數(shù)學(xué)分析第十五章

1、第十五章 傅里葉級數(shù)的復(fù)習(xí)題、判斷題。1.常數(shù)沒有周期。2.傅里葉級數(shù)是三角級數(shù)的子集，函數(shù)級數(shù)也是三角級數(shù)的子 集。3.一個函數(shù)展成傅里葉級數(shù)且展成的傅里葉級數(shù)收斂，那么該傅里 葉級數(shù)的和函數(shù)就等于原函數(shù)。4.假設(shè)f是以2 為周期的連續(xù)函數(shù)，且在-,上按段光滑， 那么f的傅里葉級數(shù)在-,上收斂于f。、填空題。5.在一角函數(shù)系1, cosx，sinx，cos2x，sin2x，cosnx，sinnx，中，任何兩個不相同的函數(shù)的乘積在 -,6.，那么f x展成傅上的積分都等于。假設(shè) f x =a0ancosnx bn sinnx2 n 1里葉級數(shù)，那么展開的傅里葉級數(shù)是否 收斂。填“一定或“不一定

2、7.把兩個函數(shù)與在a，b 上可積，且ab x xdx 0的函數(shù)與稱為在a，b 上是的。8.假設(shè)在整個數(shù)軸上x =2ancosnx bn sin nx 且n 1等式右邊級數(shù)一致收斂，那么有an三、在指定期間內(nèi)把以下函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。9.f x =x 0 x0x 010.f x=x， ix ； ii 0x2四、證明：cosmxs innx dx 0答案一、判斷題。1.( X )2.( X ) 3.( X ) 4.( V )二、填空題。5.零；6.不一定；7.正交；8a 1 f x cosnxdx,n 0,1,2,31bnf x sin nxdx,n 1,2三、在指定期間內(nèi)把以下函數(shù)展開成傅里葉

3、級數(shù)。9.解：由于f(x)是按段光滑的，如以下列圖所示，所以它可以展開成傅里葉級數(shù)。因?yàn)閍。1f (x) dxxdx當(dāng)n 1時:anf (x)cos nxdxo xcosnxdxbn所以在開區(qū)間f(x)；2(-COSX于是在卜丄 xsin nx |0n(cosnn1)f (x)sin nxdxxcos nx b nx(1)n1nsin nxdx04cosnx|on1sin x) -sin 2x2時，上式右邊收斂于22n0,當(dāng)n為奇數(shù)時,當(dāng)n為偶數(shù)時,o xsinnxdx0 cosnxdxcos n xdx(1)n1n 。2( cos3x91-sin 3x)3f( 0) f( 0)2上f的傅里葉

4、級數(shù)的圖像如以下列圖所示:宀g*功上m幷的訃 4斫示建.因?yàn)閍o 110.解：11由于fx是按段光滑的，如以下列圖所示，所以它可以展開成傅里葉級數(shù)。1x dx xdx 01 r 1anf x cosnx dx xcos nxdx 0 (n 1)1i2xcosnxo cosn dx1n1- (n 1)bnf x sin n xdxs inn xdxo xs inn xdx所以在區(qū)間-內(nèi)，f x 2m insinnx里葉級數(shù)。開小-/1.7用山川J J/<r> = 2 工;IL鬥L<jO衣Jt：周勒述扌打的圖像如圖15-2所亦*2.由于fx是按段光滑的，如以下列圖所示，所以它可以展開成傅因?yàn)?a：2-0 ff xdx1 20 xdx 2an1 21f x0 1cos nxdx1 0 xcosnxdx1212xsin nxc0 sin nx 0 (n 1)n0n1 2 1 2 bn0 f x sinnxdx。 xsinnxdxxcosnx 0n： cosnxdx所以在0, 2丨內(nèi),a an cosnx bnsinnx2 n 1sinnx四、證明：由COS sinSinsinc可得:sin nxdx1 cos nx acosmxsin nx dxsin