函數(shù)的基本性質(zhì)

1、函數(shù)的基本性質(zhì)一、單調(diào)性定義1單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間MA，若對(duì)于任意的x1，x2M，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)_ f(x2)，則f(x)為區(qū)間M上的增函數(shù)對(duì)于任意的x1，x2M，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)_ f(x2)，則f(x)為區(qū)間M上的減函數(shù)2證明函數(shù)的單調(diào)性一般從定義入手，也可以用導(dǎo)數(shù)證明二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論1若f(x)，g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)g(x)仍為增(減)函數(shù)2若f(x)為增(減)函數(shù)，則f(x)為減(增)函數(shù)，如果同時(shí)有f(x)>0，則為減(增)函數(shù)，為增(減)函數(shù)3互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性4yfg(x)

2、是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為增函數(shù)；若f(x)、g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為減函數(shù)5奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用有：(1)比較函數(shù)值或自變量值的大小(2)求某些函數(shù)的值域或最值(3)解證不等式(4)作函數(shù)圖象四、函數(shù)的最大(小)值：定義：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)任意x，都有f(x)M(或f(x)M)；(2)存在x0，使得f(x0)M.稱M是函數(shù)yf(x)的最大(或最小)值五、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于復(fù)合函數(shù)yfg

3、(x)，若tg(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)增(減)函數(shù)，且yf(t)在區(qū)間(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是單調(diào)函數(shù)，那么函數(shù)yfg(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性由以下表格所示，實(shí)施該法則時(shí)首先應(yīng)考慮函數(shù)的定義域.tg(x)yf(t)yfg(x)增增增增減減減增減減減增六、解題技巧1函數(shù)單調(diào)性的證明方法(1)利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：任取x1、x2D，且x1<x2；作差f(x1)f(x2)，并適當(dāng)變形(“分解因式”、配方成同號(hào)項(xiàng)的和等)；依據(jù)差式的符號(hào)確定其增減性(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)如果f (x)>0，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；如果

4、f (x)<0，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù)2函數(shù)最值的求法(1)配方法，(2)判別式法，(3)基本不等式法，(4)換元法，(5)數(shù)形結(jié)合法，(6)單調(diào)性法，(7)導(dǎo)數(shù)法1.(2010·天津模擬)函數(shù)y (x22x3)的單調(diào)遞增區(qū)間為_2.(文)函數(shù)yax在0,1上的最大值與最小值的和為3，則a的值為()A.B2C4D.3.(文)(2010·濟(jì)南市模擬)設(shè)y10.4，y20.5，y30.5，則()Ay3<y2<y1 By1<y2<y3Cy2<y3<y1 Dy1<y3<y24(2012·保定一中質(zhì)檢)已知f(x)

5、為R上的減函數(shù)，則滿足f<f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)5.(文)(2011·大連模擬)下列函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù)的是()Aylog0.5(1x) Byx0.5Cy0.51x Dy(1x2)6(2011·江蘇南通中學(xué)月考、北京東城示范校練習(xí))設(shè)a2，b，c0.3，則()Aabc BacbCbca Dbac7(文)(2011·北京模擬)設(shè)函數(shù)f(x)，若f(a)>a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，3) B(，1) C(1，) D(0,1)8(2011·青島模擬)已知函數(shù)f

6、(x)axlogax(a>0且a1)在1,2上的最大值與最小值之和為loga26，則a的值為()A. B. C2 D49(文)如果函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_10.(文)(2011·平頂山一模)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x1，x20，)(x1x2)，有<0，則()Af(3)<f(2)<f(1) Bf(1)<f(2)<f(3)Cf(2)<f(1)<f(3) Df(3)<f(1)<f(2)11(文)已知f(x)(xa)(1)若a2，試證f(x)在(，2)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若

7、a>0且f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍一、函數(shù)的奇偶性1奇偶性的定義設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有xD，且f(x)_ (或f(x)_)成立，則稱f(x)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))2關(guān)于奇偶性的結(jié)論與注意事項(xiàng)(1)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)，在函數(shù)的定義域的真子集內(nèi)討論函數(shù)的奇偶性是沒有意義的顯然，函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件(2)函數(shù)按奇偶性分類可分為：是奇函數(shù)不是偶函數(shù)、是偶函數(shù)不是奇函數(shù)、既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)、既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)(3)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，那么f(0)0；如果一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是

8、偶函數(shù)，則其值域?yàn)?，但逆命題不成立若f(x)為偶函數(shù)，則恒有f(x)f(|x|)(4)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(5)兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和、差為奇(偶)函數(shù)；兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之積、商是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之積或商是奇函數(shù)(以上函數(shù)都不包括值恒為0的函數(shù))二、函數(shù)的周期性(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f(xT)_，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做它的最小正周期(2)一般我們提到函數(shù)的周期是多少，指的是最小正周期；如果T

9、是f(x)的周期，則kT(kN*)也是該函數(shù)的周期；周期函數(shù)不一定有最小正周期1.(2011·北京西城一模)下列給出的函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是()Ay2|x| Byx2xCy2x Dyx32.(2010·北京西城區(qū)抽檢)下列各函數(shù)中，()是R上的偶函數(shù)()Ayx22xBy2xCycos2x Dy3.(文)(2011·遼寧文，6)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a()A.B.C. D14.(文)(2011·湖南文，12)已知f(x)為奇函數(shù)，g(x)f(x)9，g(2)3，則f(2)_.5(文)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(

10、x)2x3，則f(2)的值等于()A1 B. C1 D6.已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)g(x)()x，則f(1)，g(0)，g(1)之間的大小關(guān)系是_7(文)(2011·合肥模擬)設(shè)f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(2x)f()的所有x之和為()A B C8 D88(文)若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，且當(dāng)x(2,2)時(shí)，f(x)x21.則f(5)_.9.(文)(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)1，f(2)2，則f(3)f(4)()A1 B1 C2 D210(文)(2011·濟(jì)南模擬)函數(shù)f(x)(xR)是周期為3的奇函數(shù)，且f(1)a，則f(2011)的值為()Aa Ba C0 D2a11(2011