兩線段和最小

1、兩線段和最小求線段和的最小值問(wèn)題，在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到，利用軸對(duì)稱知識(shí)可以比較簡(jiǎn)單的解決。我們先通過(guò)一個(gè)非常典型的例題來(lái)推導(dǎo)一個(gè)性質(zhì)：一、性質(zhì)推導(dǎo)例題：如圖所示，在河岸L的一側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，現(xiàn)要在河岸L上修建一個(gè)供水站，問(wèn)供水站應(yīng)建在什么地方，才能到A，B兩村莊的距離之和最短？首先，我們來(lái)推導(dǎo)一個(gè)軸對(duì)稱的性質(zhì)，如圖，作B點(diǎn)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)B1, 在直線L上任意定一點(diǎn)M，連接B B1，BM，B1M，根據(jù)軸對(duì)稱知識(shí)，我們可以求證BMB1M，所以，我們可以得出這樣的性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)的距離相等。在該例題中，利用這一性質(zhì)，我們可得出：點(diǎn)B到河岸L上任意點(diǎn)M的距離等于對(duì)稱B

2、1到點(diǎn)M的距離。要使AM+ B1M最小，必須使A、M、B1三點(diǎn)共線，也就是說(shuō)，必須使點(diǎn)M，與A B1連線和L的交點(diǎn)N重合，所以，河岸上的N點(diǎn)為到A、B的距離之和最小的點(diǎn)。證明：M為L(zhǎng)上的任意點(diǎn) 因?yàn)锽MB1M所以，BM+AMB1M+AM，而B(niǎo)1M+AM大于B1A，所以，結(jié)論成立二、應(yīng)用1 ：在圖（1）中，若A到直線L的距離AC是3千米，B到直線L的距離BD是1千米，并且CD的距離4千米，在直線L上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。求這個(gè)最小值。解：作出A1B（作法如上圖）過(guò)A1點(diǎn)畫直線L的平行線與BD的延長(zhǎng)線交于H，在RtA1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的長(zhǎng)度為4千

3、米，即PA+PB的最小值為4千米。圖（1）2、 如圖（1），在直角坐標(biāo)系XOY中，X軸上的動(dòng)點(diǎn)M（x，0）到定點(diǎn)P（5，5）和到Q（2，1）的距離分別為MP和MQ，那么當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=_。圖（1）圖（2）解：如圖（2），只要畫出點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q1（2，-1），連結(jié)PQ1 交x軸于點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為所求。點(diǎn)M的橫坐標(biāo)只要先求出經(jīng)過(guò)PQ1兩點(diǎn)的直線的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。3、 求函數(shù)y= +的最小值。解：方法（）把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y= + ，因此可以理解為在X軸上找一個(gè)點(diǎn)，使它到點(diǎn)（3，1）和（-3，5

4、）的距離之和最小。（解法同上一題）。方法（）如圖（9），分別以PM=（3-x）、AM=1為邊和以PN=（x+3）、BN=5為邊構(gòu)建使（3-x）和（x+3）在同一直線上的兩個(gè)直角PAM、PNB，兩條斜邊的長(zhǎng)就是PA= 和PB= ，因此，求y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用軸對(duì)稱性質(zhì)求出BA1的長(zhǎng)，就是y的最小值。（6）。三、拓展（一）三條線段的和最小的問(wèn)題：如圖3，已知甲、乙、丙三人做接力游戲，開(kāi)始時(shí),甲站在AOB內(nèi)的P點(diǎn)，乙站在OA邊上，丙站在OB邊上，游戲規(guī)則：甲將接力棒傳給乙，乙將接力棒傳給丙，最后丙跑至終點(diǎn)P處。如果三人速度相同，試作圖求出乙丙站在何處，他們比賽所用時(shí)間最短。析

5、解：三人的速度一定且相同，要使比賽時(shí)間最短，只需三人所走的路程最短，因此可以利用軸對(duì)稱知識(shí)，作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)、，連接，交OA于，交OB于，則點(diǎn)和點(diǎn)應(yīng)分別是乙、丙的位置。這樣連接、則三人行的路程和為。規(guī)律總結(jié)：軸對(duì)稱在本題中的主要作用是將線段在保證長(zhǎng)度不變的情況下改變位置，要注意體會(huì)軸對(duì)稱在這方面的應(yīng)用。 （二）利用菱形的對(duì)稱性，求線段和的最小值1、如圖（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，BAD=1200,點(diǎn)P在BD上，則PE+PC的最小值是（ ）（A）6a , (B) 5a , (C) 4a , (D) 2a 。解：如圖（6），因?yàn)榱庑问禽S對(duì)稱圖形，所以B

6、C中點(diǎn)E關(guān)于對(duì)角線BD的對(duì)稱點(diǎn)E一定落在AB的中點(diǎn)E1，只要連結(jié)CE1，CE1即為PC+PE的最小值。這時(shí)三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2a 。所以選（D）。2、已知在菱形ABCD中，A=600，AD=8，M、N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，求PMPN的最小值。分析：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在菱形ABCD的對(duì)角線AC上，而CD邊的中點(diǎn)G，是N關(guān)于對(duì)稱軸AC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所以，PGPN，因此求PMPN的最小值就轉(zhuǎn)化為求PMPG的最小值，連接MG，在PMG中，PMPG的最小值就是MG，即PMPGMG（僅當(dāng)M、P、G三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值）。解：取CD的中點(diǎn)G，連接P

7、G AC是菱形ABCD的對(duì)角線 PCGPCN又CBCD，N是BC邊的中點(diǎn) CNCG又PCPC，PCGPCNPGPN連接MG。 四邊形AMGD為平行四邊形MGAD8在PMG中，（僅當(dāng)P、M、G三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）即，故PMPN的最小值為8。（三）利用正方形的對(duì)稱性，求線段和的最小值已知如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3,E點(diǎn)分邊BC為2:1,P為對(duì)角線BD上一點(diǎn),求PE+PC的最小值. 分析:要想求PE+PC的最小值,關(guān)鍵是確定點(diǎn)P的位置,根據(jù)對(duì)稱的知識(shí)我們知道點(diǎn)P的位置應(yīng)是，點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)E連線與BD的交點(diǎn).解:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A,連接AE交BD于

8、P點(diǎn),則此時(shí) PE+PC的最小值最小,最小值為:PE+PC=AE= （四）利用等腰梯形的對(duì)稱性，求線段和的最小值如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABCDAD1，B60，直線MN為梯形ABCD的對(duì)稱軸，P為MN上一點(diǎn)，那么PCPD的最小值為_(kāi)。分析：在梯形ABCD中，因?yàn)锳BCDAD，易知梯形ABCD是等腰梯形，又直線MN是梯形ABCD的對(duì)稱軸，所以直線MN是底邊AD、BC的垂直平分線，連接PA，由線段垂直平分線上任一點(diǎn)，到已知線段兩端的距離相等知，PAPD，所以求PCPD的最小值就轉(zhuǎn)化為求PCPA的最小值，即求AC的長(zhǎng)度即可。 解：連接PAABCDAD1，梯形ABCD是等腰梯形又直線MN是梯

9、形ABCD的對(duì)稱軸PAPD過(guò)點(diǎn)A作AEBC，過(guò)點(diǎn)D作DFBC，E、F為垂足，易證ABEDCF，BECF在RtABE中，B60，AB1在RtABC中，由勾股定理，得即PAPC的最小值為（當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值）也可這樣求AC的值：過(guò)A點(diǎn)作CD的平行線，交BC于G，則BGAB1,GCAD1BC2而角BCADACDCA，角BCA30,角BAC90度在三角形ABC中，可求得AC（五）利用圓的對(duì)稱性，求線段和的最小值已知如圖,AB是的直徑,AB=2cm,OCAB,點(diǎn)D是弧AC的三等分點(diǎn),P是OC上一動(dòng)點(diǎn),求PA+PD的最小值.分析：圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，圓上

10、任意一點(diǎn)的關(guān)于直徑所在直線的對(duì)稱點(diǎn)都在圓上。 解:作點(diǎn)D關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)F,連接AF,此時(shí)PA+PD的最小值為AF.因?yàn)锳B是圓O的直徑,OCAB，則弧AC的度數(shù)為900，因?yàn)镈是弧AC的三等分點(diǎn)，所以弧AD的度數(shù)是600，弧DC的度數(shù)是300，因?yàn)辄c(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于OC的對(duì)稱，所以且弧DC與弧CF相等,都為300，AOF=1200，作OEAF，則AOE=600。在RtAOE中，AO= 1cm，AOE=600，則AE=，AF=。（六）利用坐標(biāo)系的對(duì)稱性，求線段和的最小值如圖,在直角坐標(biāo)系中, 有四個(gè)點(diǎn)A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），求四邊形ABCD周長(zhǎng)最短時(shí)的值。分析：

11、因?yàn)锳、B是定點(diǎn)且長(zhǎng)度不變，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短，需使AD+CD+BC 的值最小，由于C、D兩點(diǎn)未知，所以本題關(guān)鍵是找C、D兩點(diǎn)，可考慮用軸對(duì)稱的方法將BC、CD、AD這三條折線拉直。解：分別作A點(diǎn)關(guān)于x軸、B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A/（-8，-3）、B/（4，5），連接A/B/分別交x軸、y軸于D、C點(diǎn)。設(shè)直線A/B/的解析式為y=kx+b，把x=-8，y=-3；x=4，y=5分別代入得： -8k+b=-3 4k+b =5 解得k和b值，得到A/B/的解析式為:3y=2x+7 令x=0，求得y，得到C點(diǎn)令y0，求得x，得到D點(diǎn)由以上幾例可以看出，當(dāng)求線段和的最小值時(shí)，常常借助軸對(duì)稱將兩條線段

12、轉(zhuǎn)化到一條直線上，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”進(jìn)行求解。四、鏈接看這樣一題：要在一條河上架一座橋（橋須與河岸垂直，兩河岸平行），請(qǐng)?zhí)峁┮环N設(shè)計(jì)方案，使從A地到B地的路徑最短，請(qǐng)說(shuō)明理由。請(qǐng)思考：1、這題為什么不能用軸對(duì)稱知識(shí)解決？(認(rèn)真理解我推導(dǎo)出的性質(zhì)就可明白)2、如何用平移知識(shí)解決此題？3、類似我推導(dǎo)出的軸對(duì)稱性質(zhì)，平移的知識(shí)能否推導(dǎo)出類似的性質(zhì)？五、練習(xí)1、（2002湖北黃崗競(jìng)賽題）如圖（10），AOB=450，角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO=10，在角兩邊上有兩點(diǎn)Q、R（均不同于點(diǎn)O），則PQR的周長(zhǎng)最小值是_ 。當(dāng)PQR周長(zhǎng)最小時(shí)，QPR的度數(shù)=_。提示：畫點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，點(diǎn)P關(guān)于OB的

13、對(duì)稱點(diǎn)P2， AOB=450，P1OP2是等腰直角三角形，P1P2=10。又問(wèn):當(dāng)PQR周長(zhǎng)最小時(shí)，QPR的度數(shù)=_。（答案：900）2、已知點(diǎn)A（-2，1），點(diǎn)B（3，4）。在X軸上求一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小。這個(gè)最小值是_。（同例2）3、（北京市競(jìng)賽題）如圖（11），在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值。提示：要使BM+MN的值最小，應(yīng)設(shè)法把折線BM+MN拉直，從而想到用軸對(duì)稱性質(zhì)來(lái)做。畫出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B1，則B1N的長(zhǎng)就是最小值；又因?yàn)镹也是動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)B1NAB時(shí)這個(gè)值最小，利用勾股定理和三角形面積公式可以求得這個(gè)最小值為16。初三的