晶體幾何基礎

1、無機材料科學基礎濟南大學材料科學與工程學院1無機材料無機材料 2第第2章章 晶體幾何基礎晶體幾何基礎3無色水晶無色水晶4水晶晶簇水晶晶簇5黃黃 鐵鐵 礦礦石石 鹽鹽67Be3Al2(SiO3)6 8鉆石原石鉆石原石9金金 剛剛 石石1011石石 墨墨12螢螢 石石13142-1 晶體的基本概念與性質晶體的基本概念與性質一、一、 晶體的基本概念晶體的基本概念1、晶體的基本概念、晶體的基本概念 以以NaCl晶體為例晶體為例Cl Na0.563nm晶體：晶體：內部質點在三維空間按周期性重復排列的固體；內部質點在三維空間按周期性重復排列的固體； 或具有格子構造的固體。或具有格子構造的固體。152、空間

2、格子空間格子 等同點：性質相同，在晶體結構中占據相同的位置和具有等同點：性質相同，在晶體結構中占據相同的位置和具有 相同的環(huán)境的點。相同的環(huán)境的點。 NaCl晶體：晶體： 無論等同點取在何處，都構成面心立方格子。無論等同點取在何處，都構成面心立方格子。等同點在三維空間做周期性重復排列構成等同點在三維空間做周期性重復排列構成空間格子（或空間點陣）空間格子（或空間點陣）。ClNa16空間格子的要素：空間格子的要素： 結點結點空間格子中的等同點空間格子中的等同點 行列行列結點沿直線方向排列成為行列結點沿直線方向排列成為行列 結點間距結點間距相鄰兩結點之間的距離相鄰兩結點之間的距離 同一行列或平行行列

3、的結點間距相等同一行列或平行行列的結點間距相等 面網面網由結點在平面上分布構成由結點在平面上分布構成 任意兩個相交行列便可以構成一個面網任意兩個相交行列便可以構成一個面網A1 A2 A3 A417面網密度：面網上單位面積內的結點數目面網密度：面網上單位面積內的結點數目面網間距：兩個相鄰面網間的垂直距離，平行面網間距相等面網間距：兩個相鄰面網間的垂直距離，平行面網間距相等平行六面體：結點在三維空間的分布構成空間格子，是空間平行六面體：結點在三維空間的分布構成空間格子，是空間 格子的最小體積單位。格子的最小體積單位。18 1、自范（自限）性、自范（自限）性 晶體能晶體能自發(fā)自發(fā)地形成地形成封閉封閉

4、的的凸幾何多面體凸幾何多面體外形的特外形的特征。征。 二、晶體的基本性質二、晶體的基本性質192、均一性、均一性 晶體在任一晶體在任一部位部位上的結構和性質完全相同。上的結構和性質完全相同。20p 同一格子構造中，在不同的方向上質點排列一般是同一格子構造中，在不同的方向上質點排列一般是不一樣的，因此，晶體的性質也隨方向的不同而有所不一樣的，因此，晶體的性質也隨方向的不同而有所差異，這就是晶體的異向性。差異，這就是晶體的異向性。 非晶質體一般是具等向性的，其性質不應方向而有非晶質體一般是具等向性的，其性質不應方向而有所差異。所差異。 例如：例如： 藍晶石的不同方向上硬度不同。藍晶石的不同方向上硬

5、度不同。3、異向性：、異向性：214、對稱性：對稱性：同一晶體中，同一晶體中，晶體形態(tài)相同的幾個部分（或物晶體形態(tài)相同的幾個部分（或物理性質相同的幾個部分）有規(guī)律地重復出現。理性質相同的幾個部分）有規(guī)律地重復出現。例如下面的晶體形態(tài)是對稱的：例如下面的晶體形態(tài)是對稱的：225、最小內能性：最小內能性：在相同的熱力學條件下，晶體與同種物質的非晶質體、在相同的熱力學條件下，晶體與同種物質的非晶質體、液體、氣體相比較，其內能最小液體、氣體相比較，其內能最小 。思考：為什么晶體的內能最小思考：為什么晶體的內能最小穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：晶體由于有最小內能，因而結晶狀態(tài)是一個晶體由于有最小內能，因而結晶狀態(tài)是一

6、個相對穩(wěn)定的狀態(tài)，這就是晶體的穩(wěn)定性。非晶質體相對相對穩(wěn)定的狀態(tài)，這就是晶體的穩(wěn)定性。非晶質體相對于晶體而言是不穩(wěn)定的，有自發(fā)的向晶體轉變的趨勢。于晶體而言是不穩(wěn)定的，有自發(fā)的向晶體轉變的趨勢。 23思考題答案p所謂內能，包括質點的動能與勢能，動能不能直接比較物體間所謂內能，包括質點的動能與勢能，動能不能直接比較物體間內能的大小，可能用來比較內能大小的只有勢能，勢能取決于內能的大小，可能用來比較內能大小的只有勢能，勢能取決于質點間的距離與排列，晶體是具有格子的固體，其內部質點是質點間的距離與排列，晶體是具有格子的固體，其內部質點是作有規(guī)律的排列的，這種規(guī)律的排列是質點間的引力與斥力達作有規(guī)律的

7、排列的，這種規(guī)律的排列是質點間的引力與斥力達到平衡的結果，無論是質點間的距離增大或縮小都將導致質點到平衡的結果，無論是質點間的距離增大或縮小都將導致質點間相對勢能的增加。非晶質體、液體、氣體由于它們的內部質間相對勢能的增加。非晶質體、液體、氣體由于它們的內部質點的排列是不規(guī)律的，質點間的距離是不可能是平衡距離，從點的排列是不規(guī)律的，質點間的距離是不可能是平衡距離，從而它們的勢能也較晶體為大。所以在相同的熱力學條件下，它而它們的勢能也較晶體為大。所以在相同的熱力學條件下，它們的內能都較晶體為大。們的內能都較晶體為大。 24三、晶體與非晶體的區(qū)別三、晶體與非晶體的區(qū)別結構結構非晶體內部質點在三維空

8、間排列不規(guī)則，不具有非晶體內部質點在三維空間排列不規(guī)則，不具有 長程有序，不遵循晶體所共有的空間格子規(guī)律長程有序，不遵循晶體所共有的空間格子規(guī)律性質性質不具有晶體的上述基本性質不具有晶體的上述基本性質能量能量非晶體具有較高的內能，有自發(fā)轉變?yōu)榫w的趨勢非晶體具有較高的內能，有自發(fā)轉變?yōu)榫w的趨勢252-2 晶體的對稱與分類晶體的對稱與分類一、對稱的概念一、對稱的概念對稱對稱物體中相同部分之間的有規(guī)律重復物體中相同部分之間的有規(guī)律重復晶體對稱的特點：晶體對稱的特點：所有的晶體都是對稱的所有的晶體都是對稱的晶體的對稱是有限的，受到格子構造的嚴格控制晶體的對稱是有限的，受到格子構造的嚴格控制晶體在各

9、種物理和化學性質上也是對稱的晶體在各種物理和化學性質上也是對稱的26二、晶體的宏觀對稱要素和對稱操作二、晶體的宏觀對稱要素和對稱操作 對稱操作（對稱變換）：能使對稱物體中各相同部分作有規(guī)對稱操作（對稱變換）：能使對稱物體中各相同部分作有規(guī) 律重復的動作律重復的動作對稱要素：在進行對稱操作時所憑借的幾何要素：對稱要素：在進行對稱操作時所憑借的幾何要素： 點、線、面點、線、面27操作類型操作類型對稱操作對稱操作假想的輔助幾何要素假想的輔助幾何要素對稱要素對稱要素 簡單簡單反伸（倒反）反伸（倒反）點點對稱中心對稱中心反映反映面面對稱面對稱面旋轉旋轉線線對稱軸對稱軸 復雜復雜旋轉旋轉+反伸反伸線和線上

10、的定點線和線上的定點旋轉反伸軸旋轉反伸軸旋轉旋轉+反映反映線和垂直于線的平面線和垂直于線的平面旋轉反映軸旋轉反映軸晶體的宏觀對稱操作與對稱要素晶體的宏觀對稱操作與對稱要素281 1、對稱中心（、對稱中心（C C）：）：一個假想的幾何點，在通過該點的任意直一個假想的幾何點，在通過該點的任意直 線的兩端可以找到與其等距離的點線的兩端可以找到與其等距離的點 對應的對稱操作：對此點的對應的對稱操作：對此點的反伸（倒反）反伸（倒反）C 一個晶體中可以有對稱中心，也可以沒有對稱中心；如果有對一個晶體中可以有對稱中心，也可以沒有對稱中心；如果有對稱中心，那么只能有一個，且位于晶體的幾何中心。稱中心，那么只能

11、有一個，且位于晶體的幾何中心。 292 、對稱面（、對稱面（P）：）：一個假想的平面，它能將晶體分成一個假想的平面，它能將晶體分成 互成鏡像反映的兩個相同部分互成鏡像反映的兩個相同部分 B2B1B4B3B2B1B4B3A2A1A4A3A2A1A4A3對應的對稱操作：對此面的對應的對稱操作：對此面的反映反映A2A1A4A3A2A1A4A330 一個晶體中可以有對稱面，也可以沒有對稱面；可以有一個晶體中可以有對稱面，也可以沒有對稱面；可以有一個，也可以有多個，但最多不能超過一個，也可以有多個，但最多不能超過9個。個。1P 5P313 、對稱軸（、對稱軸（Ln）：）：通過晶體中心的一條假想的直線，繞

12、這通過晶體中心的一條假想的直線，繞這 條直線旋轉一定的角度后，能使圖形相條直線旋轉一定的角度后，能使圖形相 同的部分重復出現同的部分重復出現 對應的對稱操作：繞對稱軸的對應的對稱操作：繞對稱軸的旋轉旋轉 軸次（軸次（n）：旋轉一周重復的次數）：旋轉一周重復的次數 基轉角（基轉角（ ）：）：重復時所旋轉的最小角度重復時所旋轉的最小角度 n與與 之間的關系：之間的關系：/360n 32 一次軸一次軸 二次軸二次軸 三次軸三次軸 四次軸四次軸 六次軸六次軸 符符號號 L1 L2 L3 L4 L6 國際符號國際符號 1 2 3 4 6 軸次軸次 1 2 3 4 6 基轉角基轉角 3600 1800 1

13、200 900 600 圖圖形形 一個晶體中可以沒有對稱一個晶體中可以沒有對稱軸軸，也可以也可以同時有同時有幾種對稱幾種對稱軸軸。3334p四方柱中的對稱軸四方柱中的對稱軸 垂直方向：垂直方向：1個個L4 水平方向：水平方向：4個個L2 354 、旋轉反伸軸、旋轉反伸軸倒轉軸（倒轉軸（Lin）：）： 一種復合對稱要素（由兩個幾何要素構成），由一條假想的一種復合對稱要素（由兩個幾何要素構成），由一條假想的直線和直線上的一個點組成。直線和直線上的一個點組成。 相應的對稱操作：圍繞此直線旋轉和對此直線上的一個相應的對稱操作：圍繞此直線旋轉和對此直線上的一個 點反伸的點反伸的復合操作復合操作。 倒轉軸

14、倒轉軸 Li1 Li2 Li3 Li4 Li6國際符號國際符號 等效關系等效關系 Li1=C Li2=P Li3= L3+C 獨立獨立 Li6=L3+P 只有只有Li4是獨立的；是獨立的；Li6雖然等效于雖然等效于L3+P，但由于提高了軸次，但由于提高了軸次，一般不用（一般不用（L3+P）代替它。）代替它。36ABCDp四次旋轉反伸軸四次旋轉反伸軸 4iL4iL37p六次旋轉反伸軸六次旋轉反伸軸6iL6iL三方柱三方柱385 、旋轉反映軸、旋轉反映軸映轉軸（映轉軸（Lsn） 映轉軸由一根假想的直線和垂直于直線的一個平面構映轉軸由一根假想的直線和垂直于直線的一個平面構成，即圖形繞此直線旋轉一定角

15、度后并對此平面進行反映成，即圖形繞此直線旋轉一定角度后并對此平面進行反映后，相同部分重復出現。后，相同部分重復出現。 旋轉反映軸有：旋轉反映軸有：L1s、L2s、L3s、L4s、L6s。 映轉軸可以由等效的倒轉軸代替，所以一般不用。映轉軸可以由等效的倒轉軸代替，所以一般不用。39三、對稱要素的組合及對稱型三、對稱要素的組合及對稱型1 、對稱要素的組合定律：、對稱要素的組合定律：（1）在晶體中若有一個）在晶體中若有一個L2垂直于垂直于Ln，則必然有則必然有n個個L2垂直垂直 于于Ln ，且任意兩個相鄰的且任意兩個相鄰的L2的交角為：的交角為：3600 /2n 簡式：簡式：L2Ln Ln n L2

16、 。40 L2L3L33L2 逆定理：如果有逆定理：如果有2個個L2以以 角相交，則過兩者交點的垂線角相交，則過兩者交點的垂線 必為必為1個個Ln，且軸次為且軸次為 ：n= 3600 /2 簡式：簡式：L2L2Ln L3L241（2）如果有一個對稱面如果有一個對稱面P包含包含Ln，則必有則必有n個對稱面?zhèn)€對稱面P 同時包含同時包含Ln，且任意兩個相鄰的對稱面且任意兩個相鄰的對稱面 P的交角的交角 為：為：3600 /2n。 簡式：簡式：PLnLnnPL3L4PL4L44PPL3L33P42逆定理：逆定理： 如果有如果有2個對稱面?zhèn)€對稱面P以以 角相交，則兩者之交線必為角相交，則兩者之交線必為1

17、個個Ln，且軸次為且軸次為：n=3600/2 。 簡式：簡式：PPLn43（3）如果有如果有1個偶次對稱軸個偶次對稱軸Ln與對稱中心共存時，則過對與對稱中心共存時，則過對 稱中心稱中心C，且垂直于此且垂直于此Ln的平面必為的平面必為1個對稱面。個對稱面。 簡式：簡式：LnCLnPC （n為偶數為偶數）44逆定理：逆定理： 如果有如果有1個偶次對稱軸個偶次對稱軸Ln垂直于對稱面垂直于對稱面P時，則在其交點時，則在其交點必存在對稱中心必存在對稱中心C；反之，如果有反之，如果有1個對稱面?zhèn)€對稱面P和對稱中心和對稱中心C共存時，則過共存時，則過C且垂直于且垂直于P的直線必為的直線必為1個偶次軸個偶次軸

18、Ln 。 簡式：簡式： LnPLnPC （ PLn ，n為偶數）為偶數） PCLnPC （ n為偶數為偶數）45（4）在晶體中，若有一個二次軸）在晶體中，若有一個二次軸L2垂直于垂直于Lin（或有一個對稱面或有一個對稱面P包含包含Lin），），當當n為奇數時必有為奇數時必有n個個L2垂直垂直Lin和和n個個P包含包含Lin；當當n為偶數時，必有為偶數時，必有n/2個個L2和和n/2個個P包含包含Lin。 簡式：簡式： LinL2=LinPLinnL2nP （n為奇數為奇數） LinL2=LinPLinn/2L2n/2P （n為偶數為偶數）Li6 Li446逆定理：逆定理： 如果有如果有1個二次

19、軸個二次軸L2與與1個個對稱面對稱面P斜交，斜交，P的法線與的法線與L2的的交角為交角為 ，則平行，則平行P且垂直于且垂直于L2的直線必為的直線必為Lin。n=3600/2 。 簡式：簡式：L2P=P=Lin47（5）如果有兩根軸次分別為）如果有兩根軸次分別為n和和m的對稱軸以的對稱軸以 角相交，則圍繞角相交，則圍繞Ln的必定有的必定有n個共點并呈對稱分布的個共點并呈對稱分布的Lm；同時，同時，Lm周圍必有周圍必有m個個共點并呈對稱分布的共點并呈對稱分布的Ln；且任意兩個相鄰的且任意兩個相鄰的Ln 和和Lm之間之間的夾角均為的夾角均為 。（6）在結晶多面體上所有對稱要素必有一個共同點。）在結晶

20、多面體上所有對稱要素必有一個共同點。立方體：立方體：3L44L3 每個每個L4周圍有周圍有4個個L3 每個每個L3周圍有周圍有3個個L4482、對稱型（點群）、對稱型（點群） 對稱型：一個晶體中全部宏觀對稱要素的集合。對稱型：一個晶體中全部宏觀對稱要素的集合。 它包含了晶體中全部對稱要素的總和以及它們相互間的組它包含了晶體中全部對稱要素的總和以及它們相互間的組合關系。由于在晶體中所有的宏觀對稱要素都相交于一個點合關系。由于在晶體中所有的宏觀對稱要素都相交于一個點（晶體的中心），故對稱型也稱為（晶體的中心），故對稱型也稱為點群點群。四方柱：四方柱：L44L25PC49 立方體：立方體：3L44L

21、36L29PC 對稱型寫法：對稱型寫法：先寫高次軸，后寫低次軸，再寫對稱面，最后先寫高次軸，后寫低次軸，再寫對稱面，最后寫對稱中心。晶體外形上的對稱型共有寫對稱中心。晶體外形上的對稱型共有32種。種。5P4P502-3 晶體的分類晶體的分類根據晶體的對稱特點進行分類。根據晶體的對稱特點進行分類。分類方法：分類方法：（1）將屬于同一對稱型的所有晶體歸為一類，稱為）將屬于同一對稱型的所有晶體歸為一類，稱為晶類晶類。 共有共有32個晶類。個晶類。（2）根據晶體對稱型中是否存在高次軸及其數目將晶體劃）根據晶體對稱型中是否存在高次軸及其數目將晶體劃 分成分成3個個晶族晶族。 高級晶族：高次軸（高級晶族：

22、高次軸（n n2 2）多于一個。多于一個。 中級晶族：高次軸只有一個。中級晶族：高次軸只有一個。 低級晶族：低級晶族：無高次軸。無高次軸。（3）每一個晶族再根據對稱特點分成若干個）每一個晶族再根據對稱特點分成若干個晶系晶系。51晶體的分類晶體的分類 晶晶 族族晶晶 系系對稱特點對稱特點實實 例例低級低級三斜三斜無無L2和和P鈣長石鈣長石C單斜單斜L2和和P均不多于一個均不多于一個石膏石膏L2PC斜方斜方L2和和P的總數不多于三個的總數不多于三個重晶石重晶石3L23PC 中級中級三方三方唯一的高次軸為三次軸唯一的高次軸為三次軸方解石方解石L33L23PC四方四方唯一的高次軸為四次軸唯一的高次軸為

23、四次軸鋯石鋯石L44L25PC六方六方唯一的高次軸為六次軸唯一的高次軸為六次軸磷灰石磷灰石L6PC高級高級等軸等軸必定有四個必定有四個L3方銅礦方銅礦3L44L36L29PC52533031323334353637383940303132333435363738394050100150200250300GDB? ? ? d=31nm 350oC 300oC 250oC2Theta/degreeIntensity3035404550556005001000150020002500300035004000450050005500600065007000750080008500(004)(101)(

24、100)(002)Intensity/a.u.2Theta/degree B1 B2 B354 晶體定向包含兩方面內容：選擇坐標軸（晶軸）；確定晶體定向包含兩方面內容：選擇坐標軸（晶軸）；確定晶軸上的單位長度（軸單位）。晶軸上的單位長度（軸單位）。2-4 晶體定向和結晶符號晶體定向和結晶符號三軸定向：三軸定向：x(a)、y(b)、z(c)軸軸四軸定向：四軸定向：x(a)、y(b)、z(c)、u(d)軸軸一、晶體定向一、晶體定向55坐標軸的交點位于晶體中心坐標軸的交點位于晶體中心三軸定向各軸方向；三軸定向各軸方向；四軸定向各軸方向；四軸定向各軸方向；四軸定向主要用于三方四軸定向主要用于三方、六方

25、晶系。、六方晶系。軸角軸角每兩個坐標軸之間的交角，通常用每兩個坐標軸之間的交角，通常用、表表示。示。X(a)Y(b)Z(c)三軸定向三軸定向Y(b)X(a)u(d) Z(c)四軸定向四軸定向561、選擇晶軸應遵守的原則：、選擇晶軸應遵守的原則： (1)首先要選擇對稱軸和對稱面法線的方向；若沒有對稱軸和首先要選擇對稱軸和對稱面法線的方向；若沒有對稱軸和對稱面，則選擇平行晶棱的方向。對稱面，則選擇平行晶棱的方向。 (2)在在(1)的基礎上，盡可能使晶軸垂直或趨近于垂直，并使軸的基礎上，盡可能使晶軸垂直或趨近于垂直，并使軸單位趨近于相等，即單位趨近于相等，即=900，a=b=c。 對于不同晶系的晶體

26、，晶軸的具體選擇方法不同。對于不同晶系的晶體，晶軸的具體選擇方法不同。實際上實際上是行列方向。是行列方向。2、軸單位、軸單位 軸單位就是在結晶軸上作為長度計量單位的線段。但一般軸單位就是在結晶軸上作為長度計量單位的線段。但一般不需要知道三個軸單位的絕對長度，只需求得三個軸單位之不需要知道三個軸單位的絕對長度，只需求得三個軸單位之間的比值即可。間的比值即可。不同行列方向上的結點間距之比。不同行列方向上的結點間距之比。 軸率軸率a、b、c軸的軸單位的比（軸的軸單位的比（a:b:c） 晶體幾何常數晶體幾何常數軸率軸率a:b:c和軸角和軸角、合稱。合稱。573 、整數定律、整數定律 （法國（法國 阿羽

27、依）阿羽依） 若以平行于三根不共面晶棱的直線為坐標軸，則晶體上任若以平行于三根不共面晶棱的直線為坐標軸，則晶體上任意兩個晶面在三個坐標軸上截距的意兩個晶面在三個坐標軸上截距的比值之比比值之比為一簡單整數比，為一簡單整數比，e:f:ge:f:g。yxz9:2:122c3c:3bb:1a2a58晶系晶系晶體幾何常數晶體幾何常數晶軸的選擇晶軸的選擇等軸晶系等軸晶系90以相鄰的以相鄰的3個互相垂直的棱或者個互相垂直的棱或者3個個L4為為a 、 b 、 c 軸；軸；a : b : c=1:1:1四方晶系四方晶系 90以唯一的以唯一的 L4為為c 軸，軸， 2條與其垂直的條與其垂直的L2為為a 、b軸軸；

28、軸率為；軸率為a : c，可大于或小于，可大于或小于1正交晶系正交晶系 90 3個互相垂直的個互相垂直的 L2 為為a 、 b 、 c 軸；或以唯軸；或以唯一的一的L2為為c軸；軸率軸；軸率a : b : c為任意值為任意值單斜晶系單斜晶系90， 90 以以L2或或P的法線為的法線為 b 軸，軸，2 條垂直于條垂直于 b 軸的軸的晶棱方向為晶棱方向為a 、c 軸。軸。三斜晶系三斜晶系，90o，90o以任意三條晶棱方向或角頂連線為以任意三條晶棱方向或角頂連線為a 、 b 、 c 軸軸六方晶系六方晶系= d 90，120以唯一的以唯一的 L6或或 Li6 為為c 軸，垂直于軸，垂直于 c 軸的軸的

29、 3 條條L2為為a 、b 、d 軸軸三方晶系三方晶系90以唯一的以唯一的 L3為為c 軸，垂直于軸，垂直于 c 軸的軸的 3 條條L2為為a 、b 、d 軸軸二、各晶系晶體的定向法則二、各晶系晶體的定向法則59結晶符號：結晶符號：表示晶面、晶棱等在晶體上方位的簡單的數字符號。表示晶面、晶棱等在晶體上方位的簡單的數字符號。1、晶面符號晶面符號 表示晶面在空間中方位的符號，一般用米勒符號。三軸定向通式為表示晶面在空間中方位的符號，一般用米勒符號。三軸定向通式為(hkl)，四軸定向通式為四軸定向通式為(hkil), 且且 h+k+i=0。 確定晶面符號的步驟：確定晶面符號的步驟： 選定以晶軸選定以

30、晶軸x x、y y、z z為坐標軸的坐標系，要求坐標原點不在待為坐標軸的坐標系，要求坐標原點不在待標晶面上，各軸單位分別是單位晶胞邊長標晶面上，各軸單位分別是單位晶胞邊長a a、b b、c c； 求出待標晶面在求出待標晶面在x x、y y、z z軸上的截距軸上的截距papa、qbqb、rc,rc,則截距系數分則截距系數分別為別為p p、q q和和r r；三三、結晶符號、結晶符號60 取截距系數的倒數比，并化簡。即：取截距系數的倒數比，并化簡。即： 1/ 1/p:1/q:1/r=h:k:l p:1/q:1/r=h:k:l （h:k:lh:k:l應為簡單整數比）應為簡單整數比） 去掉比例符號，以小

31、括號括之，寫成（去掉比例符號，以小括號括之，寫成（hklhkl）, ,即為待標定晶面的米勒符即為待標定晶面的米勒符號。號。 h h、k k、l l為晶面指數。為晶面指數。晶面符號晶面符號 (332)yxz2:3:331:21:2161 可以看出，晶面在晶軸上的截距系數愈大其晶面符號中可以看出，晶面在晶軸上的截距系數愈大其晶面符號中與該軸相應的米氏指數愈小。當晶面平行于某坐標軸時，其與該軸相應的米氏指數愈小。當晶面平行于某坐標軸時，其晶面符號中的米氏指數為晶面符號中的米氏指數為0 0。(010)（001）（001）(010)(100)(100)立方體各晶面的晶面符號立方體各晶面的晶面符號6210

32、00（0001）010)1(10)1(0六方柱后面三個晶面的晶面符號六方柱后面三個晶面的晶面符號:100)1(x yzu晶面符號晶面符號1:) 1( :0:111:)11( :1:11) 1110(1100)(0110)（1010）63晶向符號：用簡單數字符號來表達晶棱或者其他直線（如晶向符號：用簡單數字符號來表達晶棱或者其他直線（如 坐標軸）在晶體上的方向的結晶學符號。坐標軸）在晶體上的方向的結晶學符號。 也用也用Miller指數表示。指數表示。三軸定向通式為三軸定向通式為uvw，四軸定向通式為四軸定向通式為uvtw，且且u+v+t=0晶晶向向符號的確定步驟：符號的確定步驟： 選定坐標系，以

33、晶軸選定坐標系，以晶軸x x、y y、z z為坐標軸，各軸單位分別是晶胞邊長為坐標軸，各軸單位分別是晶胞邊長a a、b b和和c c； 通過原點作一直線，使其平行于待標定晶向通過原點作一直線，使其平行于待標定晶向ABAB； 在直線上任取一點在直線上任取一點P P，求出求出P P點在坐標軸上的坐標點在坐標軸上的坐標x xa a、y yb b、z zc c； x xa a/a:y/a:yb b/b:z/b:zc c/c=u:v:w/c=u:v:w應為整數比，去掉比號，以方括號括之，寫應為整數比，去掉比號，以方括號括之，寫成成 uvwuvw即晶向即晶向ABAB的晶向符號。的晶向符號。2 、晶向符號晶

34、向符號(晶棱符號晶棱符號)64 在立方晶系中，晶向指數與晶面指數相同時，則晶面與在立方晶系中，晶向指數與晶面指數相同時，則晶面與晶向垂直。不同晶面與晶向具有不同的原子密度，因而晶體晶向垂直。不同晶面與晶向具有不同的原子密度，因而晶體在不同方向上表現出不同的性質。在不同方向上表現出不同的性質。ABCO111晶向垂直于（晶向垂直于（111）面）面OA晶向晶向:120OB晶向晶向:103OC晶向晶向:12365 劃分劃分單位單位平行六面體的四條原則平行六面體的四條原則 : (1) 所選平行六面體的對稱性應符合整個空間點陣的對稱性。所選平行六面體的對稱性應符合整個空間點陣的對稱性。 (2) 在不違反對

35、稱的條件下，應選擇棱與棱之間的直角關系為最在不違反對稱的條件下，應選擇棱與棱之間的直角關系為最多的平行六面體。多的平行六面體。 (3) 在遵循前兩條的前提下，所選的平行六面體之體積應為最小。在遵循前兩條的前提下，所選的平行六面體之體積應為最小。 (4) 當對稱性規(guī)定棱間交角不為直角時，在遵循前三條的前提下，當對稱性規(guī)定棱間交角不為直角時，在遵循前三條的前提下，應選擇結點間距小的行列作為平行六面體的棱，且棱間交角接近于直應選擇結點間距小的行列作為平行六面體的棱，且棱間交角接近于直角的平行六面體。角的平行六面體。2-6 晶體結構的基本特征晶體結構的基本特征一、單位平行六面體的劃分一、單位平行六面體

36、的劃分66平面點陣劃分平行四邊形的幾種不同方式：平面點陣劃分平行四邊形的幾種不同方式： 在空間格子中，按選擇原則選取的平行六面體稱為在空間格子中，按選擇原則選取的平行六面體稱為單位平行六面體單位平行六面體。它的。它的三根棱長三根棱長 a、b、c 以及三者相互間的夾角以及三者相互間的夾角、是表征其形狀和大小的一是表征其形狀和大小的一組參數，稱為組參數，稱為單位平行六面體參數單位平行六面體參數或或點陣參數點陣參數。 單位平行六面體參數和晶體幾何常數是一致的。單位平行六面體參數和晶體幾何常數是一致的。67(1)(1)等軸晶系：對應于等軸晶系的空間格子是一個立方格子；其單位平行六面等軸晶系：對應于等軸

37、晶系的空間格子是一個立方格子；其單位平行六面體是一個立方體。單位平行六面體參數為：體是一個立方體。單位平行六面體參數為： a0=b0=c0，=90=900 0(2)(2)四方晶系：對應于四方晶系的空間格子是四方格子，單位平行六面體是橫四方晶系：對應于四方晶系的空間格子是四方格子，單位平行六面體是橫截面為正方形的四方柱。規(guī)定柱面交的棱為截面為正方形的四方柱。規(guī)定柱面交的棱為c0，單位平行六面體參數為：單位平行六面體參數為： a0=b0c0，=90=900 0(3)(3)正交晶系：對應于正交晶系的空間格子是一個正交格子，單位平行六面體正交晶系：對應于正交晶系的空間格子是一個正交格子，單位平行六面體

38、為長、寬、高都不等的長方體。位平行六面體參數為：為長、寬、高都不等的長方體。位平行六面體參數為： a0b0c0，=90=900 0(4)(4)單斜晶系：對應于單斜晶系的空間格子是單斜格子。單位平行六面體的三單斜晶系：對應于單斜晶系的空間格子是單斜格子。單位平行六面體的三對面中有兩對是矩形，另一對是非矩形。對面中有兩對是矩形，另一對是非矩形。單位平行六面體參數：單位平行六面體參數： a0b0c0，=90=900 0，90900 0對應于七個晶系的單位平行六面體類型對應于七個晶系的單位平行六面體類型68（5 5）三斜晶系：對應于三斜晶系的空間格子是三斜格子。單位平行六面）三斜晶系：對應于三斜晶系的

39、空間格子是三斜格子。單位平行六面體是三條棱不相等，三對面相互間不垂直斜平行六面體。體是三條棱不相等，三對面相互間不垂直斜平行六面體。單位平行六單位平行六面體參數為：面體參數為： a0b0c0，90900 0（6 6）六方晶系：對應于六方晶系的空間格子是六方格子。單位平行六面）六方晶系：對應于六方晶系的空間格子是六方格子。單位平行六面體底面為菱形（菱形交角為體底面為菱形（菱形交角為 60 600 0 和和1201200 0）柱體。）柱體。單位平行六面體參數單位平行六面體參數為：為： a0b0c0，=90=900 0 ，=120=1200 0（7 7）三方晶系：對應于三方晶系的空間格子是三方格子。

40、單位平行六面）三方晶系：對應于三方晶系的空間格子是三方格子。單位平行六面體的形式與六方格子相同。體的形式與六方格子相同。 對應于三方晶系的另一種格子是菱面體格子。對應于三方晶系的另一種格子是菱面體格子。單位平行六面體參數單位平行六面體參數為：為： a0=b0=c0，=90=900 0、60600 0、1091090 028162816 若軸角等于若軸角等于90900 0、60600 0、1091090 028162816，那么菱面體的對成性就會提，那么菱面體的對成性就會提高，成為立方格子的對稱。高，成為立方格子的對稱。69原始格子（原始格子（P）：）：結點都分布在平行六面體的角頂上。結點都分布

41、在平行六面體的角頂上。體心格子（體心格子（I）：）：在平行六面體的中心還有一個結點。在平行六面體的中心還有一個結點。面心格子（面心格子（F）：）：在單位平行六面體所有三對面的中心都有在單位平行六面體所有三對面的中心都有 結點的空間格子。結點的空間格子。底心格子（底心格子（C）：）：在單位平行六面體某一對面的中心各有在單位平行六面體某一對面的中心各有 一個結點的空間格子。一個結點的空間格子。 三斜三斜 單斜單斜 正交正交 三方三方 四方四方 六方六方 等軸等軸P R P R I I F F C C 布拉維格子是空間格子的基本組成單位，知道了格子的形式和單位布拉維格子是空間格子的基本組成單位，知道

42、了格子的形式和單位平行六面體的參數，就能確定整個空間格子的一切特征。平行六面體的參數，就能確定整個空間格子的一切特征。二二、十四種布拉維格子十四種布拉維格子70晶胞：能充分反映整個晶體結構特征最小結構單位。晶胞：能充分反映整個晶體結構特征最小結構單位。晶胞參數：表征晶胞形狀和大小的一組參數（晶胞參數：表征晶胞形狀和大小的一組參數（a0、b0、c0，、）晶胞與單位平行六面體的關系：晶胞與單位平行六面體的關系： (1)晶胞與相應的單位平行六面體是同形等大的；晶胞與相應的單位平行六面體是同形等大的； (2)晶胞是由實在的具體質點組成的，單位平行六面體是由不晶胞是由實在的具體質點組成的，單位平行六面體

43、是由不具有任何物理具有任何物理、化學特性的幾何點構成的。、化學特性的幾何點構成的。NaCl的面心立方格子的面心立方格子NaCl的晶胞的晶胞三三、晶胞的概念晶胞的概念71宏觀晶體中的對稱要素：晶體宏觀晶體中的對稱要素：晶體外形外形上的對稱，是上的對稱，是有限圖形有限圖形的對稱：的對稱：對稱中心、對稱面、對稱軸、倒轉軸；個數是有限的，而且全對稱中心、對稱面、對稱軸、倒轉軸；個數是有限的，而且全部對稱要素都部對稱要素都交于一點交于一點，叫，叫點群點群；微觀對稱要素：晶體的對稱就是微觀對稱要素：晶體的對稱就是無限個圖形無限個圖形的對稱。的對稱。晶體微觀對稱的特點：晶體微觀對稱的特點： 1、在晶體構造中

44、，任何一個對稱要素都有、在晶體構造中，任何一個對稱要素都有無數多個無數多個和它和它 相同相同的對稱要素，它們在空間中按空間格子規(guī)律互相的對稱要素，它們在空間中按空間格子規(guī)律互相平行排列平行排列著，著，不僅具有方向性，而且還有嚴格的位置；不僅具有方向性，而且還有嚴格的位置； 2、微觀對稱操作中出現了宏觀上不可能有的一種對稱操作、微觀對稱操作中出現了宏觀上不可能有的一種對稱操作平移操作平移操作； 3、若平移距離為零，則微觀對稱要素就變?yōu)橥愋腿羝揭凭嚯x為零，則微觀對稱要素就變?yōu)橥愋偷暮暧^對的宏觀對稱要素。如：滑移面稱要素。如：滑移面對稱面，螺旋軸對稱面，螺旋軸 對稱軸。對稱軸。四四、晶體的微觀對

45、稱要素晶體的微觀對稱要素724、微觀對稱要素、微觀對稱要素不可能交于一點不可能交于一點，因此晶體構造中對稱要素的，因此晶體構造中對稱要素的組合叫組合叫空間群空間群。 平移軸平移軸 平移平移 微觀對稱要素微觀對稱要素 像移面像移面 反映反映+平移平移 螺旋軸螺旋軸 旋轉旋轉+平移平移 平移軸平移軸晶體構造中一條假想的直線，晶體構造沿這條直線移晶體構造中一條假想的直線，晶體構造沿這條直線移動一定距離，可使整個圖形復原。動一定距離，可使整個圖形復原。 像移面像移面兩個輔助要素：一個假想的平面和平行于此平面的直兩個輔助要素：一個假想的平面和平行于此平面的直線；經過對稱變換后整個構造自相重合。線；經過對

46、稱變換后整個構造自相重合。 五種：五種： a、b、c、n（對角線）（對角線）、d（金剛石）。（金剛石）。73螺旋軸螺旋軸輔助幾何要素：一條假想的直線和與之平行的直輔助幾何要素：一條假想的直線和與之平行的直 線方向；對稱變換后相同質點重復，整個構造重線方向；對稱變換后相同質點重復，整個構造重 合。合。 11種：種：21、 31、32、41、 42、 43、 61、 62、 63、 64、65 如如31表示質點繞軸右旋（逆時針）表示質點繞軸右旋（逆時針）1200后，再沿軸方后，再沿軸方向平移向平移1/3個結點間距。個結點間距。Tns平移間距：平移間距：T螺旋軸方向行列的結點間距；螺旋軸方向行列的結

47、點間距；n軸次，大自然數；軸次，大自然數；s右下角標。右下角標。分為左旋和右旋兩種方式，分為左旋和右旋兩種方式，P1974晶體結構中可能出現的微觀對稱要素晶體結構中可能出現的微觀對稱要素類型名稱國際符號平移軸平移格子P、C、I、F軸對稱要素對稱軸倒轉軸螺旋軸1（=平移格子）、2、3、4、6 (=對稱中心)、 (=m)、=(3+ )、 、 (=3+m)21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65面對稱要素對稱面像移面ma、b、c、n、d12314675五五、空間群的概念、空間群的概念 在一個晶體結構中所存在的一切對稱要素（宏觀和微觀）在一個晶體結構中所存在的一切對稱要素（宏觀

48、和微觀）的集合。的集合。 晶體構造的空間群共有晶體構造的空間群共有230種。種。76 金屬鍵金屬鍵 無方向性和飽和性無方向性和飽和性化學鍵化學鍵 離子鍵離子鍵 無方向性和飽和性無方向性和飽和性 共價鍵共價鍵 有方向性和飽和性有方向性和飽和性2-7 晶體化學基本原理晶體化學基本原理 Van der Waals鍵：分子偶極距之間的作用力。包括：取向鍵：分子偶極距之間的作用力。包括：取向力、誘導力、色散力。無方向性和飽和性。力、誘導力、色散力。無方向性和飽和性。 氫鍵氫鍵 有方向性和飽和性有方向性和飽和性 純粹離子鍵、共價鍵或分子鍵結合的晶體很少，多數晶體都純粹離子鍵、共價鍵或分子鍵結合的晶體很少，

49、多數晶體都是幾種鍵型同時存在，有的還存在著離子鍵向共價鍵過渡的過渡是幾種鍵型同時存在，有的還存在著離子鍵向共價鍵過渡的過渡鍵型。鍵型。一、晶體中鍵的形式一、晶體中鍵的形式77 原子結構示意圖原子結構示意圖78Formation of an ionic bond between sodium and chlorine in which the effect of ionization on atomic radius is illustrated.The cation(Na+) becomes smaller than the neutral atom(Na), while the anion

50、(Cl-)becomes larger than the neutral atom(Cl) Fig. Formation of an ionic bond between sodium and chlorine .離子鍵示意圖離子鍵示意圖79Fig. Covalent bonding.共價鍵示意圖共價鍵示意圖80The covalent bond in a molecule of chilorine gas, Cl2, is illustrated with (a) a planetary model compared with (b) the actual electron density

51、and (c) an schematicFig. The covalent bond in a molecule of chlorine gas Cl2.分子共價鍵示意圖分子共價鍵示意圖81(a) An ethylene molecule (C2H4) is compared with (b) a polyethylene molecule-(C2H4-)n that results from the conversion of the C=C double bond into two C-C single bondsFig. An ethylene molecule82Two-dimensi

52、onal schematic representation of the “spaghetti-like” structure of solid polyethylene.Fig. Two- dimensional schematic representation of the spaghetti-like structure of solid polyethylene83Fig. Metallic bond.金屬鍵示意圖金屬鍵示意圖84Fig. Metallic bond and electron cloud85Fig. Hydrogen bonds.氫鍵示意圖氫鍵示意圖86Fig. Van

53、 der Waals Bond 范德華鍵示意圖范德華鍵示意圖87二、原子半徑和離子半徑二、原子半徑和離子半徑有效半徑：離子或原子在晶體結構中處于相接觸時的半徑。有效半徑：離子或原子在晶體結構中處于相接觸時的半徑。注意：注意： 1 1、離子半徑只具有不確切的定義（、離子半徑只具有不確切的定義（極化影響極化影響）；）； 2 2、同一離子在不同類型的結構中離子的半徑是不同的（、同一離子在不同類型的結構中離子的半徑是不同的（配位影配位影響響）；）； 3 3、不同學者推導出的離子半徑數值是有差別的（、不同學者推導出的離子半徑數值是有差別的（ShannonShannon）88三、球體緊密堆積原理三、球體緊

54、密堆積原理 金屬鍵和離子鍵金屬鍵和離子鍵沒有方向性和飽和性沒有方向性和飽和性，從幾何角度來看，從幾何角度來看，金屬原子和離子之間相互結合，可看成是球體間的相互堆積。金屬原子和離子之間相互結合，可看成是球體間的相互堆積。晶體的晶體的最小內能性最小內能性決定了原子和離子間結合時，處于引力和斥決定了原子和離子間結合時，處于引力和斥力平衡狀態(tài)，也就是說球體間要作最緊密堆積。力平衡狀態(tài)，也就是說球體間要作最緊密堆積。1、等徑球體的密堆積、等徑球體的密堆積 兩種：六方最緊密堆積；兩種：六方最緊密堆積；立方最緊密堆積立方最緊密堆積最緊密堆積最緊密堆積89等徑球體的最緊密堆積等徑球體的最緊密堆積六方密堆積：六

55、方密堆積：ABABAB 密排面密排面(0001)金屬鋨、銥等金屬鋨、銥等90立方密堆積：立方密堆積：ABCABCABC 密排面密排面（111）金屬金屬Cu、鉑等、鉑等91最緊密堆積中的空隙最緊密堆積中的空隙 四面體空隙：四個球圍成的空隙四面體空隙：四個球圍成的空隙 八面體空隙：六個球圍成的空隙八面體空隙：六個球圍成的空隙92八面體空隙八面體空隙四面體空隙四面體空隙緊密堆積中球數和兩種空隙數量之間的關系：緊密堆積中球數和兩種空隙數量之間的關系： 一個球周圍有一個球周圍有8個四面體空隙，個四面體空隙，6個八面體空隙；個八面體空隙； 屬于一個球的四面體空隙有：屬于一個球的四面體空隙有：81/4=2個

56、，八面體空個，八面體空隙有：隙有：61/6=1個。個。 若有若有n個等大球體作最緊密堆積，就必定有個等大球體作最緊密堆積，就必定有n個八面體空隙和個八面體空隙和2n個四面體空隙。個四面體空隙。93 F=F=晶胞中球的總體積晶胞中球的總體積/ /晶胞體積晶胞體積以立方密堆積為例，以立方密堆積為例，設球的半徑為設球的半徑為R R晶胞中球的總體積：晶胞中球的總體積： 屬于該晶胞的球的個數：屬于該晶胞的球的個數： 8 81/8+61/8+61/2=41/2=4 球的總體積：球的總體積： V V= =4/34/3 RR緊密堆積中的空間利用率（堆積系數）緊密堆積中的空間利用率（堆積系數）F：94晶胞體積：

57、晶胞體積： 設晶胞參數為設晶胞參數為a a 球在面對角線方向互相接觸，則：球在面對角線方向互相接觸，則： 空間利用率：空間利用率：33R216aVR22aa24R%05.74%100R216R344VvF3395名名 稱稱堆積方式堆積方式配位數配位數密排面密排面空空 隙隙堆積系數堆積系數六方密堆積六方密堆積ABABABAB12(0001)(0001)四面體四面體八面體八面體0.74立方密堆積立方密堆積ABCABCABCABC12(111)(111)四面體四面體八面體八面體0.742 2、等徑球體的另外兩種常見堆積、等徑球體的另外兩種常見堆積 體心立方次密堆積體心立方次密堆積 簡單立方堆積簡單立

58、方堆積 體心立方次密堆積體心立方次密堆積 雖然不是最緊密堆積，但經常出現在金屬晶體結構中。雖然不是最緊密堆積，但經常出現在金屬晶體結構中。96 第一層球，每個球與周圍第一層球，每個球與周圍 4 個球相接觸；第二層球放個球相接觸；第二層球放在第一層球形成的凹坑上；第三層球位置與第一層球位置在第一層球形成的凹坑上；第三層球位置與第一層球位置重合重合密排面密排面為為 (110)面，即在體對角線上球互相接觸。面，即在體對角線上球互相接觸?？臻g利用率空間利用率為為 68%。97 簡立方堆積簡立方堆積 第一層球，每個球與周圍第一層球，每個球與周圍 4 個求相接觸；第二層球的位置個求相接觸；第二層球的位置與

59、第一層球重合與第一層球重合 密排面密排面為為 /（100100）（）（010010）（）（001001）球和球在棱上互相接觸）球和球在棱上互相接觸 空間利用率空間利用率為為52%52%。983 3、不等大球體的緊密堆積、不等大球體的緊密堆積 離子晶體結構可以看作半徑大的負離子做等大球體密離子晶體結構可以看作半徑大的負離子做等大球體密堆積，半徑小的正離子填充空隙。堆積，半徑小的正離子填充空隙。 實際晶體中，正離子不一定正好填充到空隙中，通常實際晶體中，正離子不一定正好填充到空隙中，通常正離子大于空隙，將負離子撐開；或正離子尺寸較小，可正離子大于空隙，將負離子撐開；或正離子尺寸較小，可在陰離子空隙

60、中移動。所以，在離子晶體結構中，在陰離子空隙中移動。所以，在離子晶體結構中，負離子負離子只作近似緊密堆積只作近似緊密堆積，或是，或是出現了變形。出現了變形。99四、配位數和配位多面體四、配位數和配位多面體1 1、配位數（、配位數（CNCN） 一個原子（或離子）的配位數是指在晶體結構中，該原子一個原子（或離子）的配位數是指在晶體結構中，該原子（或離子）的周圍，與它（或離子）的周圍，與它直接相鄰結合直接相鄰結合的同種原子（或所有異的同種原子（或所有異號離子）的個數。號離子）的個數。 單質晶體單質晶體12 12 （密堆積）（密堆積） 共價晶體共價晶體4（共價鍵的方向性和飽和性）（共價鍵的方向性和飽和