初中數(shù)學[最短路徑問題]典型題型及解題技巧

1、初中數(shù)學最短路徑問題典型題型及解題技巧最短路徑問題中,關(guān)鍵在于，我們善于作定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，或利用平移和展開圖來處理。這對于我們解決此類問題有事半功倍的作用。理論依據(jù)：“兩點之間線段最短，“垂線段最短，“點關(guān)于線對稱，“線段的平移“立體圖形展開圖。教材中的例題“飲馬問題，“造橋選址問題“立體展開圖?？嫉妮^多的還是“飲馬問題。知識點：“兩點之間線段最短，“垂線段最短，“點關(guān)于線對稱，“線段的平移?！帮嬹R問題，“造橋選址問題?？嫉妮^多的還是“飲馬問題，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等。解題總思路：找點關(guān)于線的對稱點實現(xiàn)“折轉(zhuǎn)“直，近兩年出現(xiàn)“三折

2、線轉(zhuǎn)“直等變式問題考查。一、兩點在一條直線異側(cè)例：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點P，使得PA+PB最小。解：連接AB,線段AB與直線L的交點P ，就是所求。根據(jù)：兩點之間線段最短.二、 兩點在一條直線同側(cè)例：圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短 解：只有A、C、B在一直線上時，才能使AC+BC最小作點A關(guān)于直線“街道的對稱點A，然后連接AB，交“街道于點C，那么點C就是所求的點 三、一點在兩相交直線內(nèi)部例：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.解：

3、分別作點A關(guān)于OM，ON的對稱點A，A；連接A，A，分別交OM，ON于點B、點C，那么點B、點C即為所求分析：當AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠表達在一條直線上時，三角形的周長最小ABMNE例：如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直解：1.將點B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E， 2.連接AE交河對岸與點M, 那么點M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=

4、AE+MN,假設橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,那么AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。CDABEa例：如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點。作法：作點B關(guān)于直線 a 的對稱點點C,連接AC交直線a于點D，那么點D為建抽水站的位置。證明：在直線 a 上另外任取一點E，連接AE.C

5、E.BE.BD,點B.C關(guān)于直線 a 對稱,點D.E在直線 a上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在ACE中，AE+ECAC,即 AE+ECAD+DB 所以抽水站應建在河邊的點D處，DAOB. .ENCM例：某班舉行晚會，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？作法：1.作點C關(guān)于直線 OA的對稱點點D, 2. 作點C關(guān)于直線 OB的對稱點點E, 3.連接DE分別交直線OA.OB于點M.N，那么CM+MN+C

6、N最短FAOBD CH例：如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。G作法：1.作點C關(guān)于直線 OA 的 對稱點點F, 2. 作點D關(guān)于直線 OB的對稱點點E,E 3.連接EF分別交直線OA.OB于點G.H，那么CG+GH+DH最短四、求圓上點，使這點與圓外點的距離最小的方案設計在此問題中可根據(jù)圓上最遠點與最近點和點的關(guān)系可得最優(yōu)設計方案。例:一點到圓上的點的最大距離為9，最短距離為1，那么圓的半徑為多少？5或4四、點在圓柱中可將其側(cè)面展開求出最短路程將圓柱側(cè)面展成長方形，圓柱體展開的底面周長是長方形的

7、長，圓柱的高是長方形的寬可求出最短路程例：如下圖，是一個圓柱體，ABCD是它的一個橫截面，AB=，BC=3，一只螞蟻，要從A點爬行到C點，那么，最近的路程長為A7BCD5分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短得出結(jié)果解：將圓柱體展開，連接A、C，=4，BC=3，根據(jù)兩點之間線段最短，AC=5 應選D五、在長方體正方體中，求最短路程1將右側(cè)面展開與下底面在同一平面內(nèi)，求得其路程2將前外表展開與上外表在同一平面內(nèi)，求得其路程3將上外表展開與左側(cè)面在同一平面內(nèi)，求得其路程了 然后進行比擬大小，即可得到最短路程.例：有一長、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長方

8、體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個頂點A處沿長方體的外表爬到長方體上和A相對的頂點B處，那么需要爬行的最短路徑長為A5cmBcmC4cmD3cm分析：把此長方體的一面展開，在平面內(nèi)，兩點之間線段最短利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離在直角三角形中，一條直角邊長等于長方體的高，另一條直角邊長等于長方體的長寬之和，利用勾股定理可求得解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比擬，再從各個路線中確定最短的路線1展開前面、右面，由勾股定理得AB2=5+42+32=90；2展開前面、上面，由勾股定理得AB2=3+42+52=74；3展開左面、上面，由勾股定理得AB2

9、=3+52+42=80；所以最短路徑長為cm 例：如圖是一個長4m，寬3m，高2m的有蓋倉庫，在其內(nèi)壁的A處長的四等分有一只壁虎，B處寬的三等分有一只蚊子，那么壁虎爬到蚊子處最短距離為A4.8BC5D分析：先將圖形展開，再根據(jù)兩點之間線段最短可知解：有兩種展開方法：將長方體展開成如下圖，連接A、B，根據(jù)兩點之間線段最短，AB=；將長方體展開成如下圖，連接A、B，那么AB=5； 所以最短距離 5 例：有一棵9米高的大樹，樹下有一個1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷未完全折斷，那么小孩至少離開大樹米之外才是平安的分析：根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形ABC，利用勾股定理解答解：如圖，BC即為大樹折斷處

10、4m減去小孩的高1m，那么BC=41=3m，AB=94=5m，在RtABC中，AC=4例：如圖，在一個長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD平行且AD，木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，一只螞蟻從點A處，到達C處需要走的最短路程是米精確到0.01米分析：解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點之間線段最短解答解：由題意可知，將木塊展開，相當于是AB+2個正方形的寬，長為2+0.22=2.4米；寬為1米于是最短路徑為：=2.60米例：如圖，AB為O直徑，AB=2，OC為半徑，OCAB,D為AC三等分點，點P為OC上的動點，求AP+PD的最小值。 分折：作D

11、關(guān)于OC的對稱點D，于是有PA+PDAD,當且僅當P運動到Po處，等號成立，易求AD=。六、在圓錐中，可將其側(cè)面展開求出最短路程將圓錐側(cè)面展開，根據(jù)同一平面內(nèi)的問題可求出最優(yōu)設計方案例：如圖，一直圓錐的母線長為QA=8，底面圓的半徑r=2，假設一只小螞蟻從A點出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點，那么螞蟻爬行的最短路線長是 結(jié)果保存根式小蟲爬行的最短路線的長是圓錐的展開圖的扇形的弧所對的弦長，根據(jù)題意可得出：2r=n.OA,/180那么，n8180那么22=，解得：n=90，由勾股定理求得它的弦長AA一、題中出現(xiàn)一個動點。當題中只出現(xiàn)一個動點時,可作定點關(guān)于動點所在直線的對稱點,利用兩點之間

12、線段最短,或三角形兩邊之和小于第三邊求出最值.例：如圖，在正方形ABCD中，點E為AB上一定點，且BE=10,CE=14,P為BD上一動點，求PE+PC最小值。分析：作E關(guān)于BD對稱點E，E在AB上，有PE+PC=PE+PCEC易求EC=26。二、題中出現(xiàn)兩個動點。當題中出現(xiàn)兩個定點和兩個動點時,應作兩次定點關(guān)于動點所在直線的對稱點.利用兩點之間線段最短求出最值。例：如圖，在直角坐標系中有四個點, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),當四邊形ABCD周長最短時,求 。分折:因AB長為定值,四邊形周長最短時有BC+CD+DA最短,作B關(guān)于y軸對稱點B,A關(guān)于x軸對稱點A,D

13、A+DC+BC=DA+DC+BCBA(當D,C運動到AB和x軸y軸的交點時等號成立),易求直線AB解折式y(tǒng)= +,C0(0,),D0(-,0),此時=- 三、題中出現(xiàn)三個動點時。在求解時應注意兩點：(1)作定點關(guān)于動點所在直線的對稱點,(2)同時要考慮點點,點線,線線之間的最短問題.例：如圖，在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,E,F,P分別為AB,BC,AC上動點,求PE+PF最小值分折:作E關(guān)于AC所直線的對稱點E,于是有,PE+PF=PF+PEEF,又因為E在AB上運動,故當EF和AD,BC垂直時，E0F最短,易求E0F=。例：如圖，AOB=45，角內(nèi)有一動點P ，PO=10，在A

14、O，BO上有兩動點Q，R，求PQR周長的最小值。 分折：作P關(guān)于OA，OB對稱點P1，P2 。于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2P1P2，由對稱性易知P1OP2為等腰RT,OP=OP1=OP2=10,P1P2= 總之，在這一類動點最值問題中,關(guān)鍵在于，我們善于作定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，或動點關(guān)于動點所在直線的對稱點。這對于我們解決此類問題有事半功倍的作用。1、運用軸對稱解決距離最短問題運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的根本思路，不管題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同注意：利用軸對稱解決最值問題應注意題目要求根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比擬來說明最值問題是常用的一種方法解決這類最值問題時，要認真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導致答非所問2、利用平移確定最短路徑選址選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上如果兩點在一條直線的同側(cè)時，過兩點的直線與原直線的