函數(shù)的單調性典型例題精析

1、231 函數(shù)的單調性·例題解析 【例1】求下列函數(shù)的增區(qū)間與減區(qū)間(1)y|x22x3|解 (1)令f(x)x22x3(x1)24先作出f(x)的圖像，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖像翻到x軸就得到y(tǒng)|x22x3|的圖像，如圖231所示由圖像易得：遞增區(qū)間是3，1，1，)遞減區(qū)間是(，3，1，1(2)分析：先去掉絕對值號，把函數(shù)式化簡后再考慮求單調區(qū)間解 當x10且x11時，得x1且x2，則函數(shù)yx當x10且x11時，得x1且x0時，則函數(shù)yx2</PGN0071B.TXT/PGN>增區(qū)間是(，0)和(0，1)減區(qū)間是1，2)和(2，)(3)解：

2、由x22x30，得3x1令ug(x)x22x3(x1)24在x3，1上是在x1，1上是函數(shù)y的增區(qū)間是3，1，減區(qū)間是1，1【例2】函數(shù)f(x)ax2(3a1)xa2在1，上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解 當a0時，f(x)x在區(qū)間1，)上是增函數(shù)若a0時，無解a的取值范圍是0a1【例3】已知二次函數(shù)yf(x)(xR)的圖像是一條開口向下且對稱軸為x3的拋物線，試比較大?。?1)f(6)與f(4)解 (1)yf(x)的圖像開口向下，且對稱軸是x3，x3時，f(x)為減函數(shù)，又643，f(6)f(4)時為減函數(shù)解 任取兩個值x1、x2(1，1)，且x1x2當a0時，f(x)在(1，1)上是減函數(shù)

3、當a0時，f(x)在(1，1)上是增函數(shù)【例5】利用函數(shù)單調性定義證明函數(shù)f(x)x31在(，)上是減函數(shù)證 取任意兩個值x1，x2(，)且x1x2又x1x20，f(x2)f(x1)故f(x)在(，)上是減函數(shù)得f(x)在(，)上是減函數(shù)解 定義域為(，0)(0，)，任取定義域內兩個值x1、x2，且x1x2當0x1x21或1x1x20時，有x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)f(x)在(0，1，1，0)上為減函數(shù)當1x1x2或x1x21時，有x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，1，1，)上為增函數(shù)根據(jù)上面討論的單調區(qū)間的結果，又x0時，f(x)minf(1)

4、2，當x0時，f(x)maxf(1)2由上述的單調區(qū)間及最值可大致說明 1°要掌握利用單調性比較兩個數(shù)的大小2°注意對參數(shù)的討論(如例4)3°在證明函數(shù)的單調性時，要靈活運用配方法、判別式法及討論方法等(如例5)4°例6是分層討論，要逐步培養(yǎng)例題：已知函數(shù)f(x)對任意x,yR均滿足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；當且僅當x<0時，f(x)<0，求：當-3x3時，求f(x)的最大值與最小值。解：在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0，可得f(0)=0，取y=-x，可得f(x)=-f(-x)，即函數(shù)f(x)是

5、奇函數(shù)，在f(x)的定義域R內任取x1，x2，使x1<x2，即x1-x2<0則f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0，故f(x)在定義域R內是單調遞增函數(shù)，因為f(1)=2，所以f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6，f(-3)=-f(3)=-6，因為f(x)在定義域R內是單調遞增函數(shù)，故當-3x3，求f(x)的最大值為6，最小值-6證明函數(shù)單調性一般用的是定義法證明, 例:證明f(x)=xm-2/x在(0,正無窮)的單調性 解:設:x1,x2屬于(0,正無窮) 且 x2>x1 f(x1)-f(x2)=x1-2/x1-x2+2/x2 =(x1-x2)-2/x1+2/x2 =(x1-x2)-2x2+2x1/x1x2 =(x1x2+2)(x1-x2)/x1x2 x2>x1 x1x2+2>0 x1-x2>0 x1x2>0 f(x1)>f(x2) f(x)在(0,正無窮)上為增函數(shù)奇偶性分為奇函數(shù)和偶函數(shù)奇函數(shù)只需證明f(-x)=-f(x)