實際問題與一元一次方程（一）（提高）知識講解

1、. 讓更多的孩子得到更好的教育實際問題與一元一次方程（一）（提高）知識講解撰稿：孫景艷 審稿：趙煒 【學習目標】1.熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路【要點梳理】要點一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答 要點詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2）“設”就是設未知數(shù)，一般求什么就設什么為x，但有時也可以間接設未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各

2、個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚要點二、常見列方程解應用題的幾種類型（待續(xù)）1和、差、倍、分問題 （1）基本量及關(guān)系：增長量原有量×增長率，現(xiàn)有量原有量+增長量，現(xiàn)有量原有量-降低量（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等2行程問題 （1）三個基本量間的關(guān)系： 路程=速度×時間 （2）基本類型有： 相遇問題（或相向問題）：基本量

3、及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時間 尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程兩地距離追及問題：基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時間尋找相等關(guān)系：第一， 同地不同時出發(fā)：前者走的路程追者走的路程；第二， 第二，同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離追者走的路程航行問題：基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度水流速度，順水速度逆水速度2×水速；尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮（3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析3工程問題如果題目沒有明確指明總

4、工作量，一般把總工作量設為1基本關(guān)系式：（1）總工作量=工作效率×工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和4調(diào)配問題 尋找相等關(guān)系的方法：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮【典型例題】類型一、和差倍分問題1旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案與解析】解：設油箱里原有汽油x公斤，由題意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% 解得：x=10 答：油箱里原有汽油10公斤.【點評】等量關(guān)系為：油箱中剩余汽

5、油+1=用去的汽油. 舉一反三：【變式】某班舉辦了一次集郵展覽，展出的郵票若平均每人3張則多24張，若平均每人4張則少26張，這個班有多少學生?一共展出了多少張郵票?【答案】解：設這個班有x名學生，根據(jù)題意得： 3x+244x-26 解得：x50 所以3x+243×50+24174 答：這個班有50名學生，一共展出了174張郵票類型二、行程問題1.車過橋問題2. 某橋長1200m，現(xiàn)有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個火車在橋上的時間是30s，求火車的長度和速度【思路點撥】正確理解火車“完全過橋”和“完全在橋上”的不同含義【答案與解析】解：設火

6、車車身長為xm，根據(jù)題意，得：，解得：x300， 所以答：火車的長度是300m，車速是30m/s【點評】火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下(注：A點表示火車頭)： (1)火車從上橋到完全過橋如圖(1)所示，此時火車走的路程是橋長+車長(2)火車完全在橋上如圖(2)所示，此時火車走的路程是橋長車長由于火車是勻速行駛的，所以等量關(guān)系是火車從上橋到完全過橋的速度整個火車在橋上的速度 舉一反三：【變式】某要塞有步兵692人，每4人一橫排，各排相距1米向前行走，每分鐘走86米，通過長86米的橋，從第一排上橋到排尾離橋需要幾分鐘？【答案】 解：設從第一排上橋到排尾離橋需要

7、x分鐘，列方程得：，解得：x3答：從第一排上橋到排尾離橋需要3分鐘2.相遇問題（相向問題） 3小李騎自行車從A地到B地，小明騎自行車從B地到A地，兩人都勻速前進.已知兩人在上午8時同時出發(fā)，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12點，兩人又相距36千米.求A、B兩地間的路程.【答案與解析】解：設A、B兩地間的路程為x千米，由題意得：解得：108答：A、B兩地間的路程為108千米.【點評】根據(jù)“勻速前進”可知A、B的速度不變，進而A、B的速度和不變.利用速度和=小李和小明前進的路程和時間可得方程舉一反三：【高清課堂：實際問題與一元一次方程(一)388410二次相遇問題】【變式】甲、乙兩輛汽車

8、分別從A、B兩站同時開出，相向而行，途中相遇后繼續(xù)沿原路線行駛，在分別到達對方車站后立即返回，兩車第二次相遇時距A站34km，已知甲車的速度是70km/h，乙車的速度是52km/h，求A、B兩站間的距離.【答案】解：設A、B兩站間的距離為x km，由題意得： 解得：x=122答： A、B兩站間的距離為122km.3.追及問題（同向問題）4一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發(fā)2小時后，一輛轎車從甲地去追這輛卡車，轎車的速度比卡車的速度每小時快30千米，但轎車行駛一小時后突遇故障，修理15分鐘后，又上路追這輛卡車，但速度減小了，結(jié)果又用兩小時才追上這輛卡車，求卡車的速度【答案與解析】解：設卡車的速度為

9、x千米/時，由題意得： 解得：x=24 答：卡車的速度為24千米/時【點評】采用“線示”分析法，畫出示意圖利用轎車行駛的總路程等于卡車行駛的總路程來列方程，理清兩車行駛的速度與時間4.航行問題（順逆風問題）5(武昌區(qū)聯(lián)考)盛夏，某校組織長江夜游，在流速為2.5千米/時的航段，從A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小時已知A、C兩地相距10千米，船在靜水中的速度為7.5千米/時，求A、B兩地間的距離【思路點撥】由于C的位置不確定，要分類討論：（1）C地在A、B之間；（2）C地在A地上游【答案與解析】解：設A、B兩地間的距離為x千米 (1)當C地在A、B兩地之間時，依題意得

10、解這個方程得：x20(千米) (2)當C地在A地上游時，依題意得： 解這個方程得： 答：A、B兩地間的距離為20千米或千米【點評】這是航行問題，本題需分類討論，采用“線示”分析法畫出示意圖(如下圖所示)，然后利用“共乘”4小時構(gòu)建方程求解5.環(huán)形問題6環(huán)城自行車賽，最快的人在開始48分鐘后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，環(huán)城一周是20千米，求兩個人的速度. 【答案與解析】解；設最慢的人速度為x千米/時，則最快的人的速度為x千米/時， 由題意得:x×-x×=20 解得：x=10 答：最快的人的速度為35千米/時，最慢的人的速度為10千米/時.【點評】這是

11、環(huán)形路上的追及問題，距離差為環(huán)城一周20千米.相等關(guān)系為：最快的人騎的路程-最慢人騎的路程=20千米. 舉一反三：【變式】兩人沿著邊長為90m的正方形行走，按ABCDA方向，甲從A以65m/min的速度，乙從B以72m/min的速度行走，如圖所示，當乙第一次追上甲時，在正方形的哪一條邊上?【答案】解：設乙追上甲用了x分鐘，則有： 72x-65x3×90 （分）答：乙第一次追上甲時走了(m) 此時乙在AD邊上類型三、工程問題7一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管，單獨開甲管6小時可注滿水池；單獨開乙管8小時可注滿水池，單獨開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，

12、然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池?【答案與解析】解：設再過x小時可把水注滿由題意得：解得：答：打開丙管后小時可把水放滿【點評】相等關(guān)系：甲、乙開2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1舉一反三：【變式】收割一塊水稻田，若每小時收割4畝，預計若干小時完成，收割后，改用新式農(nóng)機，工作效率提高到原來的倍，因此比預計時間提早1小時完成，求這塊水稻田的面積【答案】解：設這塊水稻田的面積為x畝，由題意得： 解得：答：這塊水稻田的面積為36畝類型四、配套問題（比例問題、勞動力調(diào)配問題）8某工程隊每天安排120個工人修建水庫，平均每天每個工人能挖土5 m3或運土3 m3，為了使挖出的土及時被運走，問：應如何安排挖土和運土的工人?【答案與解析】解：設安排x人挖土，則運土的有(120-x)人，依題意得：5x3(120-x)，解得x45 120-4575(人)答：應安排45人挖土，75人運土【點評】用參數(shù)表示挖土數(shù)與運土數(shù)，等量關(guān)系：挖土與運土的總立方米數(shù)應相等舉一反三：【高清課堂：實際問題與一元一次方程(一) 388410 配制問題】【變式】某商店選用A、B兩種價格分別是每千克28元和每千克20元的糖果混合成雜拌糖果后出售，為使這種雜拌糖果的售價是每千克25元，要配制這種雜拌糖果1