第六章--方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1、精品第六章方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，經(jīng)常要分析各種因素對試驗(yàn)指標(biāo)是否有顯著的影響。例如，工業(yè)生產(chǎn)中， 需要研究各種不同的配料方案對生產(chǎn)出的產(chǎn)品的質(zhì)量有無顯著差異，從中篩選出較好的原料配方；農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，為了提高農(nóng)作物的產(chǎn)量，需要考察不同的種子、不同數(shù)量的肥料對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響，并從中確定最適宜該地區(qū)種植的農(nóng)作物品種和施肥數(shù)量。要解決諸如上述問題，一方面需要設(shè)計(jì)一個試驗(yàn)，使其充分反映各因素的作用，并力求試驗(yàn)次數(shù)盡可能少，以便節(jié)省各種資源和成本；另一方面就是要對試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分析，以便確定各因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響程度。6.1單因素方差分析僅考慮一個因素A 對試驗(yàn)指標(biāo)有無顯著

2、影響，可以讓A 取 r 個水平： A1 , A2 , Ar ，在水平 Ai 下進(jìn)行 ni 次試驗(yàn)，稱為 單因素試驗(yàn) ，試驗(yàn)結(jié)果觀測數(shù)據(jù)xij 列于下表：序號12ni水平A1x11x12x1n1A2x21x22x2 n2Arxr1xr 2xrn r并設(shè)在水平 A下的數(shù)據(jù) xi1, xi 2,x來自總體 Xi N( i ,2)， (i 1,2, ,r ) 。iin i檢驗(yàn)如下假設(shè)：H 0 :12r ，H 1 :1 ,2 ,r 不全相等檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-可編輯 -精品rni其中 SA(xii1 j 1rniSe( xiji 1j1rni ， xi這里 ni1FSA /( r1)Se /(n F ( r

3、1, n r )r )rx) 2ni (xix) 2 ，稱為組間差平方和。i1xi )2 ，稱為組內(nèi)差平方和。1ni1 rninixij ， xn i 1xij 。j 1j 1對于給定的顯著性水平(0.01或 0.05) ，如果 FF (r1,nr ) ，則拒絕 H 0 ，即認(rèn)為因素A 對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響。實(shí)際計(jì)算時，可事先對原始數(shù)據(jù)作如下處理：xijaxij再進(jìn)行計(jì)算，不會影響F 值的大小。b例 1 下表給出在30 只小白鼠身上接種三種不同菌型的傷寒病菌后的存活日數(shù)：菌型接種后的存活日數(shù)23324772545685107126671166795106310試分析三種不同的菌型對小白鼠的平均

4、存活日數(shù)影響是否顯著？解： r3, n110, n29,n311, n30x14, x27.22, x37.27, x6.16rnix) 2rx ) 2SA(xini ( xi70.43 ，i 1 j1i1-可編輯 -精品rn i( xij xi )2Se137.74i 1j1F 6.90F0.01 (2, 27)5.49 ，說明三種不同菌型的傷寒病菌對小白鼠的平均存活日數(shù)的影響高度顯著。6.2雙因素方差分析同 時 考 察兩 個 因 素 A 和 B 對 試 驗(yàn)指 標(biāo) 有 無 顯 著影 響 ， 可 以 讓 A 取 r 個 水 平 ：A1 , A2 , , Ar ，讓 B 取 s 個水平： B1

5、, B2 , Bs ，在各種水平配合( Ai , B j ) 下進(jìn)行試驗(yàn)，稱為 雙因素試驗(yàn)。一、無交互作用的雙因素方差分析在每一種水平配合( Ai , Bj ) 下作一次試驗(yàn)，稱為無交互作用的雙因素試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果觀測數(shù)據(jù) xij 列于下表：因素 BB1B2Bs因素 AA1x11x12x1sA2x21x22x2 sArxr1xr 2xrs并 設(shè) 在 水 平 配 合 ( Ai , B j ) 下 的 數(shù) 據(jù) xij來 自 總 體 X ij N ( ij ,2 ) ，(i 1,2, , r ; j 1,2, s) 。檢驗(yàn)如下假設(shè)：H 0 A :1?2?r ? ，H 1 A :1? ,2? ,r ?

6、不全相等-可編輯 -精品H 0 B :?1?2?r ，H 1 B :?1 ,?2 ,?r 不全相等分別用如下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量FASA /(r1) F (r 1, (r 1)( s 1)/( r 1)( sSe1)FBSB /(s1) F (s 1,( r 1)(s 1)/(r 1)( sSe1)rsx) 2rx) 2 ，稱為 A 的組間差平方和。其中 SA(xi ?s( xi ?i1j 1i1rssSB( x? jx) 2r ( x? jx) 2 ，稱為 B 的組間差平方和。i1j1j1rsx) 2 ，稱為組內(nèi)差平方和。Se( xijxi?x? ji1j11 s1這里 xi?xij ， x? js

7、j 1rr1rsxij ， xrsxij 。i 1i 1j 1對于給定的顯著性水平(0.01或 0.05) ，如果 F AF (r1,( r1)( s 1) ，則拒絕 H 0 A ，即認(rèn)為因素A 對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；如果FBF ( s1,( r1)( s 1) ，則拒絕 H 0B ，即認(rèn)為因素B 對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響。實(shí)際計(jì)算時，可事先對原始數(shù)據(jù)作如下處理：xijaxijb再進(jìn)行計(jì)算，不會影響FA , FB 值的大小。例 1 為了解三種不同配比的飼料對仔豬生長影響的差異，對3 種不同品種的仔豬各選3 頭進(jìn)行試驗(yàn)，分別測得其一段時間體重增加量，如下表所示（A 代表飼料，B 代表品種）：因素 B

8、B1B2B3因素 A-可編輯 -精品A1515645A2535749A3525847試分析不同飼料與不同品種對仔豬的生長有無顯著影響？解：所有數(shù)據(jù)減去50 后計(jì)算結(jié)果如下：r3, s 3x1?0.66,x2?3, x3?2.33x?1 2, x?2 7, x?33, x 2SA8.66, SB150, Se3.33F A5.20F0.05 (2, 4)6.94 ，說明不同飼料對仔豬的生長無顯著影響。FB90.0F0.01 (2, 4)18.0 ，說明品種的差異對仔豬生長的影響高度顯著。二、有交互作用的雙因素方差分析在每一種水平配合( Ai , B j ) 下重復(fù)作 m (m2) 次試驗(yàn)，稱為有

9、交互作用的雙因素試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果觀測數(shù)據(jù)xijk 列于下表：因素 B試驗(yàn)結(jié)果B1B2BsAx111x112x11mx121x122x12mx1s1 x1 s2x1sm1因A2x211x212x21mx221x222x22mx2 s1x2s2x2 sm素AArxr 11xr 12xr 1mxr 21xr 22xr 2mxrs1xrs 2xrsm并 設(shè) 在 水 平 配 合 ( Ai, B j )下 的 數(shù) 據(jù) xij 1 , xij 2 , xijm 來 自 總 體 X ij N ( ij ,2 ) ，(i 1,2, r ; j1,2, s) 。檢驗(yàn)如下假設(shè)：-可編輯 -精品H0A :1?2?r ?

10、H0B :?1?2?rH0AB :ij 全相等，分別用如下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，H1A : 1?, 2?,，H1B :?1, ?2,H1AB :ij 不全相等r ?r不全相等不全相等FASA /(r1)F (r1, rs (m 1)Se / rs (m1)FBSB /( s1) F (s1, rs( m 1)Se/ rs(m1)FABSAB /( r1)( s1) F (r1)(s1), rs (m 1)Se / rs( m1)rsmx) 2rx) 2 ，稱為 A 的組間差平方和。其中 SA(xi?sm( xi?i1j1k 1i1rsmx) 2sx) 2 ，稱為 B 的組間差平方和。SB(x? jrm(

11、 x? ji1j1k 1j1rsmx)2rsxi ? x? j x )2 ，稱為 ASAB( xijxi?x? jm( xijB 的i1j1 k 1i 1j 1組間差平方和。rsmxij )2Se(xijk，稱為組內(nèi)差平方和。i1j1k 11sm1xijk這里 xi?， x? jsm j1 k1rm1rsmxijk 。xrsm i1j1k 1rm1mxijk， xijxijk ，i 1 k 1m k 1對于給定的顯著性水平(0.01或 0.05) ，如果 FAF (r1, rs (m1) ，則拒絕 H 0 A ，即認(rèn)為因素A 對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；如果FBF (s1, rs (m1) ，則拒絕

12、 H 0 B ，即認(rèn)為因素 B 對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；如果F ABF (r1)( s1), rs( m1) ，則拒絕 H 0 AB ，即認(rèn)為因素A 與因素 B 之間的交互效應(yīng)對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響。-可編輯 -精品實(shí)際計(jì)算時，可事先對原始數(shù)據(jù)作如下處理：xijkaxijkb再進(jìn)行計(jì)算，不會影響FA , FB , FAB 值的大小。例 2 考察合成纖維彈性影響因素為拉伸倍數(shù)A 與收縮率 B 。 A 與 B 各取 4 個水平， 每個水平配合下做2 次試驗(yàn)，結(jié)果數(shù)據(jù)見下表：因素 B試驗(yàn)結(jié)果B1（0）B2 （4）B3 （8）B4（12 ）A1 （460 ）7173737576737573因A2 （520

13、 ）7273767479777372素A3 （580 ）7573787774757071AA4 （640 ）7773747474736969試分析因素 A 、因素 B 對合成纖維彈性的影響是否顯著？以及因素A 與因素 B 之間的交互效應(yīng)對合成纖維彈性的影響是否顯著？解： r4, s4, m2SA8.86, SB69.66, SAB 80.20, Se 21.50F A2.95F0 .05 (3, 16)3.24 ，說明拉伸倍數(shù)A 對合成纖維彈性無顯著影響。FB23.22F0.01 (3, 16)5.29 ，說明收縮率B 對合成纖維彈性的影響高度顯著。F AB8.91F0.01 (9, 16)3

14、.78 ，說明因素 A與因素 B 之間的交互效應(yīng)對合成纖維彈性的影響高度顯著。6.3正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)前面介紹了單因素與雙因素試驗(yàn)的方差分析，但是在實(shí)際問題中遇到的因素往往超過兩-可編輯 -精品個，需要考察各個因素對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響。從理論上講可以導(dǎo)出多因素的方差分析法，但是一來公式會變得很復(fù)雜，二來總試驗(yàn)次數(shù)也要明顯增多。例如，考慮7 個因素的試驗(yàn)，每個因素有6 個水平， 若在每一種組合水平上都做一次試驗(yàn)，需要做 67279936 次試驗(yàn)，這是根本不可能的！為了減少試驗(yàn)次數(shù)， 希望在所有組合水平中挑選一部分出來，在這些組合水平上做試驗(yàn)，即局部地進(jìn)行試驗(yàn)。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是利用一套現(xiàn)成的規(guī)格化的表正交表，科學(xué)地安排試驗(yàn)和分析試驗(yàn)結(jié)果的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，該方法的主要優(yōu)點(diǎn)是能在很多試驗(yàn)條件中選出代表性強(qiáng)的少數(shù)試驗(yàn)方案，同時通過對這少數(shù)試驗(yàn)方案的結(jié)果進(jìn)行分析，從中找出最優(yōu)方案。正交表 1944 年起源于美國。 第二次世界大戰(zhàn)后在日本開發(fā)了使用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的技術(shù)體系，并在日本全國進(jìn)行大力普及推廣、應(yīng)用，取得了顯著