34.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用

1、4. 5.3函數(shù)模型的應(yīng)用研讀導(dǎo)學(xué)嘗試考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用會利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際 問題數(shù)學(xué)建模根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型能根據(jù)實(shí)際問題，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型求解問題數(shù)學(xué)建模問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P148-P154,并思考以下問題：1 . 一次、二次函數(shù)的表達(dá)形式分別是什么？2 .指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型的表達(dá)形式是什么?新知初探»幾類常見的函數(shù)模型名稱解析式條件一次函數(shù)模型y= kx+ bkw0反比例函數(shù)模型k ,卜y= 一十 b xkw0二次函數(shù)模型一般式：y = ax2 + bx + c頂點(diǎn)式：y = a!x+I 2ay2,4ac b4aaw 0指

2、數(shù)函數(shù)模型y = b a + ca>0 且 aw 1, bw0對數(shù)函數(shù)模型y= mlogax+ na>0 且 aw 1, m w0哥函數(shù)模型y= axn+ baw 01 .某種動物繁殖數(shù)量 y(單位：只)與時間x(單位：年)的關(guān)系式為y=alog2(x+ 1).若這 種動物第1年有100只，則到第7年它們發(fā)展到()A. 300 只B. 400 只C. 500 只D. 600 只解析：選 A.由題意可得 a=100.當(dāng) x= 7 時，y= 10010g2(7+ 1)= 300.2.某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a,如果保持5%的年增長率，那么經(jīng)過 x年(xCN*),該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿足()A.

3、y=a(1 + 5%x)B. y=a+5%C. y=a(1 + 5%)x 1D. y= a(1 + 5%)x解析：選D.經(jīng)過1年，y=a(1 + 5%),經(jīng)過2年，y=a(1 + 5%)2,，經(jīng)過x年，y=a(1+ 5%)x3.已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系y=a 0.5x+b,現(xiàn)已知該廠今年1月份、2月份生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為 1萬件、1.5萬件，則此廠3月份該產(chǎn)品產(chǎn)量為 .7= a 0.51+b,解析：由11.5= a 0.5 +b,a=- 2,得Ib = 2,所以 y=-2X0.5x+2,所以3月份產(chǎn)量為y=2X 0.53+2=1.75（萬件）.答案：1.75萬件探究點(diǎn)HI指

4、數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用例I 一片森林原來的面積為 a,計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相 等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的4,已知到今年為止，森林剩余面積為原來的半.(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年？【解】(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),則a(1 x)10=2a,即(1x)10=2，解得 x= 1 _ g i10.(2)設(shè)經(jīng)過m年后森林剩余面積為原來的乎,則a(1-x)m=2a,即(=則篇=2，解得m=5.故到今年為止，該森林已砍伐了 5年.

5、(3)設(shè)從今年開始，最多還能砍伐 n年，則n年后剩余面積為 乎a(1x)n.令當(dāng)a(1x)n>1a,即(1 x)'、2,則。，"02，則令/ 解得 nw 15.故今后最多還能砍伐 15年.求解策指數(shù)函數(shù)模型問題的求解策略(1)對于增長率問題，在實(shí)際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型y=N(1 + p)x(其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)和哥函數(shù)模型y= a(1 + x)n(其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長率，n為時 間)的形式.解題時，往往用到對數(shù)運(yùn)算，要注意與已知條件中給定的值對應(yīng)求解.(2)函數(shù)y=cakx(a, c, k為常數(shù))是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)模型，它在電學(xué)、生物學(xué)、人

6、口 學(xué)、氣象學(xué)等方面都有廣泛的應(yīng)用，解決這類給出指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用題的基本方法是待定 系數(shù)法，即根據(jù)題意確定相關(guān)的系數(shù).某工廠生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后才能排放，已知在過濾過程中，廢氣中的污染物含量p(單位：毫克/升)與過濾時間t(單位：小時)之間的關(guān)系為p(t)= Poekt(式中的e為自然對數(shù)的底數(shù)，po為污染物的初始含量).過濾1小時后，檢測發(fā)現(xiàn)污1染物的含量減少了 1.511000,至少還需過濾幾個小時？(參考數(shù)據(jù)：lg 2(1)求函數(shù)關(guān)系式p(t);(2)要使污染物的含量不超過初始值的= 0.3)解：(1)根據(jù)題意，得po= poe k,5所以 e k = 5,所以 p(t)

7、=po!5/.(2)由P(t)=Pog：W Aopo,得g：W10-3,兩邊取對數(shù)并整理得t(1 3lg 2) >3,所以。30.因此，至少還需過濾 30個小時.探究點(diǎn)酉對數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用例 大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鞋魚的游速可以表示為函數(shù)v=glog3卷，單位是m/s，。是表示魚的耗氧量的單位數(shù).(1)當(dāng)一條鞋魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是多少？(2)某條鞋魚想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍.10.【斛】 由v= 2log3100可知，當(dāng)0= 900時,1900 1v = ,log3100= 2log 39 = 1(m/

8、s).所以當(dāng)一條鞋魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是 1 m/s.(2)由 V2 V1= 1 ,192101即 210g3 荷210g3蒞=1，。2得一=9.%所以耗氧量的單位數(shù)為原來的9倍.互加保完(變問法)若本例條件不變：(1)當(dāng)一條鞋魚的耗氧量是8 100個單位時，它的游速是多少？(2)求一條鞋魚靜止時耗氧量的單位數(shù).解：將9= 8 100代入函數(shù)解析式，1 1得v = 21og381 =2X 4= 2 (m/s),所以一條鞋魚的耗氧重是8 100個單位時，匕的游速是2 m/s.1 00(2)令v=0,得210g3荷=0，即赤=1,則0= 100,所以一條鞋魚靜止時的耗氧量為100個

9、單位.求解策對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略（1）基本類型：有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)實(shí)際問題求解；（2）求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義.跟蹤訓(xùn)練在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的質(zhì)量M ，仆M（千克）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（千克）的函數(shù)關(guān)系式是v=2 000 1n 1 + m/當(dāng)燃料質(zhì)量是 火箭質(zhì)量的 倍時，火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒.解析：當(dāng)v=i2 000米/秒時，2 0001n 1+m t= 12 000,所以1n 1 +答案：e

10、61探究點(diǎn)囪以圖表信息為背景的函數(shù)應(yīng)用題例3）某醫(yī)院研究開發(fā)了一種新藥，據(jù)檢測，如果成人按規(guī)定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量 y（單位：pg）與服藥后的時間t（單位： h）之間近似滿足圖中的曲線， 其中OA是線段，曲線ABC是函數(shù)y=kat（t>1, a>0,且k與a是常數(shù)）的圖象.（1）寫出服藥后y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測定，每毫升血液中含藥量不少于2 pg時治療疾病有效，假如某病人第一次服藥為早上6: 00,為了保持療效，第二次服藥最遲應(yīng)在當(dāng)天幾時？【解】 當(dāng)0wt<1時，y=8t；0<t<1,t>1.X當(dāng) t>1 時，將 A(1,

11、8), B(2, 4亞代入 y=kat,f283得a =半,k= 8亞.所以y=f廠2 8 .2（2）設(shè)第一次服藥后最遲經(jīng)過t h第二次服藥,依題意有t > 1.所以8 2X=2,解得 t = 5.因此第二次服藥最遲應(yīng)在第一次服藥后5 h,即當(dāng)天上午11: 00服藥.圓倒£3圈解決這類問題的一般步驟：(1)觀察圖表，捕捉有效信息.(2)對已獲信息進(jìn)行加工，選跟蹤訓(xùn)練擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.(3)求函數(shù)解析式.(4)進(jìn)行檢驗(yàn)，去偽存真，答案要符合實(shí)際情形.某藥材種植基地準(zhǔn)備種植某種藥材，從歷年市場行情可知，從 日起的300天內(nèi)，該藥材的市場售價 P(元/千克)與上市時間t(天)的關(guān)系可

12、以用如圖所示的一條折線表示，該藥材的種植成本Q(元/千克)與上市時間t(天)的關(guān)系可以用如圖所示的拋物線表示.P = f(t),寫出圖中表示的種(1)寫出圖中表示的市場售價與上市時間的函數(shù)關(guān)系式 植成本與上市時間的函數(shù)關(guān)系式Q = g(t)；(2)若市場售價減去種植成本為純收益，則何時上市該藥材的純收益最大?解：(1)由題圖可得市場售價與上市時間的函數(shù)關(guān)系式為 P = f(t)= 1300 t, 0<t< 200,怯300, 200<t< 300.12由題圖可得種植成本與上市時間的函數(shù)關(guān)系式為Q=g(t)=(t- 150) + 100, 0<t<300.(2

13、)設(shè)從2月1日起的第t天的純收益為h(t)(元/千克)，則由題意，得h(t)=f(t)-g(t),即 h(t)工2 1 175 200t + 2+ 2 , 0 , 200, :1 2 71 025I20?+2t2-' 200<t< 300.12當(dāng) 0WtW200 時，h(t)=-200(t-50) + 100,所以當(dāng)t = 50時，h(t)在區(qū)間0, 200上取得最大值100.12當(dāng) 200<tW300 時，h（t） = 200（t350） + 100,所以當(dāng)t = 300時，h（t）在區(qū)間（200, 300上取得最大值 87.5.綜上可知，當(dāng)t=50時，h取得最大值

14、，最大值為100,即從2月1日開始的第50天上市，該藥材的純收益最大，最大純收益為100元/千克.驗(yàn)任反憒達(dá)標(biāo) 1 .某市的房價（均價）經(jīng)過6年時間從1 200元/m2增加到了 4 800元/m2,則這6年間平均每年的增長率是（）B. 50%A. 600 元C.3/2-1D.3/2+ 1解析：選C.設(shè)6年間平均年增長率為 x,則有1 200（1 +x）6=4 800,解得x= 3/2-1.2 .在固定電壓差（電壓為常數(shù)）的前提下，當(dāng)電流通過圓柱形的電線時，其電流強(qiáng)度I與電線半徑r的三次方成正比，若已知電流通過半徑為 4毫米的電線時，電流強(qiáng)度為320安， 則電流通過半徑為 3毫米的電線時，電流強(qiáng)

15、度為 （）A. 60 安B. 240 安C. 75 安D. 135 安解析：選D.由已知，設(shè)比例常數(shù)為k,則I=k r3.由題意，當(dāng)r = 4時，1= 320,故有320= kX43,解得 k = 320= 5,所以 I = 5r3. 64故當(dāng) r = 3 時，I= 5 X 33= 135（安）.故選 D.3.某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當(dāng)銷售利潤不超過8萬元時，按銷售利潤的15%進(jìn)行獎勵；當(dāng)銷售利潤超過8萬元時，若超過 A萬元，則超過部分按10g5（2A +1）進(jìn)行獎勵.記獎金為 y（單位：萬元），銷售利潤為x（單位：萬元）.（1）寫出獎金y關(guān)于銷售利潤x的關(guān)系式；（2）如果業(yè)務(wù)

16、員小江獲得 3.2萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？解：（1）由題意知，當(dāng) 0WxW8時，y=0.15x;當(dāng)x>8時,y= 8X 0.15 + log 5(2x 15)= 1.2+log5(2x-15),所以0.15x, 0<x<8, y1.2+ log5 (2x 15) , x>8.(2)由題意知1.2+log5(2x 15) =3.2,解得x= 20.所以，小江的銷售禾U潤是20萬元.鼻化母優(yōu),詢美I凡固提升A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是280元D

17、.A. 310 元解析：選B.設(shè)函數(shù)解析式為y= kx+ b(kw 0),C. 290 元函數(shù)圖象過點(diǎn)(1, 800), (2, 1 300),k+b=800,則|2k+ b= 1 300,k=500,解得b= 300,所以 y=500x+300,當(dāng) x=0 時，y= 300.所以營銷人員沒有銷售量時的收入是300元.2 .向一杯子中勻速注水時，杯中水面高度h隨時間t變化的函數(shù)h=f(t)的大致圖象如圖所示，則杯子的形狀可能是()解析：選A.從題圖看出，在時間段0, t1, t1, t2內(nèi)水面高度是勻速上升的，因此幾何體應(yīng)為兩柱體組合，在0, tl時間段內(nèi)上升慢，在tl, t2時間段內(nèi)上升快，

18、于是下面大，上面小，故選A.3 .某位股民購進(jìn)某只股票，在接下來的交易時間內(nèi)， 他的這只股票先經(jīng)歷了 3次漲停（每 次上漲10%）,又經(jīng)歷了 3次跌停（每次下降10%）,則該股民這只股票的盈虧情況 （不考慮其 他費(fèi)用）為（）A .略有虧損B.略有盈利C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況解析：選A.由題意可得（1 + 10%）3（1 10%）3= 0.970 299=0.97<1.因此該股民這只股票的 盈虧情況為略有虧損.4 .把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是T1（C）,空氣的溫度是 T0（C）,經(jīng)過t分鐘后物體的溫度 T（C）可由公式T=T0+（T1 丁0把一0.25t求

19、得.把溫度是90 c的物體， 放在10 C的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是50 C,那么t的值約等于（參考數(shù)據(jù)：ln 3 1.099, ln 2 = 0.693）（）A. 1.78B. 2.77C. 2.89D. 4.40解析：選 B.由題意可知 50= 10+（90- 10） e 0.25t,整理得 e 0.25t=2,即0.25t=ln 2 = In 2 = 0.693,解得 C2.77.5.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗， 開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片（如圖中陰影部分）備用.當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形的兩邊長x, y分別為.解析：由三角形相似，24

20、 y x r 5得不，,得 X=L24- y),所以 S= xy=4（y12）2+180,故當(dāng)y=12時，S有最大值，此時 x= 15.答案：15, 126.放射性物質(zhì)衰變過程中其剩余質(zhì)量隨時間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化.常把它的剩余質(zhì)量 變?yōu)樵瓉淼囊话胨?jīng)歷的時間稱為它的半衰期，記為T1.現(xiàn)測得某種放射性元素的剩余質(zhì)量A隨時間t變化的6次數(shù)據(jù)如下:t(單位時間)0246810A(t)3202261601158057從以上記錄可知這種元素的半衰期約為 個單位時間，剩余質(zhì)量隨時間變化的衰 變公式為A(t)=.解析：從題表中數(shù)據(jù)易知半衰期為4個單位時間，由初始質(zhì)量為Ao=320,則經(jīng)過時間tt1 1-i

21、4t的剩余質(zhì)量為 A(t)=Ao右；2 = 320 2(tR).t一4答案：4 320 2 (t>0)7 .某種細(xì)菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?2倍，且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為 y=ekt,其中k 為常數(shù)，t表示時間(單位：小時)，y表示繁殖后細(xì)菌總個數(shù)，則 k=,經(jīng)過5小時， 1個細(xì)菌通過繁殖個數(shù)變?yōu)?.解析：由題意知,當(dāng)t = 2時，y=2,即2=e2k,所以 k=2ln 2,所以 y= e2tln 2.當(dāng) t=5 時，y=e2X5Xln 2= 210= 1 024.即經(jīng)過5小時，1個細(xì)菌通過繁殖個數(shù)變?yōu)? 024.答案：2ln 2 1 0248 .燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究

22、燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行 速度v(單位：m/s)可以表示為v= 5log2：Q0，其中Q表示燕子的耗氧量.(1)求燕子靜止時的耗氧量是多少個單位；(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？解：(1)當(dāng)燕子靜止時，它的速度v= 0 m/s,代入題中給出的函數(shù)關(guān)系式，可得0=5log2Qj,解得Q = 10,即燕子靜止時的耗氧量是10個單位.80(2)將Q = 80代入題中給出的函數(shù)關(guān)系式，得v=5log2元= 510g28= 15,即當(dāng)一只燕子的耗氧量是 80個單位時，它的飛行速度為15 m/s.9 .某科研單位在研發(fā)新產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新材料，由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的

23、性能 指標(biāo)值y與這種新材料的含量 x(單位：克)的關(guān)系為：當(dāng)0Wx<6時，y是x的二次函數(shù)；當(dāng)1x>6時，y=3j .測得數(shù)據(jù)如表(部分)x(單位：克)0129y074319(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；(2)求函數(shù)f(x)的最大值.解：當(dāng)0Wx<6時，由題意，設(shè) f(x) = ax2 + bx+ c(a 豐 0),f f (0) = c= 0, 7由表格數(shù)據(jù)可得<f(1) =a+b+c= 4,If (2) =4a+2b+c = 3,1 1a= 一 4，解得b=2,I nc= 0,所以，當(dāng)0Wx<6時，1 2f(x)= - 4x + 2x,tiI s

24、t -a 也/口口弋t i當(dāng)x>6時，f(x)= & J.由表格數(shù)據(jù)可得f(9)= 打 =9,解得t= 7.所以當(dāng)x>6時，f(x)= g I ,1x2+2x, 0<x<6,4綜上，f(x)= 17iy ， x>6.(2)當(dāng) 0Wx<6 時，r,、12c 1 ,、2f(x)= 4x + 2x= 4(x- 4)+4,所以當(dāng)x=4時，函數(shù)f(x)的最大值為4;t i J7當(dāng)x>6時，f(x)=J單倜遞減,丁7所以f(x)的最大值為f(6)=i =3.因?yàn)?>3,所以函數(shù)f（x）的最大值為4.B 能力提升10.衣柜里的樟腦丸隨著時間揮發(fā)而體積縮

25、小，剛放進(jìn)的新丸的體積為a,經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為V= a e"已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)?a.若一個新丸體積變9為27a,則需經(jīng)過的天數(shù)為（）A. 125C. 75解析：選C.由已知得4a=a e-50k, 92即 丁9= 3 .所以梟=;!a=（e 50k）2a = e 75ka,所以t= 75.11.某公司對營銷人員有如下規(guī)定：年銷售額B. 100D. 50x（萬元）在8萬元以下，沒有獎金；年銷售額x（萬元），xC 8 , 64時，獎金為y萬元,且y=logax, yC 3, 6,且年銷售額越大,獎金越多；年銷售額 x（萬元）超過64萬元，按年銷售額的10%發(fā)獎金.求獎金y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）某營銷人員爭取年獎金 yC 4, 10（萬元），求年銷售額x在什么范圍內(nèi).解：依題意知y= logax在xC 8, 64上