小升初奧數(shù)專題-第八講比和比例關(guān)系.

1、第八講比和比例關(guān)系比和比例，是小學(xué)數(shù)學(xué)中的最后一個內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)更多數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ).有了 “比”這個概念和表達(dá)方式，處理倍數(shù)、分?jǐn)?shù)等問題，要方便靈活得多.我們希望，小學(xué)同學(xué)學(xué)完這一講，對“除法、分?jǐn)?shù)、比例實(shí)質(zhì)上是一回事，但各有用處”有所理解這一講分三個內(nèi)容：一、比和比的分配；二、倍數(shù)的變化；三、有比例關(guān)系的其他問題.8.1 比和比的分配最基本的比例問題是求比或比值.從已知一些比或者其他數(shù)量關(guān)系，求出新的比 .例1甲、乙兩個長方形，它們的周長相等.甲的長與寬之比是 3： 2,乙的長與寬之比是 7： 5.求甲與乙的面積之比.解：設(shè)甲的周長是2.甲的長與寬分別是（與5，乙的長與寬分別是與.甲與乙

2、的面積之比是3 275MV Y運(yùn)M窗二9答：甲與乙的面積之比是864：875.作為答數(shù)，求出的比最好都寫成整數(shù)例2如右圖，ABC虛一個才!形，E是AD的中點(diǎn)，直線 CE把梯形分成甲、乙兩部分,它們的面積之比是 10 ： 7.求上底AB與下底CD的長度之比解：因?yàn)镋是中點(diǎn)，三角形 CDE與三角形CEA面積相等.三角形ADCf三角形ABC高相等，它們的底邊的比 AB： CD三角形ABC的面積：三角形 ADC勺面積=(10-7) : ( 7X 2) = 3 ： 14.答：AB： CD=3： 14.兩數(shù)之比，可以看作一個分?jǐn)?shù)，處理時與分?jǐn)?shù)計(jì)算幾乎一樣.三數(shù)之比，卻與分?jǐn)?shù)不一樣，因此是這一節(jié)講述的重點(diǎn).

3、例3大、中、小三種杯子，2大杯相當(dāng)于5中杯，3中杯相當(dāng)于4小杯.如果記號表示2 大杯、3中杯、4小杯容量之和，求與之比.解：大杯與中杯容量之比是 5 : 2=10 : 4,中杯與小杯容量之比是 4 ： 3,大杯、中杯與小杯容量之比是 10 ： 4 ： 3.=(10X 2+4X 3+3X 4) : (10X5+4X 4+3X3)=44 : 75.答：兩者容量之比是 44 : 75.把5 ： 2與4 ： 3這兩個比合在一起，成為三樣?xùn)|西之比10 ： 4 ： 3,稱為連比.例3中已告訴你連比的方法，再舉一個更一般的例子.甲：乙二3 ： 5,乙：丙二7 ： 4,3 : 5=3 X 7 : 5X7=21

4、 ： 35,7 : 4=7 X 5 : 4X5=35 : 20,甲：乙：丙=21 ： 35 ： 20.例4甲，乙、丙三人同去商場購物,甲花錢數(shù)的;等于乙花錢數(shù)的乙花錢數(shù)的:等于丙花錢數(shù)的士,結(jié)果丙比甲多花錢93元，問他們?nèi)岁P(guān)4)花了多少錢？解：根據(jù)比例與乘法的關(guān)系,甲數(shù)乂乙數(shù)xj,Li-J即二甲數(shù)：乙數(shù)二1 = 2： 3 J U34乙數(shù)X三丙數(shù)乂,即.乙數(shù)；內(nèi)數(shù)=5 ： 1 = 16： 21連比后是甲：乙：丙=2X16 : 3X16 ： 3X2=32 : 48 : 63.三人共花了 93X爺?shù)? 429（元）.63 - 32答：甲、乙、丙三人共花了 429元.例5有甲、乙、丙三枚長短不相同的

5、釘子，甲與乙長度的比是6 ： 5,甲釘子的刁釘入墻內(nèi)，甲與丙釘入墻內(nèi)的部分之比“4,而它們留在墻外的部分一樣長 .問：甲、乙、丙的長度之比是多少？解：設(shè)甲的長度是6份.2那么甲在墻外的部分是5 X=2一2甲釘入墻內(nèi)的部分是6 乂 2 = 4,丙釘入墻內(nèi)的部分為£，滿足比例式4:x=5 : 4.16好于因此內(nèi)的長度是?+2, 一乙與丙的長度之比是5 ： Cy + 2） =25 : 26,而甲與乙的長度之比是 6 : 5=30 : 25.甲：乙：丙=30 ： 25 ： 26.答：甲、乙、丙白長度之比是30 ： 25 ： 26.設(shè)甲的長度是6,也就是把甲分成6份，以它的:作為長度單位.這樣

6、便 6于利用已知條件6 ： 5,使大部分計(jì)算都整數(shù)化.這是解比例和分?jǐn)?shù)問題的常用手段.例6甲、乙、丙三種糖果每千克價分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數(shù)一樣多，問他買的這些糖果每千克的平均價是多少元？解一：設(shè)每種糖果所花錢數(shù)為 1,因此平均價是3.-jp=27 5 (兀)22 304 33答：這些糖果每千克平均價是 27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但計(jì)算卻使人感到不易.最好的計(jì)算方法是，用22 , 30 ,33的最小公倍數(shù)330,乘這個繁分?jǐn)?shù)的分子與分母，就有：333015十11十10= 27 5（7t）事實(shí)上，有稍簡捷的解題思路.解二：先求出這三種糖果

7、所買數(shù)量之比.不妨設(shè)，所花錢數(shù)是 330,立即可求出，所買數(shù)量之比是甲：乙：丙 二15： 11 ： 10.平均數(shù)是(15+11 + 10) - 3=12.單價33元的可買10份，要買12份，單價是1033乂 =27 5 （兀）.1心下面我們轉(zhuǎn)向求比的另一問題，即“比的分配”問題，當(dāng)一個數(shù)量被分成若干個數(shù)量,如果知道這些數(shù)量之比，我們就能求出這些數(shù)量例7 一個分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是100.如果分子加23,分母加32,新的分?jǐn)?shù)約分后是|,原來的分?jǐn)?shù)是多少？解：新的分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是(10+23+32),而分子與分母之比 2 : 3.因此2分子二(100 + 23 + 32)X 62分母=(10

8、0 + 23 + 32)X 亦y=9K宙八姑日 62 - 23 39 原來刀數(shù)正療二兗=61魯原來分?jǐn)?shù)是左一 61例8加工一個零件，甲需 3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現(xiàn)有1825個零件要加工，為盡早完成任務(wù)，甲、乙、丙應(yīng)各加工多少個？所需時間是多少？解：三人同時加工，并且同一時間完成任務(wù)，所用時間最少，要同時完成，應(yīng)根據(jù)工作效率之比，按比例分配工作量 .三人工作效率之比是-: 一二 28 * 24 ： 213 354他們分別需要完成的工作量是甲元成5X赤條五= 7。（個）24乙完成 1825X = 600 （個）.21丙完成成乂區(qū)可行=卿（個）所需時間是700X 3=2100 分鐘）=

9、35 小時.答：甲、乙、丙分別完成 700個，600個，525個零件，需要35小時.這是三個數(shù)量按比例分配的典型例題.例9某團(tuán)體有100名會員，男會員與女會員的人數(shù)之比是14 ： 11,會員分成三個組,甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多.各組男會員與女會員人數(shù)之比是：甲：12 ： 13,乙：5 ： 3,丙：2 ： 1 ,那么丙有多少名男會員？解：甲組的人數(shù)是100 + 2=50 （人）.全體男會員人數(shù)是10。X 溫Y= 56 （A）.12甲組男會員人數(shù)是50共表行=24 （人）.乙、丙兩組男會員人數(shù)是56-24=32 （人）乙組男會員占全組人數(shù)的J = £ 22學(xué).因此丙組總丙組男會

10、員占全組人數(shù)的-±-= I如果丙組男會員也是占|,兩組男會員只有5出 在 0C人數(shù)是2502 5（32-學(xué)令=18 （人）.9由組男會員人數(shù)是18若=12 （人）答：丙組有12名男會員.上面解題的最后一段，實(shí)質(zhì)上與“雞兔同籠”解法一致，可以設(shè)想，“兔的腳數(shù)”是一 "鳥的腳數(shù)“是白"總腳數(shù)''是蒐，"總頭數(shù)”是50 30例10 一段路程分成上坡、 平路、下坡三段，各段路程長之比依次是 1 ： 2 ： 3.小龍走各 段路程所用時間之比依次是 4 ： 5 ： 6.已知他上坡時速度為每小時 3千米，路程全長50千米. 問小龍走完全程用了多少時間？

11、解一：通常我們要求出小龍走平路與下坡的速度，先求出走各段路程的速度比上坡、平路、下坡的速度之比是123 一 立，456平路速度是3X下坡速度是3 x53 6卜”（千米/小時） ；=6 （千米/小時”走完全程所用時間50X 150X 2 24 50X3 _ / _|_ 1+2+31+2+3 5 1+2+3100+125+15036=10-（小時）.12答：小龍走完全程用了10小時25分.上面是通常思路下解題.1 ： 2 ： 3計(jì)算中用了兩次，似乎重復(fù)計(jì)算，最后算式也頗費(fèi)事事實(shí)上，靈活運(yùn)用比例有簡捷解法解二：全程長是上坡這一段長的（1+2+3） =6 （倍）.如果上坡用的時間是4份，全程都是上坡,

12、所用時間是4丈6 （份），具體時間是罟（小時）設(shè)小龍走完全程用 x小時.可列出比例式R50管=（4+5 + 5）： 2415x = x 3248.2比的變化已知兩個數(shù)量的比，當(dāng)這兩個數(shù)量發(fā)生增減變化后，當(dāng)然比也發(fā)生變化.通過變化的描述，如何求出原來的兩個數(shù)量呢？這就是這一節(jié)的內(nèi)容例11甲、乙兩同學(xué)的分?jǐn)?shù)比是5： 4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分?jǐn)?shù)比是5 ： 7.甲、乙原來各得多少分？解一：甲、乙兩人的分?jǐn)?shù)之和沒有變化 .原來要分成5+4=9份，變化后要分成 5+7=12 份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是 36,我們讓變化前后都按36份來

13、算.5 : 4= （5X4） : （4X4） =20 ： 16.5 : 7= （5X3） : （ 7X 3） =15 : 21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當(dāng)于20-15=5份.因此原來甲得 22.5 + 5X 20=90 （分），乙得 22.5 +5X 16=72 （分）.答：原來甲得90分，乙得72分.我們再介紹一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程解二：設(shè)原先甲的得分是 5x,那么乙的得分是 4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式 .（5X-22.5 ） : （ 4X+22.5 ） =5 ： 7即 5 （4X+22.5 ） =7 （ 5X-22.5 ）15x=12X 2

14、2.5x=18.甲原先得分18X5=90 （分），乙得18X4=72 （分）例12有一些球，其中紅球占!當(dāng)再放入g個紅球后，紅球占總球藪 的后,問現(xiàn)在共有多少球？解：其他球的數(shù)量沒有改變.增加8個紅球后，紅球與其他球數(shù)量之比是5 : ( 14-5 ) =5 ： 9.在沒有球增加時，紅球與其他球數(shù)量之比是1 ： ( 3-1 ) =1 ： 2=4.5 : 9.因此8個紅球是5-4.5=0.5 (份).現(xiàn)在總球數(shù)是8X - = 224(個)答：現(xiàn)在共有球224個.本題的特點(diǎn)是兩個數(shù)量中，有一個數(shù)量沒有變.把1 ： 2寫成4.5 ： 9,就是充分利用這一特點(diǎn).本題也可以列出如下方程求解：(x+8) :

15、 2x=5 : 9.例13張家與李家的收入錢數(shù)之比是8 : 5,開支的錢數(shù)之比是 8 ： 3,結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元.問每家各收入多少元？解一：我們采用“假設(shè)”方法求解.如果他們開支的錢數(shù)之比也是8： 5,那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應(yīng)是8： 5.張家結(jié)余240元，李家應(yīng)結(jié)余 x元.有240 : x=8 : 5, x=150 (元).實(shí)際上李家結(jié)余 270元，比150元多120元.這就是8 ： 5中5份與8 ： 3中3份的差， 每份是120+ ( 5-3) =60.(元).因此可求出張家 李家開支 60 X S=4S0 60 X 3=130收入 48Q+240=72Q 18計(jì)浙3450

16、答：張家收入 720元，李家收入 450元.解二：設(shè)張家收入是8份，李家收入是5份.張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一 樣多.我們畫出一個示意圖：_6X3.張*3二- 孽乂3仁1n-270X& -張家開支的3倍是（8份-240） X 3.李家開支的8倍是（5份-270） X 8.從圖上可以看出5X 8-8 X 3=16份，相當(dāng)于270 X 8-240 X 3=1440 （元）.因此每份是1440+ 16=90 （元）.張家收入是 90X 8=720 （元），李家收入是 90X 5=450 （元）.本題也可以列出比例式：（8x-240 ） : （ 5x-270 ） =8 ： 3.然后求

17、出x.事實(shí)上，解方程求x的計(jì)算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術(shù) 味道，而且一些數(shù)量關(guān)系也直觀些.例14 A和B兩個數(shù)的比是8 : 5,每一數(shù)都減少 34后，A是B的2倍，求這兩個數(shù).解：減少相同的數(shù)34,因此未減時，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并沒有變，解題時要充分利用這一點(diǎn).8 ： 5,就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是2 ： 1,兩者相 差1.將前項(xiàng)與后項(xiàng)都乘以 3,即2 ： 1=6 ： 3,使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2 （份） 或5-3=2 （份）.因此，每份是34： 2=17.A數(shù)是 17X8=136, B數(shù)是 17X5=85.答：A B

18、兩數(shù)分別是136與85.本題也可以用例13解一 “假設(shè)”方法求解，不過要把減少后的2 ： 1,改寫成8 : 4.例15小明和小強(qiáng)原有的圖畫紙之比是4 : 3,小明又買來15張.小強(qiáng)用掉了 8張，現(xiàn)有的圖畫紙之比是 5 ： 2.問原來兩人各有多少張圖畫紙？解一：充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性 .4+3=7, 5+2=7, 15-8=7.原來總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成 7份，總數(shù)多了 7張，因此,新的1份=原來1份+1原來4份，新的5份，5-4=1 ,因此新的1份有15-1 X4=11 （張）.小明原有圖畫紙11X5-15=40 （張），小強(qiáng)原有圖畫紙11X2+8=30（張）.答：原來小明有40張，

19、小強(qiáng)有30張圖畫紙.解二：我們也可采用例13解一的“假設(shè)”方法.先要將兩個比中的前項(xiàng)化成同一個數(shù)（實(shí)際上就是通分）4 : 3=20 ： 155 : 2=20 : 8.假設(shè)小強(qiáng)也買來=? （鉞），那么變化后的比仍應(yīng)是2。： 15. 44但現(xiàn)在是20 : 8,因此這個比的每一份是4511（丁（1"出=了小明現(xiàn)有20 乂?二55 （張），原有55 一 15 = 40 （張）一 4小強(qiáng)現(xiàn)有8乂 =22 1張），原有22 + 8=3Q （脹）.當(dāng)然，也可以采用實(shí)質(zhì)上與解方程完全相同的圖解法解三：設(shè)原來小明有4 “份”，小強(qiáng)有3 “份”圖畫紙.把小明現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘2,小強(qiáng)現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘

20、5,所得到的兩個結(jié)果相等我們可以畫出如下示意圖:從圖上可以看出，3X 5-4 X 2=7 （份）相當(dāng)于圖畫紙 15X2+8X5=70 （張）.因此每份是10張，原來小明有 40張，小強(qiáng)有30張.例11至15這五個例題是同一類型的問題 .用比例式的方程求解沒有多大差別.用算術(shù)方法，卻可以充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡捷的解法， 也啟示一些隨機(jī)應(yīng)變的解題思路.另外，解方程的代數(shù)運(yùn)算，對小學(xué)生說來是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設(shè)”這一思路是很有用的， 希望讀者能很好掌握，靈活運(yùn)用 .從課外 的角度，我們更應(yīng)啟發(fā)小同學(xué)善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的

21、特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進(jìn)思維例16粗蠟燭和細(xì)蠟久長短一樣.粗蠟燭可以點(diǎn)5小時，細(xì)蠟燭可以點(diǎn)4小時.同時點(diǎn)燃 這兩支蠟燭，點(diǎn)了一段時間后，粗蠟燭長是細(xì)蠟燭長的2倍.問這兩支蠟燭點(diǎn)了多少時間？解二設(shè)粗.細(xì)措獨(dú)長度是1,每小時,粗蠟燭點(diǎn)去，細(xì)獵燭點(diǎn)去，我們把問題改變一下：設(shè)細(xì)蠟燭長度是2,每小時點(diǎn)去提問過多長時間兩支蠟燭長度相等91現(xiàn)在兩者相關(guān)是（2），每小時熊縮小差距，因此兩者相等需要時間是（2-1）+（，:）（小時）.4 J 3答：這兩支蠟燭點(diǎn)了 3小時20分.把細(xì)蠟燭的長度和每小時燒掉的長度都乘以2,使原來要考慮的“2倍”變成“相等”，思考就簡捷了 .解這類問題這是

22、常用的技巧.再請看一個稍復(fù)雜的例子.例17箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的 3倍多2只.每次從箱子里取出 7 只白球，15只紅球，經(jīng)過若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來紅球數(shù)比白球數(shù)多多少只？解：因?yàn)榧t球是白球的 3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對3倍的白球， 每次取15只，最后應(yīng)剩51只.因?yàn)榘浊蛎看稳?只，最后剩下3只，所以對3倍的白球，每次取 7X3=21只，最后 應(yīng)剩 3 X 3= 9 只.因此.共取了（51- 3 X3） + （ 7X3-15） = 7 （次）.紅球有 15 X 7+ 53 = 158 （只）.白球有7 X 7+3=52

23、 （只）.原來紅球比白球多 158-52 = 106 （只）.答：箱子里原有紅球數(shù)比白球數(shù)多106只.8.3比例的其他問題比例美系可以用比表示，也可以用分?jǐn)?shù)表示，例如，甲比乙的三委7,這里必須用分?jǐn)?shù)來說，而不能用比 .實(shí)際上它還是隱含著比例關(guān)系：（甲-7）:乙=2 ： 3.因此，有些分?jǐn)?shù)問題，就是比例問題 .例18有一些畫片，小明取了其中的?還多更自小強(qiáng)取了剩下的I再加33張，他們兩人取的畫片一樣多.問這些畫片有多少張？12解役這些畫片是整體L小明取走沙瑞 剩下的是5少3張.取剩下 的,就是取，121.父又可=§,少？X'二1 （張）小強(qiáng)取到?加43%。張.12因?yàn)閮扇巳〉囊?/p>

24、樣多，的差.相當(dāng)于037）與疥差29.1 2這些回片有29+3-）=加1 （張）一答：這些畫片有261張.例19 一個容器內(nèi)貯有一些水.現(xiàn)在倒掉其中！的水，剩下的水和容器 共重7 2千克再倒掉剩下水的|此時水與容器的重量，是原來（第一次倒 掉水之前）的;問原來容器卬有多少千克的水？解：設(shè)最初的水量是1,因此最后剩下的水是（1.-） X （1,1）=按照題目條件，'的水加一個容器的重量與；的水加；的容器重量一 Q 1JJ樣重，就有器的重量V-哈 容器重量=;一因此原有水的重量是72-=84 （千克）答：容器中原來有 8.4千克水.例18和例19,通常在小學(xué)數(shù)學(xué)中，叫做分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 .“比”

25、有前項(xiàng)和后項(xiàng)，當(dāng)兩項(xiàng)合 在一起寫成一個分?jǐn)?shù)后，才便于與其他數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算.這就是把比（或除法）寫成分?jǐn)?shù)的好處.下面一個例題卻是要把分?jǐn)?shù)寫成比，計(jì)算就方便些 例20有兩堆棋子，A堆有黑子350個和白子500個，B堆有黑子4口0個和白子100個一為了使A堆中黑子占A堆的B堆中黑子占|一要從B堆中拿到A堆黑子、白子各多少個？辭要B堆甲黑子占即黑子與白子之比是3： 1.先從8堆中拿出黑子100個，使余下黑子與白子之比是（40-100 ） ： 100 = 3： 1.再要從B堆拿出黑子與白子到A堆，拿出的黑子與白子數(shù)目也要保持3： 1的比.現(xiàn)在A堆已有黑子350 + 100 = 450個），與已有白子

26、500個，相差50個要黑子占（就是兩種慎子一樣多從B堆再拿出黑子與白子，要相差 50個，又要符合3： 1這個比，要拿出白子數(shù)是50+ （ 3-1 ） = 25 （個）.再要拿出黑子數(shù)是 25 X 3= 75 （個）.答：從B堆拿出黑子175個，白子25個.例21高中學(xué)生的人數(shù)是初中學(xué)生人數(shù)的葭 高中畢業(yè)生的大數(shù)是初中612畢業(yè)生人數(shù)的荒，高、初中畢業(yè)生畢業(yè)后，高，初中留下的人數(shù)都是$20人，問高、初中畢業(yè)生共有多少人？解一：先畫出如下示意圖：初中g(shù) I一融入:嗎-口高中精融入卜二耳I6-5 = 1,相當(dāng)于圖中相差 17-12 =5（份），初中總?cè)藬?shù)是 5X6=30份，因此，每份 人數(shù)是520+

27、 （ 30-17 ） = 40 （人）.因此，高、初中畢業(yè)生共有40X （ 17+12） = 1160 （人）.答：高、初中畢業(yè)生共 1160人.解二:用；乘初中人數(shù)，應(yīng)與高中人數(shù)一樣多，就產(chǎn)生如下算式，可計(jì)算出每份是（520-520X 1） + （17X I- 12）= 40 （大）66例21與例14是完全一樣的問題， 解一與例14的解法也是一樣的.（你是否發(fā)現(xiàn)？） 解 二是通常分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法，顯然計(jì)算不如解一簡便例18, 19, 20, 21四個例題說明分?jǐn)?shù)與比例各有好處，你是否從中有所心得？當(dāng)然關(guān)鍵還是在于靈活運(yùn)用.例22張、王、李三個人共有108元，張用了自己錢數(shù)的。王用了自

28、7;2己錢數(shù)的右李用了自己錢數(shù)的各買了一支相同的鋼筆，問張和李剩下的錢共有多少元？5 -34 - 33 - 2= 一 一 =3 -53 -42 - 3解：設(shè)鋼筆的價格是1.張有的錢數(shù)是1十王有的故數(shù)是1十李有的錢數(shù)是1一這樣就可以求出，鋼筆價格是to+ 8+ 9= 108- -=241元），張剩下的錢數(shù)是24 X （彳-1） =18 （兀）=李剩下的錢數(shù)24 X （1-1） = 12 （元）,16+ 12= 2S （元）.答：張、李兩人剩下的錢共 28元.題中有三個分?jǐn)?shù)，但它們比的基準(zhǔn)是不一樣的.為了統(tǒng)一計(jì)算單位，設(shè)定鋼筆的價格為1.每個人原有的錢和剩下的錢都可以通過“1”統(tǒng)一地折算.解分?jǐn)?shù)應(yīng)

29、用題中，設(shè)定統(tǒng)一的計(jì)算單位是常用的解題技巧.作為這一講最后的內(nèi)容，我們通過兩個例題，介紹一下“混合比”例23 一頭豬賣4銀幣，一頭山羊賣1%艮幣，一頭綿羊賣;銀幣.有人用100個銀幣買了 100頭牲畜，問豬、山羊、綿羊各幾頭？這是十八世紀(jì)瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉（17071783）提出的問題.解.每頭牲畜的平均價是1.豬每頭3；,比1多山羊每頭，比吟 而綿羊每頭芯 比1少;多要用“少”來補(bǔ)，才達(dá)到均價反：；=5 ： 1.1頭豬要5頭綿羊來補(bǔ)二：;=2，3, 3頭山羊要2頭綿羊來補(bǔ).我 -u們設(shè)1頭豬和5頭綿羊?yàn)锳組，3頭山羊和2頭羊綿為B組.A表示A組的數(shù)，B表示B 組的數(shù)，要使（1+ 5） X A+ （3+2） X B = 100,或簡寫成6A+ 5B= 100.就恰好符合均價是1.類似于第三講雞兔同籠中例 17,很明顯，A必定是5的整數(shù)倍.A=5, B= 4 , 6X5 + 5 X4=50, 50是100的約數(shù)，符合要求A= 5,豬5