同濟大學(xué)固體物理課件10

1、第十講第十講 三維晶體的振動模三維晶體的振動模 長光頻模長光頻模 把把試試解解（5 5）代代入入方方程程（4 4） ，得得一一組組關(guān)關(guān)于于 e es s( (q q) )的的線線性性方方程程組組 0)()(2qeqDMsssssss - - - - - - ( (6 6) )式式中中 )(exp,)(lllssRRq issllqD - - - - ( (7 7) )以以)(qDss為為矩矩陣陣元元構(gòu)構(gòu)成成的的 3 3n n3 3n n 的的矩矩陣陣 D D 稱稱為為動動力力學(xué)學(xué)矩矩陣陣。方方程程（6 6）有有解解的的條條件件是是其其系系數(shù)數(shù)行行列列式式等等于于零零： 0|)(|det2sss

2、ssMqD - - - - - - ( (8 8) )方方程程（8 8）可可解解得得 3 3n n 個個2 2的的解解 2 2( (q q) )，= =1 1，2 2，3 3n n得得 3 3n n 支支格格波波的的色色散散關(guān)關(guān)系系： ( (q q) )，= =1 1，2 2，3 3n n 討論討論 3nN 3nN 個獨立振動分為個獨立振動分為 3n3n 支，其中支，其中 3 3 支當(dāng)支當(dāng) q q0 0 時，時，0 0，這三，這三支是聲學(xué)波，其余支是聲學(xué)波，其余 3 3（n-1n-1）支是光學(xué)波。）支是光學(xué)波。 聲學(xué)波描述不同原胞之間的相對運動。聲學(xué)波描述不同原胞之間的相對運動。 光學(xué)波描述同

3、一原胞內(nèi)各原子之間的相對運動。光學(xué)波描述同一原胞內(nèi)各原子之間的相對運動。極化矢量極化矢量 e es s(q)(q)與波矢與波矢 q q 平行的稱為縱波，平行的稱為縱波，e es s(q)(q)與與 q q 垂直的稱為垂直的稱為橫波。橫波。聲頻支聲頻支: : 縱波記為縱波記為 LALA，橫波記為，橫波記為 TATA。光頻支光頻支: : 縱波記為縱波記為 LOLO，橫波記為，橫波記為 TOTO。 p 68 p 68 圖圖 4.8 4.8 硅的格波色散關(guān)系硅的格波色散關(guān)系二二 格波的模式數(shù)格波的模式數(shù)設(shè)基矢設(shè)基矢a a1 1、a a2 2、a a3 3，沿基矢方向各有，沿基矢方向各有 N N1 1、

4、N N2 2、N N3 3個原胞，整個晶個原胞，整個晶體共有體共有 N=NN=N1 1N N2 2N N3 3個原胞，每個原胞中有個原胞，每個原胞中有 n n 個原子。采用玻恩卡個原子。采用玻恩卡門周期性邊界條件：門周期性邊界條件： saNlusluii - - - (9) - - - (9) 即即 )(exp)(tRqiqeAslulsq saNluaNq itRqiqeAiiiilsq)exp()(exp)( 所以所以 exp(exp(iqiqN Ni ia ai i) = 1) = 1 q qN Ni ia ai i = 2 = 2n ni i n ni i為整數(shù)為整數(shù)令令 q = q

5、q = q1 1b b1 1 + q + q2 2b b2 2 + q + q3 3b b3 3這里這里 b bi i 是倒格子基矢，是倒格子基矢， q qN N1 1a a1 1 = (q = (q1 1b b1 1 + q + q2 2b b2 2 + q + q3 3b b3 3) )N N1 1a a1 1 = q = q1 1N N1 12 2 = 2 = 2n n1 1 所以所以 q q1 1 = n = n1 1/ N/ N1 1 類似地，類似地，q q2 2 = n = n2 2/ N/ N2 2， q q3 3 = n = n3 3/ N/ N3 3 333222111bNn

6、bNnbNnq - - - (10) - - - (10) 對倒格矢對倒格矢 332211bhbhbhKh 新的波矢新的波矢 hKqq 所對應(yīng)的位移不變所對應(yīng)的位移不變 )(exp)(tRKqiKqeAslulhhsq slutRqiqeAlsq)(exp)( 對應(yīng)的動力學(xué)矩陣也不變對應(yīng)的動力學(xué)矩陣也不變 )()(exp,) (llhlssRRKqissllqD )()(exp,qDRRq issllsslll 因此波矢因此波矢 q q 的取值范圍可限制在簡約布里淵區(qū)內(nèi)，的取值范圍可限制在簡約布里淵區(qū)內(nèi)， 22111NnN，22222NnN，22333NnN - - (11) - - (11)

7、 在簡約布里淵區(qū)內(nèi)共有在簡約布里淵區(qū)內(nèi)共有 N = N N = N1 1N N2 2N N3 3 個個 q q 值，而簡約布里淵區(qū)的體積值，而簡約布里淵區(qū)的體積為為 (2 (2) )3 3/ /, ,則倒格子空間中單位體積內(nèi)的則倒格子空間中單位體積內(nèi)的 q q 點數(shù)點數(shù)（q q 點的密度）點的密度） 333)2()2(/)2(VNN - - - (12) - - - (12) 在在 N N1 1、N N2 2、N N3 3均趨于無窮大時，波矢均趨于無窮大時，波矢 q q 可連續(xù)取值，對可連續(xù)取值，對 q q 的求和可的求和可變成積分：變成積分： qdVq3)2( - - - (13) - -

8、- (13)小結(jié)：小結(jié)： 若三維晶體含若三維晶體含 N N 個原胞，每個原胞有個原胞，每個原胞有 n n 個原子，則晶體格個原子，則晶體格 波頻譜分為波頻譜分為 3n3n 支，每一支有支，每一支有 N N 個波矢。因此格波的總模式數(shù)個波矢。因此格波的總模式數(shù) 等于晶體原子的自由度總數(shù)等于晶體原子的自由度總數(shù) 3nN3nN。三格波頻譜密度三格波頻譜密度1. 1. 定義：晶體單位體積中、單位頻率間隔之間的格波簡正模式的數(shù)定義：晶體單位體積中、單位頻率間隔之間的格波簡正模式的數(shù)目稱為格波頻譜密度目稱為格波頻譜密度 g(g() )。2. 2. 計算方法：計算方法：單位體積中、頻率在至單位體積中、頻率在

9、至+d+d之間的第支頻譜的格波簡正之間的第支頻譜的格波簡正模式的數(shù)目為模式的數(shù)目為 g g( ()d)d。（1 1） 倒格子空間中波矢倒格子空間中波矢 q q 的取值均勻分布，單位體積內(nèi)的的取值均勻分布，單位體積內(nèi)的 q q 點數(shù)點數(shù)為為3)2(V；（2 2）波矢空間里頻率為和）波矢空間里頻率為和+d+d兩個等頻率曲面之間的體積兩個等頻率曲面之間的體積 為為qddSS。注意：不同支頻譜的等頻率曲面形狀不同，。注意：不同支頻譜的等頻率曲面形狀不同， 兩曲面間的體積也不同。兩曲面間的體積也不同。 （見圖）（見圖）（3 3）波矢空間里頻率為和）波矢空間里頻率為和+d+d兩個等頻率曲面之間包含的兩個等

10、頻率曲面之間包含的 q q 點數(shù)為點數(shù)為qdVdSS3)2(，再除以，再除以 V V 即求得。即求得。 寫成寫成 g g( ()d)d = = qddSS381 - - - (14) - - - (14)在兩個等頻率曲面間取一圓柱形體積元在兩個等頻率曲面間取一圓柱形體積元 dq = dq = dSdSl,l,其中小圓柱其中小圓柱高高 l l 滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式 ld| （見圖） 。（見圖） 。所以所以 g g( ()d)d = = |813dSddSS即即 g g( () = ) = |813dSdSS 對所有各支格波頻譜求和，即求得格波頻譜密度對所有各支格波頻譜求和，即求得格波頻譜密度 g

11、(g() ) g( g() = ) = | )(|813qdS - - - (15) - - - (15) 上式中積分上下限的等頻率曲面形狀對于不同支頻譜是不上式中積分上下限的等頻率曲面形狀對于不同支頻譜是不 同的，因此沒有標(biāo)出。同的，因此沒有標(biāo)出。3. 3. 晶體硅的格波頻譜密度晶體硅的格波頻譜密度 p 70 p 70 圖圖 4.10 4.10 中的實線。中的實線。 實線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積等于晶體單位體積中格波的總模式實線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積等于晶體單位體積中格波的總模式數(shù)，它應(yīng)等于晶體單位體積中原子的自由度總數(shù)。數(shù)，它應(yīng)等于晶體單位體積中原子的自由度總數(shù)。 VnNdg3)( - -

12、- (16) - - - (16)對于硅，面心立方，對于硅，面心立方，n = 2n = 2。4. 4. 格波頻譜密度的德拜近似格波頻譜密度的德拜近似（圖（圖 4.10 4.10 中的虛線） ：中的虛線） ： (1) (1)只考慮聲頻支格波；只考慮聲頻支格波； (2) (2)認(rèn)為在長波極限下晶體是各向同性的彈性體，色散關(guān)系為一直認(rèn)為在長波極限下晶體是各向同性的彈性體，色散關(guān)系為一直 線，線，(q) = (q) = v vs sq q，常系數(shù)，常系數(shù) v vs s為聲速；為聲速； (3) (3)將線性色散關(guān)系延伸至最高頻率將線性色散關(guān)系延伸至最高頻率D D，使虛線下面積。，使虛線下面積。 VNdg

13、D3)(0 - - - (17) - - - (17)通常用公式通常用公式（1717）確定）確定D D。四四 范霍夫奇性范霍夫奇性 公式公式（1515） g( g() = ) = | )(|813qdS 在在0)(q的點處存在的點處存在奇性，這些點稱為臨界點。常出現(xiàn)在布里淵區(qū)的高對稱性點處。奇性，這些點稱為臨界點。常出現(xiàn)在布里淵區(qū)的高對稱性點處。在三維情況，設(shè)臨界點在在三維情況，設(shè)臨界點在 q = 0 q = 0， 對應(yīng)的頻率為對應(yīng)的頻率為C C，則在，則在C C附近可附近可作冪級數(shù)展開：作冪級數(shù)展開： = = C C + Aq + Aqx x2 2 + Bq + Bqy y2 2 + Cq

14、+ Cqz z2 2范霍夫提出有四類奇性，即有四類臨界點?？磿戏痘舴蛱岢鲇兴念惼嫘?，即有四類臨界點?？磿?p70p70。4 4. .5 5 離離子子晶晶體體的的光光頻頻模模與與電電磁磁波波耦耦合合當(dāng)當(dāng)長長光光學(xué)學(xué)波波通通過過離離子子晶晶體體時時，其其縱縱波波分分量量會會使使離離子子晶晶體體產(chǎn)產(chǎn)生生宏宏觀觀極極化化，并并與與電電磁磁波波發(fā)發(fā)生生耦耦合合。描描述述這這種種現(xiàn)現(xiàn)象象的的基基本本方方程程是是黃黃昆昆方方程程。一一 長長光光頻頻模模的的特特點點 考考慮慮由由兩兩種種不不同同離離子子（正正、負(fù)負(fù)離離子子）所所組組成成的的一一維維復(fù)復(fù)式式格格子子。已已知知對對于于光光學(xué)學(xué)波波，相相鄰鄰的

15、的不不同同離離子子振振動動方方向向相相反反。當(dāng)當(dāng)波波長長原原胞胞線線度度時時，相相鄰鄰的的同同一一種種離離子子的的位位移移將將趨趨于于相相同同。這這樣樣，在在半半波波長長的的范范圍圍內(nèi)內(nèi)，正正離離子子所所組組成成的的一一些些布布喇喇菲菲原原胞胞同同向向地地位位移移，而而負(fù)負(fù)離離子子所所組組成成的的另另一一些些布布喇喇菲菲原原胞胞反反向向地地位位移移。 （看看演演示示）1. 1. 縱光學(xué)波縱光學(xué)波正負(fù)離子的位移在每一個厚度為半波長的薄層中產(chǎn)生一個極化強正負(fù)離子的位移在每一個厚度為半波長的薄層中產(chǎn)生一個極化強度度 P P，因此長的縱光學(xué)波是一種極化波。極化導(dǎo)致每一個薄層的兩個面，因此長的縱光學(xué)波是

16、一種極化波。極化導(dǎo)致每一個薄層的兩個面上出現(xiàn)凈上出現(xiàn)凈（正負(fù)）電荷（正負(fù)）電荷（p71 p71 圖圖 4.124.12） ，從而產(chǎn)生了一個垂直于薄層的） ，從而產(chǎn)生了一個垂直于薄層的退極化場退極化場 E Ed d，o oE Ed d = -P = -P。E Ed d的作用促使離子回到平衡位置，相當(dāng)于增的作用促使離子回到平衡位置，相當(dāng)于增強恢復(fù)力，所以長的縱光學(xué)波的振動頻率強恢復(fù)力，所以長的縱光學(xué)波的振動頻率LoLo應(yīng)大于原來只考慮準(zhǔn)彈性應(yīng)大于原來只考慮準(zhǔn)彈性力的本征振動頻率力的本征振動頻率o o（看書，圖）（看書，圖）因電磁波是橫波，縱光學(xué)波不能和電磁波耦合。因電磁波是橫波，縱光學(xué)波不能和電磁

17、波耦合。2. 2. 橫光學(xué)波橫光學(xué)波離子位移與格波傳播方向垂直。沒有凈離子位移與格波傳播方向垂直。沒有凈（正負(fù)）電荷出現(xiàn)（正負(fù)）電荷出現(xiàn)（見圖） ，（見圖） ，因此退極化場因此退極化場 E Ed d = 0 = 0。所以長的橫光學(xué)波的振動頻率。所以長的橫光學(xué)波的振動頻率ToTo應(yīng)等于原來應(yīng)等于原來本征振動頻率本征振動頻率o o。由此可知，對于離子晶體，。由此可知，對于離子晶體，LoLo大于大于ToTo。橫光學(xué)波和電磁波都是橫波，兩者可以耦合，形成統(tǒng)一的電磁耦合波。橫光學(xué)波和電磁波都是橫波，兩者可以耦合，形成統(tǒng)一的電磁耦合波。二二 黃黃昆昆方方程程長長光光學(xué)學(xué)波波有有一一個個重重要要特特點點：

18、介介質(zhì)質(zhì)中中的的縱縱向向電電場場（外外加加的的，和和正正負(fù)負(fù)離離子子極極化化產(chǎn)產(chǎn)生生的的）會會使使恢恢復(fù)復(fù)力力常常數(shù)數(shù)改改變變（振振動動頻頻率率改改變變） ，這這使使問問題題的的精精確確解解變變得得遠(yuǎn)遠(yuǎn)為為復(fù)復(fù)雜雜。用用 u u+ +：質(zhì)質(zhì)量量為為 M M+ +的的正正離離子子偏偏離離平平衡衡位位置置的的位位移移。 u u- -：質(zhì)質(zhì)量量為為 M M- -的的負(fù)負(fù)離離子子偏偏離離平平衡衡位位置置的的位位移移。 E E： 介介質(zhì)質(zhì)中中存存在在的的宏宏觀觀電電場場強強度度。 E Ee ef ff f：作作用用在在某某一一離離子子上上的的有有效效電電場場強強度度。 E Ee ef ff f = =

19、E E 該該離離子子本本身身產(chǎn)產(chǎn)生生的的電電場場1 1 極化方程極化方程 由洛侖茲有效場近似由洛侖茲有效場近似 （見書（見書 “光學(xué)原理” ）“光學(xué)原理” ） E Eeffeff = E + = E + 31P - - - (1)P - - - (1) 其中極化強度其中極化強度 P = P = VN( (e e* *u + u + E Eeffeff) - - -) - - -（2 2） 這里這里 e e* *是離子電荷是離子電荷（正負(fù)離子的電荷數(shù)相同，符號相反） ，（正負(fù)離子的電荷數(shù)相同，符號相反） ，V V 是晶體體積，是晶體體積，N N 是復(fù)式格子的原胞數(shù)，是復(fù)式格子的原胞數(shù)，u = (

20、uu = (u+ + - u - u- -),), = = + + + + - - 是正負(fù)離子極化率之和。是正負(fù)離子極化率之和。把把（1 1）式代入）式代入（2 2） ，） ， P = P = VN( (e e* *u + u + E + E + 3P)P) P - P - VN3P = P = VN( (e e* *u + u + E)E) P = P = VNVNEue31* - - - (3) - - - (3)2 2. . 正正負(fù)負(fù)離離子子的的運運動動方方程程 M M+ +u = = - -( (u u+ + - - u u- -) ) + + e e* *E Ee ef ff f M

21、 M- -u = = + +( (u u+ + - - u u- -) ) e e* *E Ee ef ff f - - - - - -（4 4）把把（4 4）式式的的第第一一式式乘乘以以 M M- -減減去去第第二二式式乘乘以以 M M+ +, , )(*)()(MMEeMMuuuuMMeff effEeuuuuMMMM *)()( u = = - -u u + + e e* *E Ee ef ff f - - - - - - （5 5） 其其中中= = MMMM，上上式式中中最最后后一一項項表表明明“極極化化影影響響運運動動”。把把（7a7a）和）和（9 9）代入運動方程）代入運動方程（6

22、a6a） LoTLTLWbbWWbWW 2221211)(橫向振動方程：橫向振動方程： TTWbW 11 (a) - - (10) (a) - - (10) 縱向振動方程：縱向振動方程： LoLWbbbW )(2221211 (b) (b)把把 W W 的的 e ei i( (q qr r - -t)t)形式代入方程形式代入方程（1010） 光學(xué)波橫向頻率：光學(xué)波橫向頻率： 201120bT (a) - - - (11) (a) - - - (11) 光學(xué)波縱向頻率：光學(xué)波縱向頻率：)(222121120bbboL 2221220bboT ( (b)b)四四 晶體介電系數(shù)晶體介電系數(shù)s s、與

23、黃昆方程系數(shù)的關(guān)系與黃昆方程系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)在討論介質(zhì)中存在一個一般的宏觀電場現(xiàn)在討論介質(zhì)中存在一個一般的宏觀電場 E E（外加，極化，縱，橫，（外加，極化，縱，橫，任意頻率） 。設(shè)解仍為任意頻率） 。設(shè)解仍為 e ei i(q(qr -r -t)t)形式，代入黃昆方程形式，代入黃昆方程（6a6a） 得得 - -2 2 W = b W = b1111W + bW + b1212E E 所以所以 W = W = Ebb11212 代入黃昆方程代入黃昆方程（6b6b） P = -b P = -b1212Ebb11212 + b + b2222E E = = Ebbb)(11221222 利用利用 P

24、= D - P = D - o oE=E=o o（-1 -1 ）E E 所以所以 o o（-1 -1 ）= = 11221222bbb )(11)(11221222bbbo - - (12) - - (12) 把把（1111）(a)(b)(a)(b)代入上式，消去代入上式，消去 b b1111和和 b b12122 2 得介電函數(shù)得介電函數(shù) )(11)(22222222TOTOLOoobb 22222222)()(1TOTOLOooobb )1)(1 (222222TOTOLOob )1)()(222222oTOLOb - - - (13) - - - (13) 當(dāng)當(dāng) ob221)( 為高頻介電常數(shù)為高頻介電常數(shù) 當(dāng)當(dāng) 0 0 )()0(22TOLOs 為靜電介電常數(shù)為靜電介電常數(shù) 著名的著名的 LSTLST 關(guān)系：關(guān)系： sLoTo22 - - - (14) - - - (14) LST: LST: Lyddane-Sachs-Teller Lyddane-Sachs-Teller 利戴恩薩克斯特勒利戴恩薩克斯特勒 關(guān)系關(guān)系 結(jié)論：結(jié)論： （i i） s s恒恒 長光學(xué)縱波的長光學(xué)縱波的 LoLo恒恒 長光學(xué)橫波的長光學(xué)橫波的ToTo 原因：縱波伴隨有一個宏觀電場，增加了恢復(fù)力，提高了縱原因：縱波伴隨有一個宏觀電場，增加了恢復(fù)力，提高了縱 波的頻率波的頻率LoLo （iii