，充分地尊重學生，順應學生的思維方式來組織教學