第二節(jié) 換元積分法

1、重慶文理學院陳曉東通過這次培訓，深刻體會到了樂教授的教學思想和方法，樂教授的敬業(yè)精神也讓我深受感動。樂教授的講課生動而精彩，這主要是來源于他深厚的數學功底，來源于他對教學法認真的鉆研，對教學工作的盡職盡責。應該說，三天的培訓，收獲頗多。使我懂得了作為一名高校教師，面對的不管何種層次的學生，都應該站在學生的立場，為學生著想，不能總是抱怨學生，而是要認真改進教學方法，針對學生的不同情況，因人而異。當然要做到這些并不容易，教師首先要補充，提高自己。樂教授的授課，使我們對教學思想和理念，有了新的認識和提高。高等數學已講了很多回了，但總感到它比較抽象，枯燥，教學中如何將它與實際問題的解決結合起來，提高學

2、生的興趣，一直是個難點。學生也對這門課興趣不大，學起來比較困難。但聽了樂教授的課后，受到很大的啟發(fā)，感到高等數學也可以講得這么生動、精彩！一些抽象概念，可以通過數形結合來引入，讓初學者感到自然，具體和直觀，易于接受。并且，樂教授把數學建模融入到了高等數學教學中，讓學生感到高等數學的應用無處不在，慢慢就逐步提高了學生學習高等數學的興趣。這都給了我太多的啟發(fā)。我體會到要講好這門課，提高教學效果，就要想法讓學生熱愛數學，而不是恐懼數學。要達到這樣的目的，需要我們自己在學科上不斷學習、提高，在教學方法上不懈地探索，不斷的創(chuàng)新，才能真正提高教學質量。在樂教授的啟發(fā)下，對不定積分換元積分法這一節(jié)的教學內容

3、進行了改進，附上教案（詳案）。第二節(jié) 換元積分法教學目標： 使學生掌握第一換元積分法；使學生掌握第二換元積分法；使學生掌握求不定積分的四種方法的邏輯結構。教學重點：第一、二換元積分法的運用。教學難點：第一換元積分法與第二換元積分法的聯系與區(qū)別。教學關鍵：使學生明確換元的目的是為了把所求不定積分化為可用基本積分公式求解的不定積分；正確處理課堂上的講練關系，盡可能讓學生多練習。充分運用啟發(fā)式教學，讓學生在例題的學習中、課堂練習中理解和掌握不定積分的求解方法。教學方法：發(fā)現法；問題解決教學法。教學時數：四課時。教學過程：（教師授課思路、設問及講解要點）第一環(huán)節(jié)：新課引入。求函數f(x)的不定積分:(

4、在副板書位置板書)1、定義法：利用定義:F¢(x)=f(x)(xÎI)Ûòf(x)dx=F(x)+C,求函數f(x)的不定積分. (在副板書位置板書) 2、基本積分表法：利用基本積分表中的15個基本積分公式和不定積分的兩個性質:òf(x)+g(x)dx=òf(x)dx+òg(x)dxòkf(x)dx=kòf(x)dx,(在副板書位置板書)求函數f(x)不定積分的實際過程中，我們不難發(fā)現，如果被積函數f(x)結構比較復雜時，我們很難用定義求出函數f(x)的不定積分。例如，對函數 x>1, (臨時板書)

5、雖然函數（x>1）的不定積分存在.即=.(臨時板書)但我們很難用定義法求出函數的不定積分概括：這說明定義法求函數不定積分的可操作性不夠.但定義法求函數f(x)的不定積分理論意義大，今后我們經常要判斷一族函數F（x）+C是另一個函數f（x）的不定積分,這時用定義法作出判斷是非常有效的,即定義法證明一族函數F（x）+C是另一個函數f（x）不定積分非常有效。概括：由于基本積分表法求函數f(x)的不定積分，需要利用基本積分表中的公式，而基本積分表中的公式只有15個，這樣能求不定積分的被積函數的種類和數量都太少，大量存在不定積分的被積函數的不定積分用該方法無法求出。例如，不定積分（臨時板書）第二節(jié)

6、 換元積分法（板書）第二環(huán)節(jié)：講授新課。例 1 求.（板書）問題：請同學們觀察不定積分的結構形式與基本積分公式表中的哪個公式類似?（板書）解一:,其中u=3+2x,C為常數.（板書）總結：從上述解法中不難看出,我們通過把原積分變量x換成積分變量u,求出了函數的不定積分為,然后再通過把積分變量u換回積分變量x, 求出了函數的不定積分,最終達到了求函數的不定積分的目的.所以上述解法中的換元是問題解決的核心,進而上述解法也稱為換元積分法.（板書）解二:其中C為常數.（板書）強調：上面的簡便解法隱含著換元u=3+2x的思想,請同學們務必注意.例 2 求.（板書）問題：請同學們首先分析該例中的被積表達式

7、2cosxdx與基本公式表中的哪個公式的被積表達式類似,然后請同學們利用該基本積分公式和例1中換元的方法對例2求解.總結: 好,請同學們看黑板,將自己的解法與黑板上的解法進行對比,看看自己的解法中是否有不當之處，表達是否準確無誤.（板書）解:其中u=2x,C為常數.或其中C為常數.（板書）問題：在上面的兩個例子的求解中,我們首先在基本積分表中尋找與所求不定積分類似地基本積分公式,然后利用換元的方法對問題求解. 現在有一個這樣一個問題:如果在基本積分表中找不到與所求不定積分類似地基本積分公式, 那么,如何去求不定積分呢? 下面的例3就給出了該問題的解決辦法.例 3求.（板書）子問題：請同學們觀察

8、不定積分的結構形式與基本積分公式表中的哪個公式類似?（板書）解:其中u=cos x,C為常數.或其中C為常數.（板書）總結：如果在基本積分表中我們找不到與所求不定積分類似結構形式的基本積分公式的話, 我們可對被積函數進行恒等變形后(),再利用基本微分公式(),對積分變量(x)進行換元(u=cosx),最后再利用基本公式表中的基本公式()對其求解.所以希望同學們對基本微分公式要熟記,還要學會基本微分公式從右到左地運用,例如,對公式d(cosx)=-sinxdx, 從右到左運用為公式 sinxdx=-d(cosx).只有這樣,我們才能較快地找到解題的思路與方法.問題: 請同學們用例3的求解方法對下

9、面的例 4求解.例 4 求.（板書）（板書）解:其中u=sin x,C為常數.或其中C為常數.（板書）總結：分析上面四個例子的具體解法,我們發(fā)現它們有以下共同點:被積表達式中的被積函數都含有基本初等函數f(u)和初等函數u=j(x)的復合函數fj(x). 例1中的f(u)=1/u,u=3+2x, .（臨時板書）例2中的f(u)=2cosu,u=2x, .（臨時板書）例3中的f(u)=1/u,u=cosx, . （臨時板書）例4中的f(u)=1/u,u=sinx, .（臨時板書）所求的不定積分變形后被積表達式中都含有j¢(x)dx=d(j(x).例1中的j¢(x)dx =(3

10、+2x)¢dx=2dx=d(3+2x)= d(j(x). （臨時板書）例2中的j¢(x)dx =(2x)¢dx=2dx=d(2x)= d(j(x). （臨時板書）例3中的j¢(x)dx =(cosx)¢dx=-sinxdx=d(cosx)= d(j(x). （臨時板書）例4中的j¢(x)dx =(sinx)¢dx=cosxdx=d(sinx)= d(j(x). （臨時板書）所求的不定積分變形后都含有ò fj(x)j¢(x)dx. （臨時板書）例1中的（臨時板書）.例2中的. （臨時板書）例3中的.（臨時板

11、書）例4中的.（臨時板書）第三環(huán)節(jié)：課堂練習。（板書）用第一換元積分法求下列不定積分1. 2.(a>0). 3. 提示:.4.提示:. 5. 提示:. 6. 提示:. 7. 提示:. 8. 提示:.9. 提示:.10. 提示:.（板書）學生練習20分鐘后,教師要求學生將上述10個練習題與教材中的例7,8,9,10,11,12,14,16,17中的解法進行對照,找出解題過程中存在的問題.教師針對這些問題進行必要地講解.例 5 求.（板書）（板書）解: 令x=asint, 則dx=acost×dt.（板書）例 6 求.（板書）問題：請同學們首先分析如何用三角公式把無理函數化為有理函

12、數,然后對其求不定積分.（板書）解令x=atant, 則dx=asec2t×dt.其中,.（板書）強調：換元函數x=atant應存在反函數,且用輔助三角形將sec t,tan t 中的積分變量t用積分變量x換回.問題：在上面的兩個例子中求解中,由于容易找到用于變量替換的單調函數(例 5中的x=asint,例6中的x=atant,)，用其化去被積函數根號,并且,被積表達式中不含絕對值符號,所以我們用第二換元積分法對例 5,6能很快求出它們的解. 現在有一個這樣一個問題:如果找不到上述用于變量替換的單調函數,那么, 如何用第二換元積分法去求不定積分呢.下面的例7就給出該問題的解決辦法.例

13、 7 求（板書）解決問題：和前面的兩個例題類似,可以利用變量替換x=asec t(0<t<p)和公式來化去被積函數根號.注意到tan t可正可負,因此.解 (1)當x>a時, 令x=asec t(0<t<p/2),則dx=asect×tan t×dt.,其中,.(2) 當x<-a時,令x=-u,則u>a,dx=-du.,其中, .綜合(1)及(2)得,問題：請同學們將該例題的求解方法與前面講授的第一換元積分法中的練習2的解法對比,找出規(guī)律.總結：由于基本積分表中有基本積分公式,所以前面的練習2用第一換元積分法可求解,而基本積分表中沒

14、有被積函數的基本積分公式,所以例7不用第一換元積分法求解,而用第二換元積分法求解.總結：當不好求解(例5中的,例6中的,例7中的),而好求解時(例5中的,例6中的,例7中的),我們把轉化為,進而達到求不定積分的目的,這種換元積分法稱為第二換元積分法.下面我們用定理的形式給出第二換元積分法,請看定理2.（板書）定理2 設是單調的可導的函數,并且,又具有原函數,則有換元公式其中是的反函數.（板書）(1) 應用背景的聯系與區(qū)別:第一換元法當不好求解,而好求解時.第二換元法當不好求解,而好求解時.(2)換元函數的聯系與區(qū)別第一換元法 可導.第二換元法 單調且可導.(3)換元公式的聯系與區(qū)別第一換元法.

15、第二換元法 .第四環(huán)節(jié)： 課堂小結板書(在副板書位置)：1.定義法(已板書)2.基本積分表法(已板書)3.第一換元積分法:當不好求解, 而好求解時,用換元公式4. 第二換元積分法:當不好求解, 而好求解時, 用換元公式掌握好換元積分法的要點: （板書）1. 熟記基本積分公式（板書）2. 熟記基本微分公式（板書）熟記基本微分和積分公式可以幫助我們找到解題的思路，特別要注意基本微分公式的逆向使用.（講解）3. 多練習 ?？偨Y（板書）求函數的不定積分,解題方法多種多樣,規(guī)律性不強. 要掌握好這些解題方法,必需有一個解題經驗的積累過程,這就要求同學多練習，并及時對解題方法進行總結。（講解）第五環(huán)節(jié)： 布置作業(yè) 習題4-2 1，3，5，7，9，21，23，25，27，29。附板書設計圖主板書位置一第二節(jié) 換元積分法例1例2例3例4定理1主板書位置三定理2例6例7兩種換元法的聯系與區(qū)別（1）應用背景的聯系與區(qū)別:（2）換元函數的聯系與區(qū)別：（3）換元公式的聯系與區(qū)別副板書位置1.定義法:&#