力學(xué)2振動(dòng)和波2

1、1波波 動(dòng)動(dòng)2 振動(dòng)或擾動(dòng)在空間以一定速度的傳播稱(chēng)為波振動(dòng)或擾動(dòng)在空間以一定速度的傳播稱(chēng)為波動(dòng)動(dòng),簡(jiǎn)稱(chēng)為波簡(jiǎn)稱(chēng)為波(wave)。機(jī)械振動(dòng)或擾動(dòng)在介質(zhì)中機(jī)械振動(dòng)或擾動(dòng)在介質(zhì)中的傳播稱(chēng)為機(jī)械波，如聲波、水波和地震波等。的傳播稱(chēng)為機(jī)械波，如聲波、水波和地震波等。變化電場(chǎng)和變化磁場(chǎng)在空間的傳播稱(chēng)為電磁波，變化電場(chǎng)和變化磁場(chǎng)在空間的傳播稱(chēng)為電磁波，例如無(wú)線電波、光波和例如無(wú)線電波、光波和X射線等。射線等。 機(jī)械波只能在介質(zhì)中傳播，例如聲波的傳播要有空氣作介機(jī)械波只能在介質(zhì)中傳播，例如聲波的傳播要有空氣作介質(zhì)，水波的傳播要有水作介質(zhì)。但是，電磁波質(zhì)，水波的傳播要有水作介質(zhì)。但是，電磁波（光光）的傳播不的傳

2、播不需要介質(zhì)，它可以在真空中傳播。需要介質(zhì)，它可以在真空中傳播。 機(jī)械波和電磁波統(tǒng)稱(chēng)為經(jīng)典波，它們代表的機(jī)械波和電磁波統(tǒng)稱(chēng)為經(jīng)典波，它們代表的是某種實(shí)在的物理量的波動(dòng)。是某種實(shí)在的物理量的波動(dòng)。波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播3 雖然各類(lèi)波的具體物理機(jī)制不同，但它們都雖然各類(lèi)波的具體物理機(jī)制不同，但它們都具有具有疊加性疊加性，都能發(fā)生，都能發(fā)生干涉干涉和和衍射衍射現(xiàn)象，也就現(xiàn)象，也就是說(shuō)它們所具有的波動(dòng)的普遍性質(zhì)。是說(shuō)它們所具有的波動(dòng)的普遍性質(zhì)。 除了機(jī)械波和電磁波都能發(fā)生干涉和衍射現(xiàn)除了機(jī)械波和電磁波都能發(fā)生干涉和衍射現(xiàn)象外，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，電子、質(zhì)子和中子這些微象外，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，電子、質(zhì)子和中子這些微觀粒子

3、也能發(fā)生干涉和衍射。因此，微觀粒子觀粒子也能發(fā)生干涉和衍射。因此，微觀粒子也具有波動(dòng)性。也具有波動(dòng)性。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)在空間的傳播，稱(chēng)為簡(jiǎn)諧波，它是簡(jiǎn)諧振動(dòng)在空間的傳播，稱(chēng)為簡(jiǎn)諧波，它是最簡(jiǎn)單的波。我們以機(jī)械波中的簡(jiǎn)諧波為例來(lái)最簡(jiǎn)單的波。我們以機(jī)械波中的簡(jiǎn)諧波為例來(lái)介紹波動(dòng)的普遍性質(zhì)。介紹波動(dòng)的普遍性質(zhì)。41 機(jī)械波的形成和特征機(jī)械波的形成和特征一、機(jī)械波的形成一、機(jī)械波的形成t = T/4 t = T t = 00481620 12 24t = T/2 t = 3T/45 彈性介質(zhì)的質(zhì)元受外界擾動(dòng)而發(fā)生振動(dòng)時(shí)，因彈性介質(zhì)的質(zhì)元受外界擾動(dòng)而發(fā)生振動(dòng)時(shí)，因質(zhì)元之質(zhì)元之間的彈性聯(lián)系，會(huì)使振動(dòng)傳播開(kāi)去，這

4、就間的彈性聯(lián)系，會(huì)使振動(dòng)傳播開(kāi)去，這就形成了波動(dòng)形成了波動(dòng)機(jī)械波機(jī)械波（mechanical wave）波動(dòng)是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，不是介質(zhì)的傳播。波動(dòng)是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，不是介質(zhì)的傳播。機(jī)械波形成的條件機(jī)械波形成的條件 彈彈性性介介質(zhì)質(zhì)波波源源 “ “上游上游”的質(zhì)元依次帶動(dòng)的質(zhì)元依次帶動(dòng)“下游下游”的質(zhì)元振的質(zhì)元振動(dòng)。某時(shí)刻某質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚的時(shí)刻動(dòng)。某時(shí)刻某質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚的時(shí)刻于于 “ “下游下游”某處出現(xiàn)。某處出現(xiàn)。 6二二 、波的幾何描述、波的幾何描述波線波線（wave line）:表示波的傳播方向的射線表示波的傳播方向的射線（波射線）（波射線）波面波面（wave surfac

5、e）:介質(zhì)振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面介質(zhì)振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面（同相面）（同相面）波陣面波陣面（wave front）:某時(shí)刻波到達(dá)的各點(diǎn)所構(gòu)成的面某時(shí)刻波到達(dá)的各點(diǎn)所構(gòu)成的面（波前）（波前）(最最前面的波面前面的波面)球面波球面波平面波平面波波波線線 波面波面7三三 、波的分類(lèi)、波的分類(lèi)按波的性質(zhì)按波的性質(zhì)機(jī)械波機(jī)械波（ mechanical wave ）電磁波電磁波（electromagnetic wave ） 縱波縱波（longitudinal wave ）按波線與振按波線與振動(dòng)方向關(guān)系動(dòng)方向關(guān)系橫波橫波（transverse wave ） 氣體和液體中的聲波是縱波，而固體中的氣體和液體

6、中的聲波是縱波，而固體中的聲波既可以是縱波，也可以是橫波。聲波既可以是縱波，也可以是橫波。 橫波：波的傳播方向與振動(dòng)方向垂直縱波：波的傳播方向與振動(dòng)方向平行8按波面形狀按波面形狀平面波平面波（plane wave ）球面波球面波（spherical wave ）柱面波柱面波（ cylindrical wave ）按復(fù)雜程度按復(fù)雜程度簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧波（simple harmonic wave ）復(fù)波復(fù)波（ compound wave ）按持續(xù)時(shí)間按持續(xù)時(shí)間連續(xù)波連續(xù)波（continued wave ）脈沖波脈沖波（pulsating wave ）按是否傳播按是否傳播行波行波（travelling w

7、ave ）駐波駐波（standing wave ）91、波速、波速 u ： 振動(dòng)狀態(tài)（位相）傳播的速度。振動(dòng)狀態(tài)（位相）傳播的速度。它它由介質(zhì)的性質(zhì)決定，與波源情況無(wú)關(guān)。由介質(zhì)的性質(zhì)決定，與波源情況無(wú)關(guān)。2、周期、周期（period）T：一個(gè)完整的波通過(guò)波線上的某點(diǎn)所需的時(shí)間。一個(gè)完整的波通過(guò)波線上的某點(diǎn)所需的時(shí)間。它它由波源決定由波源決定（波源、觀測(cè)者均不動(dòng)時(shí)）（波源、觀測(cè)者均不動(dòng)時(shí)） 頻率頻率（frequency）T1 角頻率角頻率（angular frequency） 2 四、波的特征量四、波的特征量 不是質(zhì)元的振動(dòng)速度！不是質(zhì)元的振動(dòng)速度！103、波長(zhǎng)、波長(zhǎng)（wave length）

8、波線上相鄰的振動(dòng)狀態(tài)相同的兩質(zhì)元間的距離。波線上相鄰的振動(dòng)狀態(tài)相同的兩質(zhì)元間的距離。它它由波源和介質(zhì)共同決定由波源和介質(zhì)共同決定uT 波長(zhǎng)表示波的波長(zhǎng)表示波的空間周期性空間周期性x u112 行波行波 簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧波設(shè)設(shè) 為傳播的物理量，它沿為傳播的物理量，它沿 x 軸傳播，則軸傳播，則某種物理量的擾動(dòng)的傳播稱(chēng)為行波。某種物理量的擾動(dòng)的傳播稱(chēng)為行波。)(uxxttf xxx +xt +t 時(shí)刻時(shí)刻xxft 時(shí)刻時(shí)刻txu 一、行波一、行波（ travelling wave ） tux )(uxtf )(uxtf 為沿為沿+x 向傳播的行波，向傳播的行波，u 為波速。為波速。12 具有沿具有沿+x

9、向傳播的性質(zhì)。向傳播的性質(zhì)。)(uxtf 同理，同理， 具有沿具有沿-x向傳播的性質(zhì)。向傳播的性質(zhì)。)(uxtf uxtftx ）（ , 行波的波函數(shù)：行波的波函數(shù)：即即 ），（），（txttxx 描述描述行波傳播時(shí)，行波傳播時(shí)，物理量物理量 隨位置和時(shí)間的隨位置和時(shí)間的變化。變化。13 cos),( uxtAtxy 二二 、簡(jiǎn)諧波、簡(jiǎn)諧波（simple harmonic wave SHW）如果傳播的擾動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如果傳播的擾動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)， 則 這 樣 的 波則 這 樣 的 波稱(chēng)為稱(chēng)為簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧波（余弦波，單色波）。（余弦波，單色波）。1、一維平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)、一維平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)在在

10、x = 0 處質(zhì)元振動(dòng)方程為處質(zhì)元振動(dòng)方程為 cos), 0(，tAty 則應(yīng)有則應(yīng)有波函數(shù)：波函數(shù)：因無(wú)吸收，故振幅因無(wú)吸收，故振幅 A不變。不變。以機(jī)械波的橫波為例，以機(jī)械波的橫波為例，設(shè)平面波沿設(shè)平面波沿 x方向以方向以速度速度 u 傳播，傳播， 介質(zhì)均勻、無(wú)限大，無(wú)吸收。介質(zhì)均勻、無(wú)限大，無(wú)吸收。14波函數(shù)式中的波函數(shù)式中的)(uxt ，稱(chēng)為波的，稱(chēng)為波的位位相相。波在某點(diǎn)的相位反映該點(diǎn)質(zhì)元的波在某點(diǎn)的相位反映該點(diǎn)質(zhì)元的“運(yùn)動(dòng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)”。所以，簡(jiǎn)諧波的傳播也是介質(zhì)振動(dòng)位相的傳播。所以，簡(jiǎn)諧波的傳播也是介質(zhì)振動(dòng)位相的傳播。 相速度相速度（相速相速）設(shè)設(shè) t 時(shí)刻時(shí)刻 x 處的位相經(jīng)處

11、的位相經(jīng) dt 傳到傳到（x +dx）處，處， uxxttuxtdd ）（ 則應(yīng)有則應(yīng)有txudd 于是得到于是得到 即，即，簡(jiǎn)諧波的波速就是相速。簡(jiǎn)諧波的波速就是相速。152、一維簡(jiǎn)諧波函數(shù)的另一種表示、一維簡(jiǎn)諧波函數(shù)的另一種表示 cos),( uxtAtxy Tu 2 T xtAtxy 2 cos),(0t 2 t x? t 沿波傳播方向每增加沿波傳播方向每增加 的距離，位相落后的距離，位相落后2 。說(shuō)明說(shuō)明：因此，因此，x點(diǎn)比點(diǎn)比0點(diǎn)位相落后點(diǎn)位相落后 。 x 216 全反射壁全反射壁 (l- x)lx y0 = Acost入射入射反射反射S0【例例】反射波在反射波在S處相位改變處相位改

12、變 。如圖示，已知：如圖示，已知：y0 = Acos t ，波長(zhǎng)為波長(zhǎng)為 ，求：反射波函數(shù)求：反射波函數(shù) y (x , t )解解：全反射，全反射， A不變。不變。 22cos),( xltAtxy 222cos lxtA 波由波由0經(jīng)壁反射到經(jīng)壁反射到 x 傳播了距離傳播了距離l + (l x) = 2l x，相位落后了相位落后了2 (2l x)/ ，在壁處反射相位改變了在壁處反射相位改變了 ，“+”表示沿表示沿 x 方向傳播方向傳播取取+、 均可均可173、波函數(shù)的意義、波函數(shù)的意義（1） t = t0， y x 給出給出 t 時(shí)刻空間各點(diǎn)位移分布。時(shí)刻空間各點(diǎn)位移分布。（2） x = x

13、0，y t 給出給出 x 點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)。點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)。T yt0振動(dòng)曲線振動(dòng)曲線 x = x0 xtAtxy 2cos),( x y0波動(dòng)曲線波動(dòng)曲線 t = t018【例例】yx0 已知一個(gè)向右傳播的波在已知一個(gè)向右傳播的波在 x = 0點(diǎn)的振動(dòng)點(diǎn)的振動(dòng)解：解：yt-TTA0A-A 較較0點(diǎn)相位點(diǎn)相位落后落后 /20yAx=0點(diǎn)初相位為點(diǎn)初相位為 /2向向+y方向運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)t = 0 t 0試畫(huà)出該波在試畫(huà)出該波在曲線如圖所示。曲線如圖所示。t = 0 時(shí)的波形曲線。時(shí)的波形曲線。 xtAy 22cos 22cos,0 xAyt194、一維簡(jiǎn)諧波波函數(shù)的復(fù)數(shù)表示、一維簡(jiǎn)諧波波函數(shù)的復(fù)數(shù)表示

14、表示單位距離內(nèi)位相的變化表示單位距離內(nèi)位相的變化 定義波數(shù)定義波數(shù)（wave number）：）： 2 k) cos( kxtAy ) (-i kxtAey -iitkxeAe 振動(dòng)因子振動(dòng)因子空間因子空間因子（復(fù)振幅）（復(fù)振幅）復(fù)數(shù)表達(dá)式：復(fù)數(shù)表達(dá)式：向右向右：向左向左波函數(shù)：波函數(shù)：)( t：x=0點(diǎn)的位相點(diǎn)的位相【例例】自由粒子波函數(shù)：自由粒子波函數(shù)：)(),(EtpxiAetx 203 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 波速波速 色散色散一、一維波動(dòng)方程一、一維波動(dòng)方程 uxtfy以任意一個(gè)沿以任意一個(gè)沿x正方向傳播的行波為例正方向傳播的行波為例2222 fty,122222 fuxy比較可得比較可得

15、 波動(dòng)方程，描述經(jīng)典波動(dòng)過(guò)程的普遍方程。波動(dòng)方程，描述經(jīng)典波動(dòng)過(guò)程的普遍方程。任何行波，包括平面簡(jiǎn)諧波，都是它的解。任何行波，包括平面簡(jiǎn)諧波，都是它的解。uxt ，設(shè)，設(shè)0122222 tyuxyu為波速為波速21 波動(dòng)方程雖由行波波函數(shù)得到，但其解并波動(dòng)方程雖由行波波函數(shù)得到，但其解并不限于行波。任何物理量，無(wú)論是位移，還不限于行波。任何物理量，無(wú)論是位移，還是電場(chǎng)或磁場(chǎng)，只要它與坐標(biāo)、時(shí)間的函數(shù)是電場(chǎng)或磁場(chǎng)，只要它與坐標(biāo)、時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是波動(dòng)方程的解，那么該物理量的運(yùn)動(dòng)關(guān)系是波動(dòng)方程的解，那么該物理量的運(yùn)動(dòng)形式就一定是波動(dòng)。形式就一定是波動(dòng)。波動(dòng)：運(yùn)動(dòng)函數(shù)滿(mǎn)足波動(dòng)方程波動(dòng)：運(yùn)動(dòng)函數(shù)滿(mǎn)足波動(dòng)

16、方程0122222 tyuxy的運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)。22 pRTuM，氣體中：氣體中： 液體中：液體中： ， Ku （體積模量）（體積模量）PKV V 比熱比比熱比二、波速二、波速體變體變 pp ppV+ V pu，23固固體體中中， Gut SFG ， Eul llSFE （切變模量）（切變模量）（楊氏模量）（楊氏模量）tluu ，地震波傳播，地震波傳播 彈性繩上的橫波：彈性繩上的橫波：lFu l 繩的線密度繩的線密度F 繩的初始張力，繩的初始張力，橫波橫波F切變切變 FSl l FF線變線變縱波縱波切應(yīng)力切應(yīng)力切應(yīng)變切應(yīng)變應(yīng)力應(yīng)力線應(yīng)變線應(yīng)變24三、色散三、色散（dispersion ） 上面給

17、出介質(zhì)中的波速，只與介質(zhì)的性質(zhì)上面給出介質(zhì)中的波速，只與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，而與波的性質(zhì)無(wú)關(guān)。有關(guān)，而與波的性質(zhì)無(wú)關(guān)。 實(shí)際上，在有些介質(zhì)中，波速除了與介質(zhì)有實(shí)際上，在有些介質(zhì)中，波速除了與介質(zhì)有關(guān)外，不同頻率簡(jiǎn)諧波的波速也不同。關(guān)外，不同頻率簡(jiǎn)諧波的波速也不同。能產(chǎn)生色散現(xiàn)象的介質(zhì)稱(chēng)為能產(chǎn)生色散現(xiàn)象的介質(zhì)稱(chēng)為色散介質(zhì)。色散介質(zhì)。不產(chǎn)生色散現(xiàn)象的介質(zhì)稱(chēng)為不產(chǎn)生色散現(xiàn)象的介質(zhì)稱(chēng)為無(wú)色散介質(zhì)。無(wú)色散介質(zhì)。 這種波速與波的頻率這種波速與波的頻率（波長(zhǎng)波長(zhǎng)）有關(guān)的現(xiàn)象稱(chēng)有關(guān)的現(xiàn)象稱(chēng)為色散為色散 。2510 0可可見(jiàn)見(jiàn)光光X 光光反常色散區(qū)反常色散區(qū)玻璃對(duì)光的色散曲線玻璃對(duì)光的色散曲線n玻璃玻璃（c/u）對(duì)對(duì) X 光來(lái)說(shuō)，玻璃的折射率光來(lái)說(shuō)，玻璃的折射率入射角入射角 i 。全反射的一個(gè)重要應(yīng)用是全反射的一個(gè)重要應(yīng)用是光導(dǎo)纖維（光纖），光導(dǎo)纖維（光纖），irn1(大大)n2(小小)i = iC r = 90 n1(大大)n2(小小)12Csinnni 當(dāng)入射當(dāng)入射i 臨