二次數(shù)壓軸題資料

1、2006年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題全析全解1、(2006重慶)如圖1所示，一張三角形紙片ABC/ACB=90,AC=8,BC=6.沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成&ACiDi和ABC2D2兩個三角形(如圖2所示).將紙片AAQDi沿直線D2B(AB)方向平移(點A,Di,D2,B始終在同一直線上)，當(dāng)點Di于點B重合時，停止平移.在平移過程中，C1D1與BC2交于點E,AC1與C2D2、BC2分別交于點F、P.(1)當(dāng)MCiDi平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的DiE與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)設(shè)平移距離D2D1為x,AACQi與ABC2D2重疊部分面積為y,請寫出y與x的

2、函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；1(3)對于(2)中的結(jié)論是否存在這樣的x的值，使重疊部分的面積等于原AABC面積的-.4若存在，求x的值；若不存在，請說明理由.解(1)DE=D2F.因為GD1C2D2所以C1=AFD2.又因為NACB=901CD是斜邊上的中線，所以，DC=DA=DB,即C1D1=CzD2=BD2=AD1所以，ZC1=/A,所以/AFD2=/A所以，AD2=D2F.同理：BD1=D1E.又因為AD1=BD2,所以AD2=BD1.所以D1E=D2F(2)因為在RtAABC中，AC=8,BC=6,所以由勾股定理，得AB=10.即AD1=BD2=C1D1=CzD2=5又因為D2D

3、1=x,所以D1E=BD1=D2F=AD2=5x.所以C2F=C1E24在ABC2D2中，C2到BD2的距離就是AABC的AB邊上的高，為一5設(shè)ABED1的BD1邊上的高為h,由探究，得ABC2D2sABED1,所以h245所以h24(5-x)S25.BED11122BD1h(5-x)225又因為ZC1+/C2=90)所以NFPC2=90，又因為ZC2=NB,一一3所以PC2=x,PF543sinB=，cosB=.554-12“62=5X,S杏C2P=萬PC2父PF=25x而 y = s/bc2d2O_1Q12Ms2_62一SFC2P-2sABC一25(5一X)-25x-189所以y二一丫乂2

4、2524x(0_x_5)存在.當(dāng)y1182=：S&BC時，即一二7x425整理，得3x220x+25=0.解得,24公x=655Xi=一,x?=5.3即當(dāng)5,，一一,1x=或x=5時，重疊部分的面積等于原MBC面積的一3.2、(2006浙江金華)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線A(3,0),B(0,J3)兩點，點C為線段AB上的一動點，過點C作CDLx軸于點D.(1)求直線AB的解析式；(2)若S梯形qbcd=,求點C的坐標(biāo)；3(3)在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得以P,O,B為頂點的三角形與OBAf似.若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.y軸分別交于4AB與x軸,

5、解(1)直線AB解析式為：y=-號x+33,3cOD = x, CD = - x+ 3 3 .-S梯形OBCDOB CD CDWx2由題意：-x26 . 34-,解得 xi =2,x23=4 （舍去）方法一 :，S AOB13 3OA OB =,S.4.3,梯形OBCD -3，一S.ACD由 OA= 33 OB ,得/ BAO = 30°1=一 CDX AD =2, 3 2CD2立,可得CD=AD= 13,OD = 2 . . . C （ 2 ,）3(3 )當(dāng)/ OBP=Rt/時，如圖若 BOPsOBA,則/ BOP=/ BAO=30 Pi （3,o3、一）3,BP=Qob=3,一3

6、(2)萬法一：設(shè)點C坐標(biāo)為(x,Jx+M3),那么3,OP= OB=1 .若BPOAOBA,則/BPO=ZBAO=30P2（1,J3）.當(dāng)/OPB=Rt/時過點P作OPBC于點P（如圖），此時PBOAOBA,ZBOP=ZBAO=30°過點P作PM，OA于點M.方法一：在RtPBO中，BP=1OB=,OP=<'3BP=-.222在RtPMO中，ZOPM=30°,13一3.333、3OM=-OP=-；PM=J3OM=.P3（一，-）一>,3一、.3萬法一：設(shè)P(x,-x+J3),得OM=x,PM=-x+73由/BOP=/BAO,得/POM=/ABO.3V.。

7、PM一33/OActan/POM=-3,tan/ABOC=<3.OMxOB,3一一一3_33.3、xx+、3=V3x,解得x=此時，B(,)若POBsOBA(如圖)，則/OBP=/BAO=30°,/POM=30°.3.3PM=-OM=P4(3,)(由對稱性也可得到點P4的坐標(biāo)).44當(dāng)/OPB=Rt/時，點P在x軸上，不符合要求綜合得，符合條件的點有四個，分別是：Pi(3,f)P2c、-,33.3、-/31,v3),P3(，),P4(一，4443、(2006山東濟南)如圖1,已知RtzXABC中，/CAB=30'，BC=5.過點A作AE±AB,且AE

8、=15,連接BE交AC于點P.(1)求PA的長；(2)以點A為圓心，AP為半徑作。A,試判斷BE與。A是否相切，并說明理由；(3)如圖2,過點C作CD，AE,垂足為D.以點A為圓心，r為半徑作。A；以點C為圓心，R為半徑作。C.若r和R的大小是可變化的，并且在變化過程中保持。A和。C相切，且使D點在。A的內(nèi)部，B點在。A的外部，求r和R的變化范圍.解EPACB圖1(1) 丁在RtzXABC中，/CAB=30，BC=5,-AC=2BC=10.'；AE/BC,aAAPEACPB. 3 10PA 二415萬二PA:PC=AE:BC=3:1.二PA:AC=3:4,(2) BE與。A相切.在 R

9、tAABE 中,AB =5陰，AE=15,155.3AEtan/ABE=AB又；/PAB=30，,NABE+ZPAB=90，,，/APB=90,二BE與。A相切.(3)因為AD=5,AB=5j3,所以r的變化范圍為5<r<5j3.當(dāng)。A與OC外切時，R+r=10,所以R的變化范圍為105j3<R<5;當(dāng)。A與OC內(nèi)切時，Rr=10,所以R的變化范圍為15<R<10+5j3.4、(2006山東煙臺)如圖，已知拋物線L1:y=x2-4的圖像與x有交于A、C兩點，(1)若拋物線l2與11關(guān)于x軸對稱，求l2的解析式；(2)若點B是拋物線1i上的一動點(B不與AC重

10、合)，以AC為對角線，A、日C三點為頂點的平行四邊形的第四個頂點定為D,求證：點D在12上；(3)探索：當(dāng)點B分別位于l1在x軸上、下兩部分的圖像上時，平行四邊形ABCD勺面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它的面積；若不存在，請說明理由。解為/(1)設(shè)12的解析式為y=a(x-h)2+k、/了.12與x軸的交點A(-2,0),C(2,0),頂點坐標(biāo)是(0,-4),11與l2關(guān)于x軸對稱，jPl .12過A(-2,0),C(2,0),頂點坐標(biāo)是(0,4)八y=ax2+4IV/I|0=4a+4得a=-1JJI，l2的解析式為y=-x2+4»(2)設(shè)B(

11、Xi,y1) 點B在l1上B(xi,X12-4) 四邊形ABC比平行四邊形，AC關(guān)于O對稱 B、D關(guān)于。對稱D(-x1,-x12+4).將D(-xi，-x12+4)的坐標(biāo)代入l2：y=-x2+4，左邊=右邊，點D在12上.(3)設(shè)平行四邊形ABCM面積為S,則S=2*SaABc=AC*|yi|=4|yi|a. 當(dāng)點B在x軸上方時，yi>0.S=4yi,它是關(guān)于yi的正比例函數(shù)且S隨yi的增大而增大，S既無最大值也無最小值b. 當(dāng)點B在x軸下方時，-4&yiV0.S=-4yi,它是關(guān)于yi的正比例函數(shù)且S隨yi的增大而減小，.當(dāng)yi=-4時，S由最大值16,但他沒有最小值此時B(0

12、,-4)在y軸上，它的對稱點D也在y軸上.ACLBD平行四邊形ABC虛菱形此時S最大=i6.5、(2006浙江嘉興)某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山.從山的側(cè)面進行堪測，迎面山坡線ABC由同一平面內(nèi)的兩段拋物線組成，其中AB所在的拋物線以A為頂點、開口向下，BC所在的拋物線以C為頂點、開口向上.以過山腳(點C)的水平線為x軸、過山頂(點A)的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖(單位：百米).已知AB所在拋物線的解iio.析式為y=x+8,BC所在拋物線的解析式為y=-(x8),且已知B(m,4).44(i)設(shè)P(x,y)是山坡線AB上任意一點，用y表示x,并求點B的坐標(biāo)；(2)從山頂開始、沿迎面山坡

13、往山下鋪設(shè)觀景臺階.這種臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上(見圖)分別求出前三級臺階的長度(精確到厘米)；這種臺階不能一直鋪到山腳，為什么？(3)在山坡上的700米高度(點D)處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站.索道的起點選擇在山腳水平線上的點E處，OE=i600(米).假設(shè)索道DE可近似地看成一段以E為頂點、開口向上的拋物線，解析式為y=(x-i6)2,試求索道的最大懸空28高度.解(DP(x,y)是山坡線AB上任意一點,12y=x+8,x>0,4x2=4(8v),x=2,8yB(m,4),m=288-4=4,B(4,4)(

14、2)在山坡線AB上，x=2/8y,A(0,8)令y0=8，得x0=0;令y1=8-0.002=7.998,得x1=2,0.002%0.08944，第一級臺階的長度為x1x0=0.08944(百米)之894(厘米)同理，令y2=82x0.002、y3=83X0.002,可得x2之0.12649、x3&0.15492，第二級臺階的長度為x2x1=0.03705(百米)5t371(厘米)第三級臺階的長度為x3-x2=0.02843(百米)284(厘米)取點B(4,4),又取y=4+0.002,則x=2v'3.998r：3.999004-3.99900=0.001<0.002這種

15、臺階不能從山頂一直鋪到點B,從而就不能一直鋪到山腳(注：事實上這種臺階從山頂開始最多只能鋪到700米高度，共500級.從100米高度到700米高度都不能鋪設(shè)這種臺階.解題時取點具有開放性)另解：連接任意一段臺階的兩端點.這種臺階的長度不小于它的高度ZPQR<45當(dāng)其中有一級臺階的長大于它的高時,在題設(shè)圖中，作BH_LOA于H則/ABH =45°,又第一級臺階的長大于它的高上山方向D(2,7)、E(16,0)、B(4,4)、C(8,0)由圖可知，只有當(dāng)索道在BC上方時，索道的懸空高度才有可能取最大值索道在BC上方時，懸空高度y=(x-16)2-(x-8)22841232028=(

16、_3x40x96)=(x)141433當(dāng)x號時,8 y max =一3索道的最大懸空高度為800米.36、(2006山東濰坊)已知二次函數(shù)圖象的頂點在原點O,對稱軸為y軸.一次函數(shù)y=kx+1的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A,B兩點(A在B的左側(cè))，且A點坐標(biāo)為(-4,4).平行于x軸的直線l過(0,-1)點.(1)求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；(2)判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系，并給出證明；(3)把二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向下平移t個單位(t>0),二次函數(shù)的圖象與x軸交于M , N兩點，一次函數(shù)圖象交y軸于F點.當(dāng)t為何值時，過 F, M, N三點的圓的面積最小？

17、最小面積是多少？3解(1)把A(F,4)代入丫=4+1得k=一，43,一次函數(shù)的解析式為y=-x十1；4/二次函數(shù)圖象的頂點在原點，對稱軸為y軸,設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2,A,，八、2，口1把A(-4,4)代入y=ax得a=一4,12,二次函數(shù)解析式為y=-x.43y=xx1由412y=4xx=1X解得：或（1,y=4y=41二B.1,4過A,B點分別作直線l的垂線，垂足為A；B',一.15則AA'=4+1=5,BB=_+1=_,44552525二直角梯形AABB的中位線長為一4=，28過B作BH垂直于直線AA'于點H,則BH=A'B'=5,，1 1

18、5AH =4一 4425一,:AB的長等于AB中點到直線l的距離的2倍,4二以AB為直徑的圓與直線l相切.(3)平移后二次函數(shù)解析式為y=(x-2)2t,令y=0,得(x2)2t=0,x1=2痛，x2=2+T?,過F,M,N三點的圓的圓心一定在直線x=2上，點F為定點，要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點F到直線x=2的距離,此時，半徑為2,面積為4兀，設(shè)圓心為C,MN中點為E,連CE,CM,則CE=1,在三角形CEM中，ME=42-1=V3,.MN=2下,而MN=X2%=24,.t=3,當(dāng)t=3時，過F,M,N三點的圓面積最小，最小面積為47t.7、(2006江西)問題背景某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)

19、研討中，得到了如下兩個命題：如圖1,在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O,若/BON=60o,則BM=CN;如圖2,在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O,若/BON=90。，貝UBM=CN;然后運用類比的思想提出了如下命題：如圖3,在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O,若/BON=108o,貝UBM=CN。任務(wù)要求：(1)請你從、三個命題中選擇一個進行證明；(說明：選做對得4分，選做對得3分，選做對得5分)(2)請你繼續(xù)完成下列探索：請在圖3中畫出一條與CN相等的線段DH使點H在正五邊形的

20、邊上，且與CN相交所成的一個角是108。，這樣的線段有幾條？(不必寫出畫法，不要求證明)如圖4,在正五邊形ABCDE,M、N分別是DE、EA上的點，BM與CN相交于點O,若/BON=108。，請問結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由。解M(1)以下答案供參考:(1)如選命題1 + 7 2=60°證明：在圖1中，BON=60°/3+/2=60°,.1=/3又BC=CA,/BCM=/CAN=60°ABCMACANBM=CN(2)如選命題證明：在圖2中，/BON=90°1+72=90°/3+72=90°

21、;,1=/3X/BC=CD,/BCM=/CDN=90°ABCMACDNBM=CN(3)如選命題證明；在圖3中，.一/BON=108°1+/2=108 /2+73=108°1=/3X/BC=CD,ZBCM=ZCDN=108°ABCMACDNBM=CN(n-2)1800“八(2)答：當(dāng)/BON=時結(jié)論BM=CN成立.答當(dāng)/BON=108°時。BM=CN還成立證明；如圖5連結(jié)BD、CE.在8。)和4CDE中 BC=CD,ZBCD=ZCDE=108°,CD=DEABCDACDEBD=CE,/BDC=/CED,/DBC=/CEN ./CDE=Z

22、DEC=108°,.BDM=/CEN /OBC+/ECD=108°,/OCB+/OCD=108°./MBC=ZNCD又./DBC=ZECD=36°,，/DBM=/ECNABDM咨ACNEBM=CN1八一一8、(2006吉林長春)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個函數(shù)y=x,y=x+6的圖象交2于點A。動點P從點O開始沿OA方向以每秒1個單位的速度運動，作PQ/x軸交直線BC于點Q,以PQ為一邊向下作正方形PQMN,設(shè)它與OAB重疊部分的面積為S(1)求點A的坐標(biāo)。(2)試求出點P在線段OA上運動時，S與運動時間t(秒)的關(guān)系式。(3)在(2)的條件下，S是否

23、有最大值？若有，求出t為何值時，S有最大值，并求出最大值；若沒有，請說明理由。(4)若點P經(jīng)過點A后繼續(xù)按原方向、原速度運動，當(dāng)正方形PQMN與4OAB重疊部分面積最大時，運動時間t滿足的條件是?？傻脁 =4,、y =4.y二x,解(1)由1y=x+6,J2.A(4,4)。(2)點P在y=x上，OP=t,則點P坐標(biāo)為(之).2點Q的縱坐標(biāo)為旦,并且點Q在y=_1x+6上。22t=一1*6,x=12_.2t22,2、即點Q坐標(biāo)為(12-V2t,t)o2-32PQ=12-to2當(dāng)12送t=Y2t時，t=3J2。22當(dāng)CKtE3J2寸，S=1(12-3-2t)=3t26、.2t.222當(dāng)點P到達(dá)A點

24、時，t=4J2,當(dāng)34左t<4j2時,S =(12 -3.2t)=9t2-362t1442(3)有最大值，最大值應(yīng)在0<tE3J2中,S=-t26.2t=-3(t2-4.2t8)12=-3(t-2,.2)212,222當(dāng)t=2K2時，S的最大值為12。(4)t>122o9、（2006湖南常德）把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中/ABC=/DEF=90，,/C=/F=45,AB=DE=4,把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P,射線DF與線段BC相交于點Q.(1

25、)如圖9,當(dāng)射線DF經(jīng)過點B,即點Q與點B重合時，易證zXAPDszXCDQ.此時，APCQ =(2)將三角板DEF由圖0：:二:<903,問 AP CQ(3)在(2)的條件下，設(shè)1所示的位置繞點的值是否改變？說明你的理由.CQ = x ,O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為£ .其中(2) AP-CQ的值不會改變.理由如下：在ZXAPD與4CDQ中，/A = /C=45,APDm8'0-14 5-'(45 :) a. C D Q£ 0 - a即 APD ="DQE人人AP CD .APDszXCDQ.=AD CQ.A P C©_A D=

26、 CD(3)情形 1：當(dāng) 0'<a<45,時，2<CQ <4,即 2<x<4,邊形 DPBQ ,過 D 作 DG，AP 于 G , DN ± BC 于 N,D G= DMP8由(2)知：AP|_CQ=8得AP=x一一1.11.于是yABLAC-CQDN-APLDG222=8-x-，2:二x:4)x情形2：當(dāng)45,wa<90(時，0<CQw2時，即0<x02,此時兩三角板重疊部分8， 口PB = 4,易證: x PBM c/dADNM ,2PB 8-4x2 PB - 4-xBMP口BBMPB的，=IP=解得BMMNDN2-B

27、M2一一8-4xMQ=4-BM-CQ=4-x-4-x一1I8-4x于是y=MQDN=4x-(0<x02)24-x8綜上所述，當(dāng)2<x<4時，y=8-x-x_8-4x當(dāng)0<x02時，y=4x4-xx2-4x84-x法二：連結(jié)BD,并過D作DN，BC于點N,在DB、與MCD中，DBQ-MCD=45DQB=/QCBQDC=451QDC='MDQQDC=/MDC . DBQ s、mcdD 8 MC =B 4-xMQ =MC -CD =-8- -x =4 -xx2 - -x84-x1 I x2 -4x 8y = DN LMQ =(024 -x<x< 2)法三：

28、過D作DN，BC于點N ,在RtA DNQ中,D Q = D NN2Q=4(2x)22二x一4x8于是在ABDQ與4DMQ中NDBQ=/MDQ=45,.DMQ=.DBM.BDM=45；.BDM“BDQ.BDQs、DMQBQDQDQ-MQ即匕=2QDQMQMQ 二DQ24 -x2一x-4x84-xy =1DNMQ =2(0 <x< 2)10、(2006湖北宜昌)如圖，點。是坐標(biāo)原點，點A(n,0)是x軸上一動點但0=以人0為一邊作矩形AOBC,點C在第二象限，且OB=2OA.矩形AOBC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得矩形AGDE.過點A的直線y=kx+m交y軸于點F,FB=FA.

29、拋物線y=ax2+bx+c過點E、F、G且和直線AF交于點H,過點H作HM，x軸，垂足為點M.(1)求k的值；(2)點A位置改變時，AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變？說明你的理由.解(1)根據(jù)題意得到：E(3n,0),G(n,n)當(dāng)x=0時，y=kx+m=m,，點F坐標(biāo)為(0,m),.RtAOF中，AF2=m2+n2,FB=AF,'''m?+n2=(-2nm)2,化簡彳導(dǎo):m=0.75n,對于y=kx+m,當(dāng)x=n時，y=0,0=kn-0.75n,k=0.75(2)二.拋物線y=ax2+bx+c過點E、F、G,一2一.0=9na+3nb+c2«n

30、=na+nb+c-0.75=c解得：a=,b=,c=-0.75n4n2，拋物線為y=x2x0.75n4n21 21y=x-x-0.75n解萬程組：4n2y=0.75x-0.75n得：x1=5n,y1=3n；x2=0,y2=0.75n.H坐標(biāo)是：(5n,3n),HM=3n,AM=n5n=4n,.AMH的面積=0.5XHMXAM=6n2;而矩形AOBC的面積=2n2,.AMH的面積：矩形AOBC的面積=3:1,不隨著點A的位置的改變而改變.11、(2006北京海淀)如圖，已知。O的直徑AB垂直于弦CD于E,連結(jié)AD、BD、OC、OD,且OD=5。(1)若sin/BAD=-,求CD的長；5(2)若/

31、ADO:ZEDO=4:1,求扇形OAC(的面積(結(jié)果保留兀)。解(1)因為AB是。O的直徑，OD=5所以/ADB=90°,AB=10BD在RtAABD中，Sin/BAD=AB又sin/BAD=-,所以=-,所以BD=65105AD=.AB2-BD2=102-62=8因為/ADB=90°,AB±CD所以DEAB=ADBD,CE=DE所以DE10=8624所以DE=一5一48所以CD=2DE=5(2)因為AB是。的直徑，ABLCDcccc所以CB=BD,AC=AD所以/BAD=/CDB,/AOC=/AOD因為AO=DO,所以/BAD=/ADO所以/CDB=/ADO設(shè)/

32、ADO=4x,則/CDB=4x由/ADO:/EDO=4:1,則/EDO=x因為/ADO+/EDO+ZEDB=90°所以4x4xx=90所以x=10所以/AOD=180°(/OAD+/ADO)=100所以/AOC=/AOD=100°S扇形OAC100 二 36052股二1811o12、(2006湖南長沙)如圖1,已知直線y=x與拋物線y=-x2+6交于A,B兩點.24(1)求A, B兩點的坐標(biāo)；(2)求線段AB的垂直平分線的解析式；(3)如圖2,取與線段AB等長的一根橡皮筋，端點分別固定在A B兩處.用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖 P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P將與A, B構(gòu)成無數(shù)個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在,求出最大面積，并指出此時P點二A(63,)B(42(2)作AB的垂直平分線交x軸，y軸于C, D兩點，交AB于M(如圖1)由(1)可知：OA=3%5 OB -2,