幻燈片云南師范大學(xué)

1、云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)1高等幾何（第二版高等幾何（第二版 朱德祥朱德祥 朱維宗編）朱維宗編）云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 第七章第七章 二次曲線的仿射性質(zhì)二次曲線的仿射性質(zhì)云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)2提提 綱綱云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)31112132122233132330()ikkiaaaD aaaaaaaa 在齊次仿射坐標(biāo)（在齊次仿射坐標(biāo)（x,y,t）之下，常態(tài)二次曲線）之下，常態(tài)二次曲線的方程是的方程是2221112221323332220,a xa xya ya xta yta t它的系數(shù)行列式是它的系數(shù)行列式是下面分兩種情況討論：下面分兩種情

2、況討論：云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)411123321220.aaAaa（1） 這時(shí)二次曲線是有心的，以中心作為坐標(biāo)三角這時(shí)二次曲線是有心的，以中心作為坐標(biāo)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)形的一個(gè)頂點(diǎn)A3，以過(guò)中心的兩條共軛直徑作為，以過(guò)中心的兩條共軛直徑作為坐標(biāo)三角形的三邊，以中心的極線也就是坐標(biāo)三角形的三邊，以中心的極線也就是l作為作為坐標(biāo)三角形的第三邊（見(jiàn)圖坐標(biāo)三角形的第三邊（見(jiàn)圖7.4），這種三角形一），這種三角形一定是自極三角形定是自極三角形A1A2A3。A3(0,0,1)A1(1,0,0)A2(0,1,0)圖圖7.47.4云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)5由自極三角形由自極三角形A1A2A

3、3，于是有，于是有A2、A3關(guān)于關(guān)于成共軛成共軛a a2323=a=a3232=0=0A3、A1關(guān)于關(guān)于成共軛成共軛a a1313=a=a3131=0=0A1、A2關(guān)于關(guān)于成共軛成共軛a a1212=a=a2121=0=0 這時(shí)的二次曲線這時(shí)的二次曲線的方程可化簡(jiǎn)為的方程可化簡(jiǎn)為2221122330.(1)a xa ya t112233（a a a0）上式中上式中aii的符號(hào)有三種可能：的符號(hào)有三種可能：+，+，+；+，+，-；+，-，-云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)6 在在6.6節(jié)中，節(jié)中，x1,x2,x3三坐標(biāo)有相同的地位，故三坐標(biāo)有相同的地位，故+，+，-；+，-，-看作同一情形；在

4、此地，看作同一情形；在此地，x,y,t地位地位不同了，不同了，t=0恒表示無(wú)窮遠(yuǎn)直線，故恒表示無(wú)窮遠(yuǎn)直線，故+，+，-；+，-，-不是同一種情況。不是同一種情況?！咀⒆ⅰ咳绻匀绻詘,y,t分別代替分別代替112233,a xaya t并且在必要時(shí)交換并且在必要時(shí)交換x和和y的身份，那么（的身份，那么（1）式因各）式因各項(xiàng)符號(hào)的異同又可分為如下三種情況：項(xiàng)符號(hào)的異同又可分為如下三種情況：云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)7222222222222222010.010.010.xytxyxytxyxytxy或用非齊次坐標(biāo)（虛橢圓）或用非齊次坐標(biāo)（實(shí)橢圓）或用非齊次坐標(biāo)（雙曲線）云云 南南 師師

5、 范范 大大 學(xué)學(xué)811123321220.aaAaa（2） 這時(shí)二次曲線是無(wú)心的（心在這時(shí)二次曲線是無(wú)心的（心在l 上），以上），以l跟跟一直徑及此直徑與二次曲線的有限交點(diǎn)處的切線一直徑及此直徑與二次曲線的有限交點(diǎn)處的切線作為坐標(biāo)三角形的三邊（圖作為坐標(biāo)三角形的三邊（圖7.5）。它的頂點(diǎn)是）。它的頂點(diǎn)是A1(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1)圖圖7.57.5A3(0,0,1)A2(0,1,0)A1(1,0,0)x=0y=0t=0云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)9因此在上述的坐標(biāo)三角形之下，二次曲線的方程因此在上述的坐標(biāo)三角形之下，二次曲線的方程可簡(jiǎn)化為：可簡(jiǎn)化為：2213

6、2213222220202020.aaya xtypxtaypxypx或(p=)若用非齊次坐標(biāo)，即它所表示的圖形是拋物線，經(jīng)過(guò)仿射坐標(biāo)變換可簡(jiǎn)化為A2與與A3共軛共軛a a2323=a=a3232=0=0又又A3、A1成共軛成共軛a a1313=a=a3131=0=0A1與與A2共軛共軛a a1212=a=a2121=0=0云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)10拋物線拋物線:y2-2x=0常態(tài)二次曲線常態(tài)二次曲線 (A33 0) 有心二次曲線有心二次曲線無(wú)心二次曲線無(wú)心二次曲線（A33=0）橢圓橢圓A33 0 雙曲線雙曲線A33 0: x2-y2-1=0 虛橢圓：虛橢圓：x2+y2+1=0 實(shí)

7、橢圓：實(shí)橢圓：x2+y2-1=0 云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)11二重合無(wú)窮遠(yuǎn)直線二重合直線秩為直線一有窮直線和一無(wú)窮遠(yuǎn)二虛平行直線二實(shí)平行直線二虛相交直線二實(shí)相交直線秩為拋物線雙曲線虛橢圓實(shí)橢圓秩為00100000202,00,00000302321)(312321232122212221)(312233232221332322212322213333)()(31,xxxxxxxxxxxxxxxAxxxAxxxxxxAAxxaijijijjiijaaaaajijiij云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)121.如果一個(gè)完全四角形（四點(diǎn)形）內(nèi)接于一條二如果一個(gè)完全四角形（四點(diǎn)形）內(nèi)接于一條

8、二次曲線，那么它的對(duì)角三角形是自極三角形。次曲線，那么它的對(duì)角三角形是自極三角形。RACSA2QA1BPA=PSQE,B=QSRP,C=RSPQ.直線直線BC交一雙交一雙對(duì)邊對(duì)邊QR與與PS于于A1,A2,那么那么(QR,AA1),(PS,AA2)=-1. 因此因此A點(diǎn)的極線是點(diǎn)的極線是A1A2或或BC,同樣同樣B點(diǎn)的極線是點(diǎn)的極線是CA,C點(diǎn)的極線是點(diǎn)的極線是AB.證明證明 設(shè)內(nèi)接完全四角形設(shè)內(nèi)接完全四角形PQRS（圖（圖7.6）的對(duì)角點(diǎn)是）的對(duì)角點(diǎn)是圖圖7.67.6云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)132.如果一個(gè)平行四邊形內(nèi)接于一條二次曲線，那如果一個(gè)平行四邊形內(nèi)接于一條二次曲線，那么它

9、的兩條對(duì)角線是二次曲線的直徑，而且它的么它的兩條對(duì)角線是二次曲線的直徑，而且它的兩邊分別平行于一對(duì)共軛直徑。兩邊分別平行于一對(duì)共軛直徑。證明證明 設(shè)設(shè)PQRS是內(nèi)接二次曲線是內(nèi)接二次曲線的平行四邊形的平行四邊形（圖（圖7.7）圖圖7.77.7CA云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)14 由于由于ABC 是四角形是四角形PQRS的對(duì)角三角形，的對(duì)角三角形，因而是自極三角形。因而是自極三角形。B是是AC 關(guān)于關(guān)于的極點(diǎn)，所的極點(diǎn)，所以以B B是是的中心。而的中心。而PR,QS PR,QS 都通過(guò)都通過(guò)B B，所以，所以PR,QSPR,QS是是的直徑。的直徑。 又因又因PQPQ BCBC,QR,QRB

10、ABA, ,而而B(niǎo)CBC,BA,BA是一對(duì)共軛是一對(duì)共軛直徑（上題），所以平行四邊形直徑（上題），所以平行四邊形PQRSPQRS的兩邊平行的兩邊平行于一對(duì)共軛直徑。于一對(duì)共軛直徑。3.如果雙曲線的一條弦如果雙曲線的一條弦AB交兩條漸近線于交兩條漸近線于P、Q兩點(diǎn)，那么兩點(diǎn)，那么PA=BQ.云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)15 設(shè)弦設(shè)弦AB被一條被一條相應(yīng)的共軛直徑相應(yīng)的共軛直徑OM平分（圖平分（圖7.8），），M為弦為弦AB的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。作直徑作直徑ON平行于平行于AB，則，則OM,ON 是一對(duì)共軛直徑。是一對(duì)共軛直徑。xyOONPAMB圖圖7.8云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)16于是

11、按定理于是按定理7.1有有O(PQ,MN)=-1,所以所以（PQ,MN）=-1,即（即（PQM）=-1，或，或M為為PQ的中點(diǎn)。又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)。又因?yàn)镸為為AB之中點(diǎn)，所以之中點(diǎn)，所以PA=BQ。當(dāng)弦當(dāng)弦AB為切線時(shí)，為切線時(shí)，M為切點(diǎn)，得為切點(diǎn)，得定理定理7.3 雙曲線的任意一條切線介于兩漸近線間雙曲線的任意一條切線介于兩漸近線間的部分，被切點(diǎn)平分。的部分，被切點(diǎn)平分。云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)17第七章第七章 小結(jié)小結(jié) 本章主要內(nèi)容如下（本章主要內(nèi)容如下（所討論的二次曲線非退化所討論的二次曲線非退化）：）：一、中心一、中心1.定義：定義：中心為無(wú)窮遠(yuǎn)直線的極點(diǎn)中心為無(wú)窮遠(yuǎn)直線的極點(diǎn).

12、2.存在性存在性：橢圓、雙曲線有唯一中心，拋物線以無(wú)：橢圓、雙曲線有唯一中心，拋物線以無(wú) 窮遠(yuǎn)點(diǎn)為中心窮遠(yuǎn)點(diǎn)為中心.3.性質(zhì)性質(zhì)：平分過(guò)中心的弦：平分過(guò)中心的弦.4.方程：方程：中心是方程組中心是方程組 a11x+a 12y+a13=0 a12x+a22y+a 23=0 的解的解.云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)18二、直徑與共軛直徑二、直徑與共軛直徑1.定義定義（1）無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極線（）無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極線（非無(wú)窮遠(yuǎn)線非無(wú)窮遠(yuǎn)線）稱為直徑）稱為直徑.（2）如何兩直徑之一的極點(diǎn)在另一直徑上，則此兩）如何兩直徑之一的極點(diǎn)在另一直徑上，則此兩直徑稱為共軛直徑。直徑稱為共軛直徑。2.存在性存在性（1）二次

13、曲線有無(wú)窮多條直徑）二次曲線有無(wú)窮多條直徑.（2）有心二次曲線有共軛直徑，無(wú)心二次曲線無(wú)共）有心二次曲線有共軛直徑，無(wú)心二次曲線無(wú)共軛直徑軛直徑.第七章第七章 小結(jié)小結(jié)云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)193.性質(zhì)性質(zhì)（1）有心二次曲線的直徑過(guò)中心，無(wú)心二次）有心二次曲線的直徑過(guò)中心，無(wú)心二次曲線的直徑彼此平行。曲線的直徑彼此平行。（2）共軛直徑平分與另一條直徑平行的弦；）共軛直徑平分與另一條直徑平行的弦；平行于過(guò)另一端點(diǎn)的切線。平行于過(guò)另一端點(diǎn)的切線。4.求法求法：按照定義：按照定義第七章第七章 小結(jié)小結(jié)云云 南南 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)20三、漸近線三、漸近線1.定義：定義：以以與與l的交點(diǎn)為切點(diǎn)的的交點(diǎn)為切點(diǎn)的的切線的切線.2.存在性：存在性： 雙曲線有兩條實(shí)漸近線，橢圓有兩雙曲線有兩條實(shí)漸近線，橢圓有兩 條虛漸近線，拋物線以無(wú)窮遠(yuǎn)線為條虛漸近線，拋物線以無(wú)窮遠(yuǎn)線為 漸近線。漸近線。3.性質(zhì)：性質(zhì)： 漸近線過(guò)中心，且調(diào)和分割任一對(duì)漸近線過(guò)