概率復(fù)習(xí)4-9章

1、1iiiE(X) =x p+-E(X) =xf(x)dx2D(X) =E(X - E(X)22D(X) =E(X) - E (X)iiig(X)gE() =(x )pijiijg(X,Y)g(E() =x y )p,+-g(X)g(x)E() =f(x)dx+-E() =f(x, y)dxg(X,Y)g(x, y)dy 2 YDXDY,XcovXY 3表表 幾種常見分布的均值與方差幾種常見分布的均值與方差 分布律或分布律或 密度函數(shù)密度函數(shù) 分布分布數(shù)學(xué)期數(shù)學(xué)期望望方差方差 01分布分布 p p(1-p)二項二項分布分布b(n,p) npnp(1-p)泊泊松分布松分布 均勻分布均勻分布U(a,

2、b)指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布k1-kP(X = k)= p (1- p)k = 0,1kk1-knP(X = k)=C p (1- p)k =0,1,.,n( )P k-P(X = k)= ek!k =0,1,., 1 (b-a),a x 0f(x)=0,其其它它1 21 ()2N ,22(x-)- 21f(x)=e,xR2245.設(shè)發(fā)現(xiàn)飛機(jī)所需時間為設(shè)發(fā)現(xiàn)飛機(jī)所需時間為T，則，則-tP0 0F(t)= pTt =0 t0-tet 0f(t)= F (t)=0t0可可T服T服的的指指分分布布,平,平均均搜搜索索見從參數(shù)為數(shù)時間為00( )( )1/1/ttE Ttf t dxt edx

3、et 分分部部積積分分57.011()11!kkEeXkk 8.00( )2( )2212xxE Yxf x dxxe dxex 101(1)!kkek 01!kkeek 11e 2330011( )( )33xxxE Zef x dxedxe 69.()( , )E Xxf x y dxdy 13003( )( , )125xE Yyf x y dxdydxy dy 12004125xdxxy dy13001()( , )122xE XYxyf x y dxdydxxy dy 2222()() ( , )E XYxyf x y dxdy 12220016() 1215xdxxyy dy也可以

4、先算也可以先算X,Y的邊緣密度再求期望的邊緣密度再求期望,但較麻煩但較麻煩73300123 1001()( )(3)3322( )( )23311()()( )3xxE Xxf x dxxedxexE Yyf y dxy dyyE XYE XE Y ()() ( )2E XYE X E Y因為因為X和和Y相互獨立，所以相互獨立，所以11.813.1011,.,10XiiiiXiiXX1,第 站有人下車設(shè)，0,第 站無人下車為停車的總次數(shù)，則設(shè)每名乘客在每一站下車是隨機(jī)的，設(shè)每名乘客在每一站下車是隨機(jī)的， 則則2020991 10 1, ()11010iiipP XP XE Xp 由數(shù)學(xué)期望和的

5、性質(zhì)，平均停車次數(shù)為由數(shù)學(xué)期望和的性質(zhì)，平均停車次數(shù)為201019()()1010 110iiE XE Xp 921. 1)由正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布可知由正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布可知22221(,) (1,3 ,0,4 ,)(1,3 ),(0,4 )2X YNXNY N22()1,()39,( )0,( )416E XD XE YD Y11111()()()( )103232323XYE ZEE XE Y 11(,)()( )3 4622XYXYCov X YD XD Y ()()()()2(,)323232XYXYX YD ZDDDCov111()( )(,)3943D XD

6、YCov X Y10211(2)(,)(,)(,)(,)32321111 ()(,)3( 6)032320XZXYCov X ZCov XCov X XCov X YD XCov X Y 221(3)(,)(1,3 ,0,4 ,),2X YN 32XYXZXY而而 和和都都可可看看成成是是 和和 的的非非零零線性組合線性組合于是由書上于是由書上P118性質(zhì)性質(zhì)3知道知道(X,Z)也服從二維正態(tài)分布也服從二維正態(tài)分布0,XZ 又由又由2)中結(jié)果知中結(jié)果知所以所以X, Z相互獨立相互獨立11nnlim P | X - x | = 0nnlim F (x) = F(x)nniini=1i=111li

7、mPX -E(X ) nn= 1 nniii=1i=1nnik=1X -E(X )lim PxD(X )= (x) 12習(xí)習(xí) 題題 五五1. 1. 習(xí)題五第習(xí)題五第2,4,5,2,4,5,題與之類似題與之類似由題意知由題意知Y B (600, 2/5) E(Y)= np=6002/5=240D(Y)= np(1-p)=6002/53/5=144P216 Y 264 = PY - 240 0, (i=1,2, ,n) 時時3. 建立似然方程建立似然方程, 0222ln312 niixndLd254. 由似然方程求解得極大似然估計由似然方程求解得極大似然估計值值為為nxnii212 5. 極大似然

8、估計極大似然估計量量為為nXnii212 264. 證明：證明：)(1)(122 niiaXnEE niiaXEn12)(12211)(1 nnXDnnii27 1121211121)()(2)()(niiiiiniiiXEXXEXECXXCE 1121121)()()()(2)()(niiiiiiiXEXDXEXEXEXDC) 1() 1() 1( 2) 1() 1(22222 nnnnnC22)1(2 nC5. 證明：證明：)1(21 nC28 niiniiiniiniiaXEaXaEEa1111)()() (1 最小最小最小，需最小，需要使要使 niiniiaDXDaD1212)()(

9、naaan1.21 )(95)(91)(94)3132(2121XDXDXDXXD )(85)(169)(161)4341(2121XDXDXDXXD )(21)(41)(41)2121(2121XDXDXDXXD 的方差最小。的方差最小。3 2910. 解：解：已知，故選樞軸變量：已知，故選樞軸變量：，需估計需估計 )12 ,574. 0)(191, 691, 9,05. 091291 iiiixxsxxn 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為：的的置置信信度度為為得得95. 0,96. 1025. 0 u392. 6,608. 596. 136 . 06,96. 136 . 06 )1 , 0( Nn

10、XU 22,uunXnX 1| 2/uUP令令30未未知知，故故選選樞樞軸軸變變量量：，需需估估計計 )22 ,574. 0)(191, 691, 9,05. 091291 iiiixxsxxn 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為：的的置置信信度度為為得得95. 0,306. 2)8(025. 0 t442. 6,558. 5306. 23574. 06,306. 23574. 06 )1( ntnSXT )1(),1(22 nnSXnnSXtt 1)1(| 2/ntTP令令3111. 解：解：由于方差已知，選?。河捎诜讲钜阎?，選?。?1 ,0(Nn/XU 則總體均值的置信度為則總體均值的置信度為1-的

11、置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：,22 unXunX 區(qū)間長度為：區(qū)間長度為：Lun 22 222222)(4)2( uLLun 1| 2/uUP令令3220. 解：解：)1()1(,2222 nSnc c c c 故選樞軸變量：故選樞軸變量：未知未知因為因為需估計需估計,45,10,05. 0 sn ,325. 3)9(295. 0 c c c c 1)1()1(2122nSnP c c 1)1()1(2122nSnP的的單單側(cè)側(cè)置置信信上上限限為為：的的置置信信度度為為得得95. 0 04.74325. 3459)1()1(2212 nsn c c33_ XN(, ,2) _ ATXXX BTX

12、XX CTXXX DTXXX 1123212331234123111111( );( );333236112111( );();255363(A)XTSn/ 3435),(2 NX0X - U = N(0,1)n0X - T =t(n-1)Snn2i22i=120X - = (n)22220(n-1)S = (n-1)2u u2t t (n-1)22221-22 (n) (n-1) u12w12X -YT =t(n +n -2)11S+nn122t t (n+n -2)22211112222222S SF=F(n -1,n -1)S S122121-2f F (n -1,n -1) f F (

13、n -1,n -1)或或 37檢檢驗驗法法。用用驗驗均均值值在在方方差差已已知知的的條條件件下下檢檢U,. 126:26:10 HH。建立原假設(shè)和對立假設(shè)建立原假設(shè)和對立假設(shè) 1 , 0 /26,0NnXUH 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量成立的條件下成立的條件下在原假設(shè)在原假設(shè)96. 1|16,n,05. 0205. 02 uuu 拒絕域為：拒絕域為：2 . 116/2 . 52656.27 uU的的觀觀測測值值為為此此時時,96. 12 . 1|205. 0在在接接受受域域內(nèi)內(nèi)uuu 26,0認(rèn)認(rèn)為為總總體體的的均均值值故故接接受受 H38檢檢驗驗法法。用用驗驗均均值值在在方方差差未未知知的的條條件

14、件下下檢檢t,3%25. 3:%25. 3:10 HH。建立原假設(shè)和對立假設(shè)建立原假設(shè)和對立假設(shè) 155/%25. 3, tSXT檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)成立的條件下在原假設(shè)成立的條件下 6041. 442 tt拒絕域為：拒絕域為： 00017. 041 ,%252. 351512251 iiiixxSxx,3430. 05/25. 3 sxtT的觀測值為的觀測值為此時此時%25. 3,),4(6041. 43430. 0|0201. 0認(rèn)為總體的均值認(rèn)為總體的均值故接受故接受不在拒絕域內(nèi)不在拒絕域內(nèi) Htt 39檢驗法檢驗法用用驗方差驗方差在均值未知的條件下檢在均值未知的條件下檢2, .

15、 5c c400:400:2120 HH。建建立立原原假假設(shè)設(shè)和和對對立立假假設(shè)設(shè)解解： 2440024)1(,2220220c c c cSSnH 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量成立的條件下成立的條件下在原假設(shè)在原假設(shè) 886. 924 559.4524201. 0122201. 022 c cc cc cc c或或拒拒絕絕域域為為： 242862.2424 ,2862.2440024201.0201.021222c cc cc c s觀觀測測值值為為此此時時400,20認(rèn)為總體的方差認(rèn)為總體的方差故接受故接受在接受域內(nèi)在接受域內(nèi) H77.404,25,01. 02 sn 40檢驗法。檢驗法。用用驗均

16、值驗均值在方差未知的條件下檢在方差未知的條件下檢t,)17%5 . 0:%5 . 0:10 HH 1/%5 . 0/,0 ntnSXnSXT 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)成立的條件下在原假設(shè)成立的條件下 8331. 19905. 0 ttT 由由對對立立假假設(shè)設(shè)知知拒拒絕絕域域為為 91024. 410/%037. 0%5 . 0%452. 010/%5 . 0 05. 0tsxtT 的的觀觀測測值值10,n,05. 0 0,H故故拒拒絕絕在在拒拒絕絕域域內(nèi)內(nèi)41檢驗法。檢驗法。用用驗方差驗方差在均值未知的條件下檢在均值未知的條件下檢2,)2c c%04. 0:%04. 0:10 HH 9%0

17、4. 0*91,2222022c c c cSSn 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)成立的條件下在原假設(shè)成立的條件下 325.399,05.012122 c cc cc c 拒拒絕絕域域為為：由由對對立立假假設(shè)設(shè) 005. 012222,97006. 7%04. 0*9 Hs故接受故接受不在拒絕域內(nèi)不在拒絕域內(nèi)的觀測值為的觀測值為此時此時 c cc c42 niiiniibxxbyyQ100212)(. 1 0)(21000 niiiixxbxbxyydbdQ niiniiiniiiniiixxxxyyxxxxxxyyb120100100100)()()()(43 11688/228*8-7666

18、 3678/228*521849 1408/52*8478. 4222222 ynylyxnyxlxnxliyyiixyixx834. 0)6()2(9076. 0) 1 (01. 0 RnRlllRyyxxxy 樣樣本本相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)4609.11, 6214. 2)2( xbyallbxxxy線性相關(guān)關(guān)系顯著。線性相關(guān)關(guān)系顯著。與與可認(rèn)為可認(rèn)為YXxy6214. 24609.11 經(jīng)經(jīng)驗驗回回歸歸方方程程為為：44 9357.13485983.107423952.86583222222 ynyyylyxnyxyyxxlxnxxxliiyyiiiixyiixx55805 ,7124 ,43

19、8202,0769.21131,4615.164131 . 513113121312131131 iiiiiiiiiiiyxyxyyxx684. 0)11()2(9940. 0) 1 (01. 0 RnRlllRyyxxxy 樣樣本本相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)線性相關(guān)關(guān)系顯著。線性相關(guān)關(guān)系顯著。與與可認(rèn)為可認(rèn)為YX454065. 1)(216672. 01241. 0)2(22 lblnxbyallbxxyyxxxy xy1241. 06672. 0 經(jīng)驗回歸方程為：經(jīng)驗回歸方程為：46v已知隨機(jī)事件已知隨機(jī)事件A與與B相互獨立，相互獨立，P(A)=a, P(B)=b, 則則 _ ， _。 v甲乙丙三人

20、同時獨立地向一個目標(biāo)射擊一次，命甲乙丙三人同時獨立地向一個目標(biāo)射擊一次，命中率分別為中率分別為0.8，0.6，0.5，則目標(biāo)被擊中的概率為，則目標(biāo)被擊中的概率為_。v連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X概率密度為概率密度為 則常數(shù)則常數(shù)a = _。P AB() P AB() (1-a)(1-b)1-abxf xaex| |( ), 0.961/2v隨機(jī)變量隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布，的泊松分布， _v設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(, ,2) ，利用切比雪，利用切比雪夫不等式估計概率夫不等式估計概率 _。D XE X( )( ) P X| 3 11/947v1 已知已

21、知P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=3/10,則則 A, B, C全不發(fā)生的概率是全不發(fā)生的概率是 _ v2 五個考簽有一個難簽，三個考生依次不放回地五個考簽有一個難簽，三個考生依次不放回地抽取，則第三個考生抽到難簽的概率是抽取，則第三個考生抽到難簽的概率是 _v3 設(shè)一小時內(nèi)進(jìn)入圖書館的人數(shù)服從泊松分布，已設(shè)一小時內(nèi)進(jìn)入圖書館的人數(shù)服從泊松分布，已知一小時內(nèi)無人進(jìn)入圖書館的概率為知一小時內(nèi)無人進(jìn)入圖書館的概率為0.01，則一小，則一小時內(nèi)至少有二人進(jìn)入圖書館的概率為時內(nèi)至少有二人進(jìn)入圖書館的概率為 _v4 設(shè)設(shè)X與與Y獨立同分布，且獨立同分布，

22、且P(X=0)=P(X=1)=1/2,則則Z=XY的分布律為的分布律為 _v5 設(shè)設(shè)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則的指數(shù)分布，則E(X2)= _48v二、盒中有二、盒中有6個新乒乓球，每次比賽從中任取兩個個新乒乓球，每次比賽從中任取兩個球來用，賽后任放回盒中，求第球來用，賽后任放回盒中，求第3次取到兩個新球次取到兩個新球的概率的概率.v三、三、 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為(1)確定常數(shù)確定常數(shù)C；(2)討論討論X與與Y的獨立性。的獨立性。,01,0( , )0,Cxy xyxf x y 其其他他v四、四、 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y相互獨立，概率密

23、度分別為相互獨立，概率密度分別為求求E(XY)和和E(X+Y).312 ,1,0( ),( ).30,0,xXYy 0ye xfxfy x0 其其他他49v五、設(shè)某系統(tǒng)由五、設(shè)某系統(tǒng)由100個相互獨立的部件組成，每個個相互獨立的部件組成，每個部件損壞的概率都是部件損壞的概率都是0.1，必須有，必須有85個以上的部件個以上的部件正常工作才能使整個系統(tǒng)正常運(yùn)行，求系統(tǒng)不能正正常工作才能使整個系統(tǒng)正常運(yùn)行，求系統(tǒng)不能正常運(yùn)行的概率。常運(yùn)行的概率。(1.67)=0.9525)v六、六、 設(shè)設(shè)X1,X2, ,Xn是來自總體是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，的簡單隨機(jī)樣本，X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為求未

24、知參數(shù)求未知參數(shù)的極大似然估計值。的極大似然估計值。2,0( ; )(0)0,xxe xf x 其其他他50v七、某工廠用自動包裝機(jī)包裝葡萄糖，規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)重七、某工廠用自動包裝機(jī)包裝葡萄糖，規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)重量為量為500克，現(xiàn)隨機(jī)地抽取克，現(xiàn)隨機(jī)地抽取10袋，測得各袋凈重為袋，測得各袋凈重為495, 510, 505, 498, 503, 492, 502, 512, 497, 506。設(shè)。設(shè)每袋凈重服從正態(tài)分布每袋凈重服從正態(tài)分布N(, ,2)，問包裝機(jī)的工作，問包裝機(jī)的工作是否正常？是否正常？(0.05, t0.025(9)=2.2622, t0.025(10)=2.2281)v八、為了解八、為了

25、解15歲中學(xué)男生的身高歲中學(xué)男生的身高X(厘米厘米)和體重和體重Y(公公斤斤)的關(guān)系，隨機(jī)抽取的關(guān)系，隨機(jī)抽取9個男生測得數(shù)據(jù)，算出個男生測得數(shù)據(jù)，算出 (1)檢驗檢驗Y與與X是否有顯著的線性相關(guān)關(guān)系；是否有顯著的線性相關(guān)關(guān)系； (R0.01(7)=0.798, R0.01(8)=0.765, R0.01(9)=0.735) (2)求求Y關(guān)于關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程。的經(jīng)驗回歸方程。 91161.778,48.778,315.49,143.36,71206.00 xxyyiiixyllx y 51v設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 XU(1,2), Y = e2X, 求求 fY ( y )。v已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量B(2,1/3), 求求D(3X - 2Y).1,01,2,1,1,2 XY 0 522220.050.0250.052220.0