小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級(jí))目30講全[1]

1、- 99 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）第1講 速算與巧算（一） 第2講 速算與巧算（二） 第3講 高斯求和 第4講 4，8，9整除的數(shù)的特征 第5講 棄九法 第6講 數(shù)的整除性（二） 第7講 找規(guī)律（一）第8講 找規(guī)律（二）第9講 數(shù)字謎（一）第10講 數(shù)字謎（二）第11講 歸一問(wèn)題與歸總問(wèn)題第12講 年齡問(wèn)題第13講 雞兔同籠問(wèn)題與假設(shè)法第14講 盈虧問(wèn)題與比較法（一）第15講 盈虧問(wèn)題與比較法（二）第16講 數(shù)陣圖（一）第17講 數(shù)陣圖（二）第18講 數(shù)陣圖（三）第19將 乘法原理第20講 加法原理（一）第21講 加法原理（二）第22講 還原問(wèn)題（一）第23講 還

2、原問(wèn)題（二）第24講 頁(yè)碼問(wèn)題第25講 智取火柴第26講 邏輯問(wèn)題（一）第27講 邏輯問(wèn)題（二）第28講 最不利原則第29講 抽屜原理（一）第30講 抽屜原理（二）第1講 速算與巧算（一）計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過(guò)硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)講過(guò)一些四則運(yùn)算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補(bǔ)同與同補(bǔ)速算法。例1 四年級(jí)一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)（分?jǐn)?shù)）如下：86，78，77，83，9

3、1，74，92，69，84，75。求這10名同學(xué)的總分。分析與解：通常的做法是將這10個(gè)數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無(wú)章，直接相加既繁且易錯(cuò)。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“80”作基準(zhǔn)，這10個(gè)數(shù)與80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號(hào)表示這個(gè)數(shù)比80小。于是得到總和=80×10（6-2-3311-8009809。實(shí)際計(jì)算時(shí)只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。為了清楚起見(jiàn)，將這一過(guò)程表示如下：通過(guò)口算，得到差數(shù)累加為9，再加上80×10，就可口算出結(jié)果為809。例1所

4、用的方法叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準(zhǔn)”的數(shù)（如例1的80）叫做基準(zhǔn)數(shù)，各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做累計(jì)差。由例1得到：總和數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)×加數(shù)的個(gè)數(shù)+累計(jì)差，平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+累計(jì)差÷加數(shù)的個(gè)數(shù)。在使用基準(zhǔn)數(shù)法時(shí)，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù)，這樣才容易計(jì)算累計(jì)差。同時(shí)考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個(gè)數(shù)的乘法能夠方便地計(jì)算出來(lái)，所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。例2 某農(nóng)場(chǎng)有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。解：選基準(zhǔn)數(shù)為4

5、50，則累計(jì)差=123073023211811251150，平均每塊產(chǎn)量=45050÷10455（千克）。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7×749（七七四十九）。對(duì)于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了1020的平方，而2199的平方就不大熟悉了。有沒(méi)有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法湊整補(bǔ)零法。所謂湊整補(bǔ)零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過(guò)移多補(bǔ)少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明這一方法。例3 求292和822的值。解：292=29

6、×29（291）×（29-1）1230×281840+1841。82282×82（822）×（822）2280×8446720+46724。由上例看出，因?yàn)?9比30少1，所以給29“補(bǔ)”1，這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?2比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因?yàn)槭莾蓚€(gè)相同數(shù)相乘，所以對(duì)其中一個(gè)數(shù)“移多補(bǔ)少”后，還需要在另一個(gè)數(shù)上“找齊”。本例中，給一個(gè)29補(bǔ)1，就要給另一個(gè)29減1；給一個(gè)82減了2，就要給另一個(gè)82加上2。最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的數(shù)的平方。由湊整補(bǔ)零法計(jì)算352，得35×3540×305

7、2=1225。這與三年級(jí)學(xué)的個(gè)位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。例4 求9932和20042的值。解：9932=993×993（9937）×（993-7）+721000×9864998600049986049。20042=2004×2004（2004-4）×（2004+4）422000×2008164016000164016016。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。請(qǐng)看下面的算式：66×46，73×88，19×44。這幾

8、道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡(jiǎn)便的速算方法。例5 88×64？分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到88×64（808）×（604）（808）×60（808）×480×608×6080×48×480×6080×680×48×480×（6064）8×480×（6010）8×48×（61）×100+8×4。于

9、是，我們得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數(shù)是“個(gè)位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個(gè)位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8×（61）。例6 77×91？解：由例3的解法得到由上式看出，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積是一位數(shù)時(shí)，應(yīng)在十位上補(bǔ)一個(gè)0，本例為7×107。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計(jì)算。練習(xí)11.求下面10個(gè)數(shù)的總和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.農(nóng)業(yè)科研小組測(cè)定麥苗的生長(zhǎng)情況，量出12株麥苗的

10、高度分別為（單位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。3.某車間有9個(gè)工人加工零件，他們加工零件的個(gè)數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他們共加工了多少個(gè)零件？4.計(jì)算：131610+1117121512161312。5.計(jì)算下列各題：（1）372； （2）532； （3）912；（4）682： （5）1082； （6）3972。6.計(jì)算下列各題：（1）77×28；（2）66×55；（3）33×19；（4）82×44；（5）37×33；（6）46

11、15;99。 練習(xí)1 答案1.1596。 2.26厘米。3.711個(gè)。 4.147。5.（1）1369； （2）2809； （3）8281；（4）4624； （5）11664； （6）157609。6.（1）2156； （2）3630； （3）627；（4）3608； （5）1221； （6）4554。第2講 速算與巧算（二）上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補(bǔ)”與“補(bǔ)同”速算法。兩個(gè)數(shù)之和等于10，則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)。在整數(shù)乘法運(yùn)算中，常會(huì)遇到像72×78，26×86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補(bǔ)，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同或互補(bǔ)

12、的情況。72×78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個(gè)位數(shù)字互補(bǔ)，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補(bǔ)”型；26×86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、個(gè)位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補(bǔ)、尾相同”型。計(jì)算這兩類題目，有非常簡(jiǎn)捷的速算方法，分別稱為“同補(bǔ)”速算法和“補(bǔ)同”速算法。例1 （1）76×74？ （2）31×39？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補(bǔ)”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到76×74（706）×（70+4）（706）×70（706）×470×706×7070×46

13、15;470×（7064）6×470×（7010）6×47×（7+1）×1006×4。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如1×909），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積?！巴a(bǔ)”速算法簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。我們?cè)谌昙?jí)時(shí)學(xué)到的15×15，25×25，95×

14、95的速算，實(shí)際上就是“同補(bǔ)”速算法。例2 （1）78×38？ （2）43×63？分析與解：本例兩題都是“頭互補(bǔ)、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到78×38（708）×（308）（708）×30（708）×870×30+8×3070×88×870×308×（3070）8×87×3×1008×1008×8（7×38）×1008×8。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下

15、面的速算式：由例2看出，在“頭互補(bǔ)、尾相同”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如3×309），積中從百位起前面的數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個(gè)位數(shù)。“補(bǔ)同”速算法簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補(bǔ)”或“補(bǔ)同”形式的速算法。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時(shí)，情況會(huì)發(fā)生什么變化呢？我們先將互補(bǔ)的概念推廣一下。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和是10，100，1000，時(shí)，這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)。如43與57互補(bǔ)，99與1互補(bǔ)，555與445互補(bǔ)。在一個(gè)乘法算式中，當(dāng)被

16、乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補(bǔ)時(shí)，這個(gè)算式就是“同補(bǔ)”型，即“頭相同，尾互補(bǔ)”型。例如， 因?yàn)楸怀藬?shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補(bǔ)，7723100，所以是“同補(bǔ)”型。又如，等都是“同補(bǔ)”型。當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補(bǔ)，后面的幾位數(shù)相同時(shí)，這個(gè)乘法算式就是“補(bǔ)同”型，即“頭互補(bǔ)，尾相同”型。例如，等都是“補(bǔ)同”型。在計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，例1的方法仍然適用。例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792？解：（1）（2）計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，將“頭×（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個(gè)互補(bǔ)數(shù)之積作為乘積的后幾

17、位。注意：互補(bǔ)數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補(bǔ)“0”。在計(jì)算多位數(shù)的“補(bǔ)同”型乘法時(shí)，如果“補(bǔ)”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見(jiàn)例4）；如果“補(bǔ)”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因?yàn)闆](méi)有簡(jiǎn)捷實(shí)用的方法，所以就不再討論了。例4 2865×7265？解： 練習(xí)2計(jì)算下列各題：1.68×62； 2.93×97；3.27×87； 4.79×39；5.42×62； 6.603×607；7.693×607； 8.4085×6085。 第

18、3講 高斯求和德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過(guò)人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：123499100？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來(lái)小高斯通過(guò)細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：110029939849525051。1100正好可以分成這樣的50對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）×100÷25050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡(jiǎn)單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問(wèn)題。若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)

19、之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。例1 1231999？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，共有1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（11999）×1999

20、7;21999000。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例2 11121331？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是31，共有31-11121（項(xiàng)）。原式=（11+31）×21÷2=441。在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1，末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。例3 371199？分析與解：3，7，11，99是公差為4的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)=（993）÷4125，原式=（39

21、9）×25÷21275。例4 求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。解：末項(xiàng)=253×（40-1）142，和=（25142）×40÷23340。利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問(wèn)題。例5 在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長(zhǎng)是1根火柴棍。問(wèn)：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時(shí)，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形

22、面積為（13515）×12（115）×8÷2×12768（厘米2）。2）火柴棍的數(shù)目為369+24（324）×8÷2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個(gè)圖形由108根火柴擺成。例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球第十次多

23、了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×12×22×102×（1210）2×55110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球1103113（只）。綜合列式為：（3-1）×（1210）32×（110）×10÷23113（只）。 練習(xí)31.計(jì)算下列各題：（1）246200；（2）17192139；（3）58111450；（4）3101724101。2.求首項(xiàng)是5，末項(xiàng)是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3.求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。4.時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該

24、鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。問(wèn)：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)共有多少個(gè)？第四講我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質(zhì)2 如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么2115及21-15都能被3整除。性質(zhì)3 如果一個(gè)數(shù)

25、能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9×763整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問(wèn)題。為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)過(guò)的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來(lái)：（1）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個(gè)，那么這個(gè)數(shù)就能被2整除。（2）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0或5，那么這個(gè)數(shù)就能被5整除。（3）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除。（4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。（

26、5）一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。（6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年級(jí)學(xué)過(guò)的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。因?yàn)?00能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)都能分成一個(gè)整百的數(shù)與這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。類似地可以證明（5）。（6）的正確性，我們用一個(gè)具體的數(shù)來(lái)說(shuō)明一般性的證明方法。8378003078

27、5;1003×1078×（991）3×（91）78×9983×937（8×993×9）（837）。因?yàn)?9和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，（8x993x9）能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由（837）能被9整除，就能判斷837能被9整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個(gè)數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：（4）一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。（5）一個(gè)數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。（6）一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。例1 在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些

28、能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728.8064。解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；能被8整除的數(shù)有3728，8064；能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。例2 在四位數(shù)562中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被9，8，4整除？解：如果562能被9整除，那么56213應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時(shí)能被9整除；如果562能被8整除，那么62應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時(shí)能被8整除；如果562能被4整除，那么2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5

29、612，5632，5652，5672，5692時(shí)能被4整除。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被6整除，因?yàn)?2×3，2與3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個(gè)數(shù)能被6整除。同理，判斷一個(gè)數(shù)能否被12整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被3和4整除；判斷一個(gè)數(shù)能否被72整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被8和9整除；如此等等。例3 從0，2，5，7四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。解：因?yàn)榻M成的三位數(shù)能同時(shí)

30、被2，5整除，所以個(gè)位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和270與570都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。例4 五位數(shù)能被72整除，問(wèn)：A與B各代表什么數(shù)字？分析與解：已知能被72整除。因?yàn)?28×9，8和9是互質(zhì)數(shù)，所以既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求能被8整除，由此可確定B6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為A329BA3f296A20，因?yàn)閘A9，所以21A2029。在這個(gè)范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A7。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8×9，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代

31、表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字，因?yàn)锽代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來(lái)，A所代表的數(shù)字就容易確定了。例5 六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？分析與解：因?yàn)?2×3，且2與3互質(zhì)，所以這個(gè)整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由六位數(shù)能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個(gè)值。再由六位數(shù)能被3整除，推知3ABABA33A2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9這4個(gè)值。由于B可以取4個(gè)值，A可以取5個(gè)值，題目沒(méi)有要求AB，所以符合條件的六位數(shù)共有5×420（個(gè)）。例6 要使六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，問(wèn)A，

32、B，C各代表什么數(shù)字？分析與解：因?yàn)?64×9，且4與9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使這個(gè)六位數(shù)盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數(shù)的各位數(shù)字之和為12BC。它應(yīng)能被9整除，因此BC6或BC15。因?yàn)锽，C應(yīng)盡量小，所以BC6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應(yīng)取B1，C5。當(dāng)A=0，B=1，C5時(shí)，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156÷364171。練習(xí)416539724能被4，8，9，24，

33、36，72中的哪幾個(gè)數(shù)整除？2個(gè)位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個(gè)？3一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4五位數(shù)能被12整除，求這個(gè)五位數(shù)。5有一個(gè)能被24整除的四位數(shù)23，這個(gè)四位數(shù)最大是幾？最小是幾？6從0，2，3，6，7這五個(gè)數(shù)碼中選出四個(gè)，可以組成多少個(gè)可以被8整除的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？7在123的左右各添一個(gè)數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被72整除。8學(xué)校買了72只小足球，發(fā)票上的總價(jià)有兩個(gè)數(shù)字已經(jīng)辨認(rèn)不清，只看到是67.9元，你知道每只小足球多少錢嗎？ 第5講 棄九法從第4講知道，如果一個(gè)

34、數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)數(shù)能被9整除；如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個(gè)性質(zhì)可以迅速地判斷一個(gè)數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。例如，3645732這個(gè)數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為364573230，30被9除余3，所以3645732這個(gè)數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。但是，當(dāng)一個(gè)數(shù)的數(shù)位較多時(shí)，這種計(jì)算麻煩且易錯(cuò)。有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法呢？因?yàn)槲覀冎皇桥袛噙@個(gè)式子被9除的余數(shù)，所以凡是若干個(gè)數(shù)的和是9時(shí)，就把這些數(shù)劃掉，如369，459，729，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個(gè)3（如下圖），所以這個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)是3

35、。這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。一個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的九余數(shù)。利用棄九法可以計(jì)算一個(gè)數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗(yàn)四則運(yùn)算的正確性。例1 求多位數(shù)7645821369815436715除以9的余數(shù)。分析與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。只剩下7，6，1，5四個(gè)數(shù)，這時(shí)口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下1。所以這個(gè)多位數(shù)除以9余1。例2 將自然數(shù)1，2，3，依次無(wú)間隔地寫下去組成一個(gè)數(shù)1234567891011213如果一直寫到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？分析與解：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)太大，全部寫出來(lái)

36、很麻煩，在使用棄九法時(shí)不能逐個(gè)劃掉和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當(dāng)?shù)姆治?。我們已?jīng)熟知123945，而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，9都可以劃掉。在199這九十九個(gè)數(shù)中，個(gè)位數(shù)有十組1，2，3，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，9，也都劃掉。這樣在這個(gè)大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以這個(gè)數(shù)除以9余1。在上面的解法中，并沒(méi)有計(jì)算出這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡(jiǎn)捷的解法。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)與它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和，與12100除以9的余數(shù)相同。利用高斯求和法，知此和是5050。因

37、為5050的數(shù)字和為5050=10，利用棄九法，棄去一個(gè)9余1，故5050除以9余1。因此題中的數(shù)除以9余1。例3 檢驗(yàn)下面的加法算式是否正確：26384573521983674578512907225。分析與解：若干個(gè)加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等，那么這個(gè)加法算式肯定不正確。上式中，三個(gè)加數(shù)的九余數(shù)依次為8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為0；和的九余數(shù)為1。因?yàn)?1，所以這個(gè)算式不正確。例4 檢驗(yàn)下面的減法算式是否正確：7832145-21679535664192。分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減）

38、應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等，那么這個(gè)減法計(jì)算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）-66知，原題等號(hào)左邊的九余數(shù)是6。等號(hào)右邊的九余數(shù)也是6。因?yàn)?6，所以這個(gè)減法運(yùn)算可能正確。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗(yàn)加法、減法、乘法（見(jiàn)例5）運(yùn)算的結(jié)果是否正確時(shí)，如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個(gè)算式肯定不正確；如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因?yàn)榫庞鄶?shù)只有0，1，2，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗(yàn)運(yùn)算的正確性，只是一種粗略的檢驗(yàn)。例5 檢驗(yàn)下面的乘法算式是否正確：46876×9537

39、447156412。分析與解：兩個(gè)因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€(gè)因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等，那么這個(gè)乘法計(jì)算肯定不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，4×624，24的九余數(shù)是6。乘積的九余數(shù)是7。67，所以這個(gè)算式不正確。說(shuō)明：因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，所以當(dāng)余數(shù)為零時(shí)，利用棄九法驗(yàn)算除法可化為用棄九法去驗(yàn)算乘法。例如，檢驗(yàn)383801÷253=1517的正確性，只需檢驗(yàn)1517×253=383801的正確性。練習(xí)51求下列各數(shù)除以9的余數(shù)：（1）7468251； （2）36298745；（3）2

40、657348； （4）6678254193。2求下列各式除以9的余數(shù)：（1）6723582564； （2）97256-47823；（3）2783×6451； （4）3477+265×841。3用棄九法檢驗(yàn)下列各題計(jì)算的正確性：（1）228×22250616；（2）334×336112224；（3）23372428÷62363748；（4）12345÷678983810105。4有一個(gè)2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是D。求D。第6講 數(shù)的整除性（二）

41、這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。一個(gè)數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，位稱為偶數(shù)位。也就是說(shuō)，個(gè)位、百位、萬(wàn)位是奇數(shù)位，十位、千位、十萬(wàn)位是偶數(shù)位。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：能被11整除的數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被11整除，那么這個(gè)數(shù)就能被11整除。例1 判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1363=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為897=24，因?yàn)?4-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個(gè)數(shù)除

42、以11的余數(shù)。一個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應(yīng)在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。例2 求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）41873； （2）296738185。分析與解：（1）（483）（17）÷11=7÷1107，所以41873除以11的余數(shù)是7。（2）奇數(shù)位之和為26315=17，偶數(shù)位之和為978832。因?yàn)?732，所以應(yīng)給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。（17+11×2）-327，所以296738185

43、除以11的余數(shù)是7。需要說(shuō)明的是，當(dāng)奇數(shù)位數(shù)字之和遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于偶數(shù)位數(shù)字之和時(shí)，為了計(jì)算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）÷1114，所求余數(shù)是11-4=7。例3 求除以11的余數(shù)。分析與解：奇數(shù)位是101個(gè)1，偶數(shù)位是100個(gè)9。（9×100-1×101）÷11=799÷11=727，11-7=4，所求余數(shù)是4。例3還有其它簡(jiǎn)捷解法，例如每個(gè)“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差9-18， 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差8×99=8×9×

44、;11，能被11整除。所以例3相當(dāng)于求最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。例4 用3，3，7，7四個(gè)數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個(gè)3和一個(gè)7即可。有3377，3773，7337，7733。例5 用19九個(gè)數(shù)碼組成能被11整除的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的最大九位數(shù)。分析與解：最大的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)是987654321，由（97531）-（8642）5知，987654321不能被11整除。為了保證這個(gè)數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?3×2=11，這個(gè)數(shù)就能被

45、11整除。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來(lái)增大3，就可達(dá)到目的。此時(shí)，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。所求數(shù)為987652413。例6 六位數(shù)能被99整除，求A和B。分析與解：由99=9×11，且9與11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被9整除又能被11整除。因?yàn)榱粩?shù)能被9整除，所以A+2+8+7+5+B22+A+B應(yīng)能被9整除，由此推知AB5或14。又因?yàn)榱粩?shù)能被11整除，所以（A85）（27B）A-B4應(yīng)能被11整除，即A-B+4=0或A-B+4=11。化簡(jiǎn)得B-A4或A-B7。因?yàn)锳+B與A-B同奇同偶，所以有在（1）中，A5與A7

46、不能同時(shí)滿足，所以無(wú)解。在（2）中，上、下兩式相加，得（BA）（B-A）144，2B18，B=9。將B=9代入AB=14，得A5。所以，A=5，B9。 練習(xí)61為使五位數(shù)6295能被11整除，內(nèi)應(yīng)當(dāng)填幾？2用1，2，3，4四個(gè)數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？3求能被11整除的最大的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。4求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）2485； （2）63582； （3）987654321。5求除以11的余數(shù)。6六位數(shù)5A634B能被33整除，求A+B。7七位數(shù)3A8629B是88的倍數(shù)，求A和B。第7講 找規(guī)律（一）我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)見(jiàn)過(guò)“找規(guī)律”這個(gè)題目，學(xué)習(xí)了

47、如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點(diǎn)學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問(wèn)題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開(kāi)的春季過(guò)后就是夏天，赤日炎炎的夏季過(guò)后就是秋天，果實(shí)累累的秋季過(guò)后就是冬天，白雪皚皚的冬季過(guò)后又到了春天。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，是按照0，1，2三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的，這也是周期性變化問(wèn)題。下面，我們通過(guò)一些例題作進(jìn)一步講解。例1 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍(lán)燈、3盞黃燈、這樣排下去。問(wèn)：（1）第100盞燈

48、是什么顏色？（2）前150盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？分析與解：這是一個(gè)周期變化問(wèn)題。彩燈按照5紅、4藍(lán)、3黃，每12盞燈一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)。（1）100÷1284，所以第100盞燈是第9個(gè)周期的第4盞燈，是紅燈。（2）150÷12=126，前150盞燈共有12個(gè)周期零6盞燈，12個(gè)周期中有藍(lán)燈4×1248（盞），最后的6盞燈中有1盞藍(lán)燈，所以共有藍(lán)燈481=49（盞）。例2 有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個(gè)數(shù)之和都等于25。已知第1個(gè)數(shù)是3，第6個(gè)數(shù)是6，第11個(gè)數(shù)是7。問(wèn)：這串?dāng)?shù)中第24個(gè)數(shù)是幾？前77個(gè)數(shù)的和是多少？分析與解：因?yàn)榈?，2，3，4個(gè)數(shù)的和等于第2，3，4，5

49、個(gè)數(shù)的和，所以第1個(gè)數(shù)與第5個(gè)數(shù)相同。進(jìn)一步可推知，第1，5，9，13，個(gè)數(shù)都相同。同理，第2，6，10，14，個(gè)數(shù)都相同，第3，7，11，15，個(gè)數(shù)都相同，第4，8，12，16個(gè)數(shù)都相同。也就是說(shuō)，這串?dāng)?shù)是按照每四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第2個(gè)數(shù)等于第6個(gè)數(shù)，是6；第3個(gè)數(shù)等于第11個(gè)數(shù)，是7。前三個(gè)數(shù)依次是3，6，7，第四個(gè)數(shù)是25-（3+6+7）=9。這串?dāng)?shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第24個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)相同，是9。由77÷491知，前77個(gè)數(shù)是19個(gè)周期零1個(gè)數(shù)，其和為25×19+3=478。例3 下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第3個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)

50、數(shù)之和的個(gè)位數(shù)。問(wèn)：這串?dāng)?shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？628088640448分析與解：這串?dāng)?shù)看起來(lái)沒(méi)有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個(gè)相鄰數(shù)字與前面的某兩個(gè)相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串?dāng)?shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說(shuō)將出現(xiàn)周期性變化。我們?cè)囍鴮⑦@串?dāng)?shù)再多寫出幾位：當(dāng)寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)相同，所以這串?dāng)?shù)按每20個(gè)數(shù)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)。由88÷20=48知，第88個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)相同，所以第88個(gè)數(shù)是4。從例3看出，周期性規(guī)律有時(shí)并不明顯，要找到它還真得動(dòng)點(diǎn)腦筋。例4 在下面的一串?dāng)?shù)中，從第五個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)

51、都是它前面四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字。那么在這串?dāng)?shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個(gè)數(shù)是“2000”？135761939237134分析與解：無(wú)休止地將這串?dāng)?shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因?yàn)檫@個(gè)周期很長(zhǎng)，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)的前四個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個(gè)數(shù)都是它前面四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串?dāng)?shù)依次寫出來(lái)，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇可以看出，這串?dāng)?shù)是按照四個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)四個(gè)偶數(shù)連在一起的情況，即不會(huì)出現(xiàn)“2000”。例5 A，B，C，D四個(gè)盒子中依次放有8，6，3，1個(gè)球。第1個(gè)小朋友

52、找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子；第2個(gè)小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子當(dāng)100位小朋友放完后，A，B，C，D四個(gè)盒子中各放有幾個(gè)球？分析與解：按照題意，前六位小朋友放過(guò)后，A，B，C，D四個(gè)盒子中的球數(shù)如下表：可以看出，第6人放過(guò)后與第2人放過(guò)后四個(gè)盒子中球的情況相同，所以從第2人放過(guò)后，每經(jīng)過(guò)4人，四個(gè)盒子中球的情況重復(fù)出現(xiàn)一次。（100-1）÷4243，所以第100次后的情況與第4次（314）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個(gè)球。 練習(xí)71有一串很長(zhǎng)的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4

53、顆黃珠、2顆綠珠的順序重復(fù)排列的。問(wèn)：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？2將1，2，3，4，除以3的余數(shù)依次排列起來(lái)，得到一個(gè)數(shù)列。求這個(gè)數(shù)列前100個(gè)數(shù)的和。3有一串?dāng)?shù)，前兩個(gè)數(shù)是9和7，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)乘積的個(gè)位數(shù)。這串?dāng)?shù)中第100個(gè)數(shù)是幾？前100個(gè)數(shù)之和是多少？4有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是6，以后每一個(gè)數(shù)都是它前面一個(gè)數(shù)與7的和的個(gè)位數(shù)。這列數(shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？5小明按13報(bào)數(shù)，小紅按14報(bào)數(shù)。兩人以同樣的速度同時(shí)開(kāi)始報(bào)數(shù)，當(dāng)兩人都報(bào)了100個(gè)數(shù)時(shí)，有多少次兩人報(bào)的數(shù)相同？6A，B，C，D四個(gè)盒子中依次放有9，6，3，0個(gè)小球。第1個(gè)小朋友找到放球最多

54、的盒子，從中拿出3個(gè)球放到其它盒子中各1個(gè)球；第2個(gè)小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個(gè)球放到其它盒子中各1個(gè)球當(dāng)100個(gè)小朋友放完后，A，B，C，D四個(gè)盒子中各放有幾個(gè)球？ 第8講 找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即a×a叫做這個(gè)數(shù)的平方，記作a2，即a2a×a；同樣，三個(gè)a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3a×a×a。一般地，n個(gè)a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因?yàn)榉e的個(gè)位數(shù)只與被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)和乘數(shù)的個(gè)位數(shù)有關(guān)，所以an的個(gè)位數(shù)只與a的個(gè)位數(shù)有關(guān)，而a的個(gè)

55、位數(shù)只有0，1，2，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個(gè)整數(shù)a自乘n次后，乘積的個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁(yè)的表格，看看a，a2，a3，a4，的個(gè)位數(shù)字各是什么。從表看出，an的個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是0，1，5，6時(shí)，an的個(gè)位數(shù)仍然是0，1，5，6。（2）當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是4，9時(shí)，隨著n的增大，an的個(gè)位數(shù)按每?jī)蓚€(gè)數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個(gè)位數(shù)是4時(shí)，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個(gè)位數(shù)是9時(shí)，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。（3）當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是2，3，7，8時(shí)，隨著n的增大，an的個(gè)位數(shù)按每四個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個(gè)位數(shù)是2時(shí)，按2，4，8，

56、6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個(gè)位數(shù)是3時(shí)，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是7時(shí)，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是8時(shí)，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例1 求67999的個(gè)位數(shù)字。分析與解：因?yàn)?7的個(gè)位數(shù)是7，所以67n的個(gè)位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999÷42493，所以67999的個(gè)位數(shù)字與73的個(gè)位數(shù)字相同，即67999的個(gè)位數(shù)字是3。例2 求291+3291的個(gè)位數(shù)字。分析與解：因?yàn)?n的個(gè)位數(shù)字按2，4，8，6四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4223，所以，291的個(gè)位數(shù)字與23的個(gè)位數(shù)字相同，等于8。類似地，3n的個(gè)位數(shù)字按3，9，7，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4723，所以3291與33的個(gè)位數(shù)相同，等于7。最后得到291+3291的個(gè)位數(shù)字與8+7的個(gè)位數(shù)字相同，等于5。例3 求28128-2929的個(gè)位數(shù)字。解：由128÷432知，28128的個(gè)位數(shù)與84的個(gè)位數(shù)相同，等于6。由29÷2141知，2929的個(gè)位數(shù)與91的個(gè)位數(shù)相同，等于9。因?yàn)?9，在減法中需向十位借位，所以所求個(gè)位數(shù)字為1697。例4 求下列各除法運(yùn)算所得的余數(shù)：（1）7855&#