高中數(shù)學(xué)第三講圓錐曲線性質(zhì)的探討章末復(fù)習(xí)課新人教A版

1、精品教案2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三講圓錐曲線性質(zhì)的探討章末復(fù)習(xí)課新人教A版選修4-1整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建警示易錯(cuò)提醒1一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：不理解正射影的概念當(dāng)圖形較復(fù)雜時(shí)，特別是投影面不是水平放置時(shí)，如果觀察圖形不細(xì)致，空間想象力不強(qiáng)，不理解投影的概念就會(huì)出錯(cuò)2一個(gè)疑難點(diǎn)：確定截線橢圓的參量當(dāng)已知斜截面與圓柱面的母線或直截面的交角時(shí)，我們可以確定橢圓的各個(gè)參量如設(shè)2r斜截面與圓柱面的母線的交角為M圓柱面的半徑為r,則截線橢圓的長軸長2a=sin（）短軸長2b=2r,離心率e=cos（）,焦距2c=2acos（）.專題一平行射影問題一個(gè)平面圖形在一個(gè)平面上的平行射影與投影方向和投影面有關(guān).畫一個(gè)圖形的平

2、行射影應(yīng)先找出圖形關(guān)鍵點(diǎn)的平行射影.正射影是平行射影的一種特殊情況.準(zhǔn)確理解正射影的概念，能根據(jù)題意準(zhǔn)確確定點(diǎn)、線、面的正射影.例1如圖所示，邊長為20的正三角形ABC的頂點(diǎn)A在平面a內(nèi)，B,C在平面a同側(cè)，且B,C在平面a上的正射影分別為D,E,且BD=10,CE=5,求4ABC所在平面和平面a所成的二面角的大小.可編輯解：由正射影的性質(zhì)得BD/CE,且B,D,C,E共面.因?yàn)锽DCE,所以BC,DE必相交，設(shè)交點(diǎn)為F.因?yàn)镈E?&所以FCe.因?yàn)锽C?平面ABC,所以FC平面ABC,所以F是平面ABC和平面a的公共點(diǎn).因?yàn)锳是平面ABC和平面a的公共點(diǎn)，所以平面ABCn平面a=AF

3、.在ABDF中，因?yàn)锽D/CE,BD=2CE,所以CF=BC.又因?yàn)?ABC為正三角形，所以CF=AC,/ACF=120,所以/CAF=30°,所以/BAF=/BAC+ZCAF=60°-30°=90°,所以BAXAF,故DAXAF,所以/BAD是小BC所在平面和平面a所成的二面角的平面角.在RtMBD中，AB=20,BD=10,所以/BAD=30°,所以4ABC所在平面和平面a所成的二面角的大小為30二變式訓(xùn)練一個(gè)圓在平面a上的正射影是什么圖形？解：(1)圓所在平面與投影平面平行，圓的射影仍然是圓.(2)圓所在平面與投影平面垂直，圓的射影是線段

4、.(3)圓所在平面與投影平面斜交，圓的射影是橢圓.專題二平面與圓柱面、圓錐面的截線問題1 .平行于圓柱底面的平面截圓柱所得截線是圓，用平面斜截圓柱面所得截線是橢圓，可以用Dandelin雙球去研究橢圓的有關(guān)性質(zhì).這里要注意雙球與斜截面的切點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，球的直徑就是橢圓的短軸長.2 .當(dāng)已知斜截面與圓柱面的母線或軸的交角時(shí)，我們可以確定橢圓的各個(gè)參量.如設(shè)2r斜截面與圓柱面的母線的交角為M圓柱面的半徑為r,則截線橢圓的長軸長2a=,sin6短軸長2b=2r,離心率e=cos(),焦品巨2c=2acos().3 .設(shè)圓錐軸截面母線與軸的夾角為a,截面和圓錐軸的夾角為0,當(dāng)截面不過頂點(diǎn)時(shí)：(1)當(dāng)

5、0=a時(shí)，截線是拋物線.兀兀(2)當(dāng)a<0<”t截線是橢圓，特別地，當(dāng)0=時(shí)，截線是圓.(3)當(dāng)0We<a時(shí)，截線是雙曲線，圓錐曲線的有關(guān)問題，可以利用Dandelin雙球進(jìn)行探究.例2已知圓柱的底面半徑是2,平面a與圓柱母線的夾角為30°,求截口橢圓的離心率和焦距.解：橢圓的離心率。3e=cos30=2.如圖所示，過G2作G2HXAD于點(diǎn)H.在Rt二1HG2中，/HGiG2=30,HG2=4.所以GiG2=2HG2=8.所以截口橢圓的長軸長2a=GiG2=8,短軸長2b=4.所以焦距2c=2胃b2=2勺4222=443.變式訓(xùn)練已知一圓錐面的頂角為90。，嵌入兩球

6、的半徑分別為，2和7，2,試確定截線的圓錐曲線的長軸（或?qū)嵼S）長、短軸（或虛軸）長和截面與軸的夾角.解：（1）若嵌入兩球在圓錐頂點(diǎn)的同側(cè)，則截線為橢圓，如圖所示的是其軸截面.OO'ODOCsin45°=(7<2曲X''2CD=OD-OC=6-j2,所以橢圓的長軸長為62.設(shè)AB與OO'的夾角為M則sin8222123故截面與軸的夾角為arcsin橢圓的離心率cos6e=一cos45所以橢圓的短軸長為62xa.'i-e2=2714.(2)若兩球在圓錐頂點(diǎn)的兩側(cè),OC+O'Dsin 45°= 16,則截線為雙曲線.如圖所示的

7、是其軸截面.CD=qOO?-(OC-OD)2=162-16，J2)2=2446.所以雙曲線的焦距為246.設(shè)截面與軸的夾角為M即CD與OO'的夾角為6CD所以cos6=OO,468所以截面與軸的夾角為46arccos8所以雙曲線的離心率cos6e=一cos4523所以雙曲線的實(shí)軸長為8班,虛軸長為2>/l4.專題三方程思想在平面與圓柱面、圓錐面的截線中,存在著大量的數(shù)量關(guān)系，在求某個(gè)量時(shí)，有時(shí)就可采用方程的思想建立關(guān)于該量的方程，利用方程求解.例3已知圓錐的母線長為1,底面半徑為R,如果過圓錐頂點(diǎn)的截面面積S的最大值1R是2匕求;的取值范圍.解：如圖所示，RAB是過圓錐的頂點(diǎn)P的

8、截面，設(shè)/APB=x,圓錐的頂角為a,則APAB的面積為：1S=-PAPBsinx=21-12sinx（0<x<a）,1兀jFsina（0<a。）,所以S最大=1兀-12（<a<兀）.兀由題意知2<a<%,所以在RtPAO中，R=sinR2即一的取值范圍是一，1.12變式訓(xùn)練平面a與圓柱軸線成60角，截圓柱面所得橢圓的焦距為2、/3,求圓柱面的半徑.解：如圖所示，O為橢圓中心，AA'是橢圓的長軸，設(shè)其長為2a,過O向圓柱母線作垂線，垂足為B,則4AB是直角三角形，/OAB是平面a與圓柱母線（軸線）所成的角.sin 603橢圓的短軸長2b=2r,

9、即b=r由已知焦距2c=2十得c=M3在橢圓中，因?yàn)閍2=b2+c所以（2=r2 +0/3)2,解得 r=3故圓柱面的半徑為3.專題四數(shù)形結(jié)合思想在解決與幾何圖形有關(guān)的問題時(shí)，可以將圖形信息轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，利用數(shù)量特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決；在解決與數(shù)量有關(guān)的問題時(shí)，可根據(jù)數(shù)量特征構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，即化為幾何問題解決.利用數(shù)形的辯證統(tǒng)一和各自的優(yōu)勢盡快得到解題途徑，這就是數(shù)形結(jié)合思想方法的特點(diǎn).例4如果橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,求橢圓的面積.解：如圖所示，設(shè)橢圓是由半徑為r的圓柱面的斜截面截得的，且斜截面與母線所成的角為a,則b=r,a=sina兀取圓柱面的一直截面，則其面積S圓=兀產(chǎn)，直截面與斜截面的夾角為-a,由面積射影定理有S橢圓="=兀r"=兀ab.故該橢圓的面積為兀ab.兀sinasinaCOS(a)變式訓(xùn)練如圖所示，已知一圓錐面的軸線為Sx,軸線與母線的夾角為30°,在軸上O的半徑和切點(diǎn)圓的