二維隨機(jī)變量函數(shù)分布

1、2.5 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y），）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 則則 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, (,)ijkijgxyzp(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或或例例1 1 設(shè)二維r.v.( X,Y )的概率分布為X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求XYXYYXY

2、X,的概率分布解解 根據(jù)( X,Y )的聯(lián)合分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 0 設(shè) X B (n1, p), Y B (n2,

3、 p), 且獨(dú)立，具有可加性的兩個(gè)離散分布q 設(shè) X P (1), Y P (2), 且獨(dú)立，則 X + Y B ( n1+n2, p)則 X + Y P(1+ 2) X P(1), Y P(2), 則Z = X + Y 的可能取值為 0,1,2, , , ),()(0kiikYiXPkZPkiikiikeie021)!(!21kiikiikikke021)!( !21!)(2121kek, 2 , 1 , 0kPoisson分布可加性的證明分布可加性的證明二、隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)二、隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)一般的方法：一般的方法：分布函數(shù)法分布函數(shù)法 若若(X, Y)f (x, y), (x

4、, y) R2, Z=g(X, Y), 則可先求則可先求Z的分布函數(shù)的分布函數(shù): ( ) (, )ZF zP ZzP g X Yz( ,)( ,)g x yzf x y dxdy( )( )( ).ZZZdFzfzFzdz然后再求出然后再求出Z的密度函數(shù)的密度函數(shù):6, 01 ,01( , )0,xxyxf xy 其 他求Z=X+Y 的分布例例2 2 已知 ( X, Y 2*、幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù)、幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù) (1)和的分布和的分布 已知已知(X, Y)f(x, y), (x, y) R2, 求求ZXY的密度。的密度。 ( )(, )( ,).Zfzf zy y dyf x zx

5、 dx或z x+y=z x+y z 若若X與與Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則ZXY的的密度函數(shù)密度函數(shù) .dx)xz(f )x(fdy)y(f )yz(f)z(fYXYXZ 或例例1. 1. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X與與Y Y獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求證：布，求證：Z=X+YZ=X+Y服從服從NN（0 0，2 2）分布。）分布。一般地，設(shè)隨機(jī)變量一般地，設(shè)隨機(jī)變量X X1 1, X, X2 2，., X., Xn n獨(dú)立且獨(dú)立且X Xi i服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(N( i i , , i i2 2),i=1,.,n, ),i=1,.,n, 則則),(21211inii

6、niiiniiiaaNXa 例例3 3. .卡車裝運(yùn)水泥卡車裝運(yùn)水泥, ,設(shè)每袋水泥的重量設(shè)每袋水泥的重量X(kg)X(kg)服從服從N(50,2.5N(50,2.52 2) )分布分布, ,該卡車的額定載重量為該卡車的額定載重量為2000kg,2000kg,問最多裝多少袋水泥問最多裝多少袋水泥, ,可使卡車超載可使卡車超載的概率不超過的概率不超過0.05.0.05.解解:設(shè)最多裝設(shè)最多裝n袋水泥袋水泥,Xi為第為第i袋水泥的重量袋水泥的重量.則則05. 020001niiXP由題意由題意,令令)5 . 2 ,50(21nnNXnii 05. 0)5 . 2502000(120001 nnXP

7、nii95. 0)5 . 2502000( nn查表得查表得645. 15 . 2502000 nn39n 三、極大三、極大(小小)值的分布值的分布 設(shè)設(shè)X1, X2, , Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為F1(x1),F2(x2), , Fn(xn)，記，記X*n maxX1, X2, , Xn , X*1 minX1, X2, , Xn 則，則， X*n和和X*1的分布函數(shù)分別為：的分布函數(shù)分別為： *11( )11( ).niXiFzF z *1( )( )nniXiFzF z 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X1, X2, , Xn獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布(分布函分布函數(shù)相同數(shù)相同

8、)時(shí)，則有時(shí)，則有*1( )1 1( )nXFzF z *( )( )nnXFzFz例例4. 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為接的方式分別為(i)串聯(lián)，串聯(lián)，(ii)并聯(lián)，如圖所示設(shè)并聯(lián)，如圖所示設(shè)L1,L2的壽命分別為的壽命分別為X與與Y，已知它們的概率密度都為，已知它們的概率密度都為0( )00 xexfxx其中其中 0，試分別就以上兩種聯(lián)，試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出結(jié)方式寫出L的壽命的壽命Z的概率密的概率密度度小結(jié)小結(jié)邊 緣 分 布 律離 散 型 分 布 律歸 一 性概 率 計(jì) 算分 布 函 數(shù) 與 分 布 立 場(chǎng) 律 的 互 變獨(dú) 立 性邊 緣 分 布