機器人學導(dǎo)論 課件 第三章-3.3節(jié)-牛頓歐拉法

機器人技術(shù)基礎(chǔ)

第3章機器人力學

3.3牛頓-歐拉方程

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）10323.3.1動力學概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度3.3.4剛體的角加速度3.3.5牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄動力學的概念32025/6/1在考慮機器人連桿慣量的前提下，研究力與運動的關(guān)系動力學的核心問題分析方法基于力平衡的方法——牛頓-歐拉方程基于能量的方法——拉格朗日方程應(yīng)用分類

——逆動力學，用于控制——正動力學，用于仿真43.3.1動力學概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度3.3.4剛體的角加速度3.3.5牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄牛頓-歐拉力/力矩平衡方程（Newton-EulerEquation）52025/6/1針對每個桿件應(yīng)用力/力矩平衡方程，逐次遞推獲得桿件之間的作用力/力矩桿件之間的作用力/力矩在關(guān)節(jié)軸上的分量，即為關(guān)節(jié)驅(qū)動力/力矩牛頓-歐拉方程的思想力平衡——牛頓方程

F力矩平衡——歐拉方程

牛頓-歐拉力/力矩平衡方程62025/6/1求解動力學方程的前提是：

利用牛頓-歐拉方程求解動力學方程的主要工作是：計算各連桿角速度、角加速度、質(zhì)心線加速度計算各連桿之間的力和力矩牛頓-歐拉力/力矩平衡方程73.3.1動力學概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度和角加速度3.3.4牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄剛體的線加速度82025/6/1上式直接對時間求導(dǎo)，得：AVBORF≠0BVQ≠0AΩB≠0回顧：兩剛體{A}和{B}之間既有平動，也有轉(zhuǎn)動，且{B}中向量Q相對于{B}有運動的情況，其Q在{A}中的速度表達為：因為：代入上式，得：剛體的線加速度92025/6/1整理，得：線加速度求和科氏加速度歐拉加速度向心加速度當BQ是常量時，可簡化為：剛體的角加速度102025/6/1同樣，把上式直接對時間求導(dǎo)，得：運動坐標系{B}相對于{A}的角速度為AΩB運動坐標系{C}相對于{B}的角速度為BΩC則{C}相對于{A}的角速度為：因為：代入上式，得：假定存在固定的參考坐標系{A}113.3.1動力學概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度和角加速度3.3.4牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代122025/6/1

可得：

思路：采用與速度外推迭代類似的方法進行求解首先回顧前一章機器人連桿間角速度遞推公式根據(jù)前述剛體間角加速度關(guān)系：上式即為機器人旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)相鄰連桿間角加速度迭代公式當?shù)趇+1個關(guān)節(jié)是移動關(guān)節(jié)時，上式可簡化為：132025/6/1對于通過旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接的兩連桿，根據(jù)剛體間線加速度關(guān)系公式：轉(zhuǎn)換到i+1坐標系，得旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)相鄰連桿間的線加速度迭代公式：對于i+1關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)的情況，根據(jù)：可得：可得：上式即為移動關(guān)節(jié)相鄰連桿間的線加速度迭代公式牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代142025/6/1對于連桿i+1，再次應(yīng)用剛體間線加速度關(guān)系公式：可得連桿i+1質(zhì)心C的線加速度迭代公式：至此，我們已經(jīng)得到了牛頓-歐拉方程所需的角速度、角加速度，以及坐標系i的線加速度還需要求解質(zhì)心線加速度回顧牛頓-歐拉方程牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代小結(jié)—i+1為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)152025/6/1連桿i+1質(zhì)心C的線加速度迭代公式：相鄰連桿間的角加速度迭代公式：相鄰連桿間的角速度迭代公式相鄰連桿間的線加速度迭代公式：162025/6/1連桿i+1質(zhì)心C的線加速度迭代公式：相鄰連桿間的角加速度遞推公式：相鄰連桿間的線加速度迭代公式相鄰連桿間的角速度迭代公式注意，在不考慮重力時：牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代小結(jié)—i+1為移動關(guān)節(jié)172025/6/1根據(jù)每個連桿的角加速度和質(zhì)心線加速度，根據(jù)牛頓-歐拉公式，得：其中：Fi和Ni可理解為慣性力和力矩顯然，每個連桿的慣性力/力矩應(yīng)等于其所受外力之和由右圖可知，每個連桿質(zhì)心處的力平衡方程為：

注意：方程里沒有重力項牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代182025/6/1每個連桿質(zhì)心處力矩平衡方程為：其中：為連桿i作用在連桿i+1上的力矩的反作用力矩，在{i}坐標系中的表達最后，可得到力矩平衡方程：后兩項為連桿間作用力在質(zhì)心C處耦合的力矩之和，可化簡為：牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代192025/6/1將前述連桿的力/力矩平衡方程整理如下：把上式寫成由末端到基座的迭代遞推形式，可得連桿i-1作用于連桿i的力/力矩：其中：

iFi和iNi為連桿i質(zhì)心處的慣性力/力矩，可根據(jù)質(zhì)心線角速度和角加速度求得把ifi和ini為向關(guān)節(jié)軸線投影，可得關(guān)節(jié)i的驅(qū)動力/力矩：移動關(guān)節(jié)：旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)：牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代202025/6/1連桿i-1作用于連桿i的力/力矩：關(guān)節(jié)i的驅(qū)動力/力矩：移動關(guān)節(jié)：旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)：連桿i質(zhì)心處的慣性力/力矩：

牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代-小結(jié)牛頓-歐拉動力學方程——實例212025/6/1首先確定牛頓-歐拉遞推公式中的連桿參數(shù)和初始值如右圖所示的2R平面機器人，假設(shè)每個連桿的質(zhì)量都集中在桿件末端，連桿參數(shù)如圖每個連桿坐標原點及質(zhì)心的位置矢量：假設(shè)質(zhì)量集中于質(zhì)心，則各連桿質(zhì)心的慣量張量為零矩陣：末端執(zhí)行器不受外力，所以：機器人基座固定，所以：考慮重力因素，有：X0Y0OX1Y1X2Y2222025/6/1相鄰連桿坐標系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣如下：用外推迭代求解兩個連桿的速度、加速度以及慣性力/力矩連桿1角速度：連桿1角加速度：X0Y0OX1Y1X2Y2牛頓-歐拉動力學方程——實例232025/6/1連桿1坐標原點線加速度：連桿1質(zhì)心線加速度：牛頓-歐拉動力學方程——實例242025/6/1連桿1慣性力：連桿1慣性力矩：牛頓-歐拉動力學方程——實例252025/6/1連桿2角速度：連桿2角加速度：牛頓-歐拉動力學方程——實例262025/6/1連桿2坐標原點線加速度：連桿2質(zhì)心線加速度：牛頓-歐拉動力學方程——實例272025/6/1連桿2慣性力：連桿2慣性力矩：牛頓-歐拉動力學方程——實例282025/6/1用內(nèi)推迭代求解連桿間的力/力矩連桿2受連桿1作用力：連桿2末端受環(huán)境作用力牛頓-歐拉動力學方程——實例292025/6/1用內(nèi)推迭代求解連桿間的力/力矩連桿2受連桿1作用力矩：連桿2關(guān)節(jié)力矩：牛頓-歐拉動力學方程——實例302025/6/1用內(nèi)推