高優(yōu)指導(dǎo)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十四章選修系列不等式選講課件理北師大版選修

1、14.314.3選修選修4545不等式選講不等式選講-2-考綱要求:1.理解絕對(duì)值的幾何意義,并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件:|a+b|a|+|b|(a,bR);|a-b|a-c|+|c-b|(a,bR).2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式:|ax+b|c,|ax+b|c,|x-c|+|x-b|a.3.通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法.-3-1.絕對(duì)值三角不等式(1)定理1:若a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立;(2)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是實(shí)數(shù),則|a-c|a

2、-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時(shí),等號(hào)成立.-4-2.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想.-5-6-4.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立.

3、(3)柯西不等式的向量形式:設(shè),是兩個(gè)向量,則|,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使=k時(shí),等號(hào)成立.5.不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法等.-7-123451.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”.(1)不等式|x|a的解集為x|-ax|a-2|+1對(duì)于一切非零實(shí)數(shù)x均成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.2a3B.1a2C.1a3D.1ab1,x=a+ ,y=b+ ,則x與y的大小關(guān)系是()A.xyB.xy C.xyD.xy 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-10-123454.不等式|x-1|+|x+2|5的解集為. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-11-123455

4、.關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|a的解集不是空集,則參數(shù)a的取值范圍為. 答案解析解析關(guān)閉令f(x)=|x-3|+|x-4|,由其幾何意義(數(shù)軸上距離坐標(biāo)為3的A點(diǎn)與坐標(biāo)為4的B點(diǎn)的兩點(diǎn)間的距離之和)可知,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P位于A,B之間時(shí),f(x)min=1,要使關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|1. 答案解析關(guān)閉a1-12-12345自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.對(duì)于絕對(duì)值三角不等式,易忽視等號(hào)成立的條件.對(duì)|a+b|a|-|b|,當(dāng)且僅當(dāng)a-b0時(shí),等號(hào)成立;對(duì)|a|-|b|a-b|a|+|b|,如果a-b0)的不等式一般可用零點(diǎn)分段法求解,利用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義求解較簡(jiǎn)便.3.求函數(shù)y=|x-a|+|x

5、-b|的最值問(wèn)題,一般利用絕對(duì)值三角不等式,但要找出等號(hào)成立的條件,只有等號(hào)成立,才存在最值.-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混考點(diǎn)1含絕對(duì)值不等式的解法含絕對(duì)值不等式的解法例1(2015河北石家莊二中一模)設(shè)f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求f(x)x+2的解集;(2)若不等式 對(duì)任意實(shí)數(shù)a0恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混思考:絕對(duì)值不等式的常見(jiàn)解法有哪些?解題心得:絕對(duì)值不等式的常見(jiàn)解法有:(1)解絕對(duì)值不等式主要是通過(guò)同解變形去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為一元一次或

6、一元二次不等式(組)進(jìn)行求解.(2)含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式,一般可用零點(diǎn)分段法求解,其一般步驟為:令每個(gè)含絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式為零,并求出相應(yīng)的根;將這些根按從小到大排序并以這些根為端點(diǎn)把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間;由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)組成若干個(gè)不等式,解這些不等式,求出解集;取各個(gè)不等式解集的并集求得原不等式的解集.-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混(3)對(duì)于形如|x-a|+|x-b|m或|x-a|+|x-b|m(m為正常數(shù))的不等式,利用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義求解較簡(jiǎn)便,即利用數(shù)形結(jié)合法,把絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩個(gè)定點(diǎn)a,b的距離之和.-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考

7、點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2015河北衡水中學(xué)二模)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x-3|,xR.(1)解不等式f(x)5;(2)若不等式m2-m0).(1)證明:f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范圍. 答案 答案關(guān)閉-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混思考:如何求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值?解題心得:求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值問(wèn)題利用絕對(duì)值三角不等式更方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函數(shù)只有最小值,形如y=|x-a|-|x-b|的函數(shù)既有最大值又有最小值.-20-考點(diǎn)

8、1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如果關(guān)于x的不等式|x-3|-|x-4|a的解集不是空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 答案 答案關(guān)閉解:注意到|x-3|-|x-4|(x-3)-(x-4)|=1,-1|x-3|-|x-4|1.若不等式|x-3|-|x-4|a的解集是空集,則有|x-3|-|x-4|a對(duì)任意的xR都成立,即有(|x-3|-|x-4|)mina,a-1.因此,由不等式|x-3|-|x-4|-1.-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混考點(diǎn)3含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題例3(2015課標(biāo)全國(guó),理24)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-

9、a|,a0.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍. 答案 答案關(guān)閉-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混思考:求解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題的常用基本方法是什么?解題心得:求解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題時(shí),根據(jù)絕對(duì)值的定義,分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后數(shù)形結(jié)合解決是常用的基本方法.-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)當(dāng)a=-2時(shí),求不等式f(x)-1,且當(dāng)x 時(shí),f(x)g(x),求a的取值范圍.

10、-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混考點(diǎn)4不等式的證明不等式的證明例4(2015課標(biāo)全國(guó),理24)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混思考:證明不等式常用的方法有哪些?解題心得:證明不等式常用的方法有:(1)比較法證明不等式:作差比較法;作商比較法.(2)用分析法證明不等式:使用分析法證明的關(guān)鍵是尋找推理的每一步的充分條件.(3)用綜合法證明不等式:在用綜合法證明不等式時(shí),常用到不等式的性質(zhì)和基本不等式

11、等.-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2015遼寧丹東二模)已知a,b為正實(shí)數(shù).(1)若a+b=2,求 的最小值;(2)求證:a2b2+a2+b2ab(a+b+1). 答案 答案關(guān)閉-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混考點(diǎn)5柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式的應(yīng)用例5(2015福建,理21)已知a0,b0,c0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.(1)求a+b+c的值;(2)求 的最小值.解:(1)因?yàn)閒(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,當(dāng)且僅當(dāng)-axb時(shí),等號(hào)成立.又a0,b0,所以

12、|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值為a+b+c.又已知f(x)的最小值為4,所以a+b+c=4.-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混思考:如何利用柯西不等式證明不等式或求最值?解題心得:1.用柯西不等式證明時(shí),一般需要對(duì)不等式變形,使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu),然后再根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,利用柯西不等式進(jìn)行證明.2.利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為 在使用柯西不等式時(shí),要注意右邊為常數(shù)和等號(hào)成立的條件.-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2015陜西,理24)已知關(guān)于x的不等式|x+

13、a|b的解集為x|2x4.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)求 的最大值. 答案 答案關(guān)閉-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混1.含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題的求解方法(1)分離參數(shù)法:運(yùn)用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問(wèn)題.(2)數(shù)形結(jié)合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立問(wèn)題時(shí),若能作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,通過(guò)圖象的位置關(guān)系可直觀解決問(wèn)題.2.含絕對(duì)值不等式的證明,可用“零點(diǎn)分段法”討論去掉絕對(duì)值符號(hào),也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.3.不等式求解和證明中應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)作差比較法適用的主要是多項(xiàng)式、分式、對(duì)數(shù)式、三角式,作商比較法適用的主要是高次冪乘積結(jié)構(gòu).(2)利用柯西不等式求最值,實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮,放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立,因此,要切記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5知識(shí)方法易錯(cuò)易混1.在解決有關(guān)絕對(duì)值不等式的問(wèn)題時(shí),充分利用絕對(duì)值不等式的幾何意義解決問(wèn)題能有效避免分類討論不全面的問(wèn)題.若用零點(diǎn)