關(guān)于實數(shù)完備性基本定理的循環(huán)證明

1、密 級 公 開 本科生畢業(yè)（學(xué)位）論文有關(guān)實數(shù)完備性基本定理的循環(huán)證明指導(dǎo)教師姓名：職 稱：副教授單 位：數(shù)學(xué)系專 業(yè) 名 稱：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文提交日期：2010年 月 日論文答辯日期：2010年 月 日學(xué)位授予單位：黔南民族師范學(xué)院答辯委員會主席:論 文 評 閱 人:2010 年 月 日有關(guān)實數(shù)完備性基本定理的循環(huán)證明蔣長征(2006051135)(黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 貴州.都勻 558000)摘要：本文闡述了實數(shù)集上六個基本定理及其相關(guān)內(nèi)容，并在用十進位小數(shù)定義證明確界原理的基礎(chǔ)上通過六個循環(huán)從不同的角度證明了它們的等價性。關(guān)鍵詞：實數(shù)集；完備性；確界原理；單調(diào)有界定理；區(qū)間套定理；

2、有限覆蓋定理；聚點定理；收斂準(zhǔn)則The Circulating Testification on the Basic Axioms of Real Number Completeness Jiang Chang-zheng(2006051135)(Department of Math ,Qiannan Normal College for Nationalities,Duyun,Guizhou,55800)Abstract : This paper elaborates six fundamental theorems on a set of real numbers and its rela

3、ted content.Based on the result which use decimal number definitions to prove sector principle this paper prove their equivalent from different angle.Key words: Real Number Collection; Completeness; True Principle; Has the theorem monotonously; Nested interval theorem; Finite covering theorem; Limit

4、ing point theorem; Cauchy Restraining criterion1 實數(shù)完備性基本定理及其有關(guān)內(nèi)容1.1 有關(guān)概念 定義我們知道，極限的存在性問題是極限理論的首要問題。一個數(shù)列是否存在極限不僅與數(shù)列本身的的結(jié)構(gòu)有關(guān)，而且與所在數(shù)集密切相關(guān)。從運算的角度來說，實數(shù)集關(guān)于極限的運算是封閉的，它反映了實數(shù)集的完備性，這是實數(shù)集的優(yōu)點。因此將極限理論建立在實數(shù)集之上，極限理論就有了堅實的基礎(chǔ)。我們常常從實數(shù)系的連續(xù)性（即實數(shù)集無間隙）出發(fā)證明實數(shù)系的完備性（即能使確界原理成立的有序域），也可從實數(shù)系的完備性出發(fā)證明實數(shù)系的連續(xù)性，所以這兩個關(guān)系是等價的。因此，我們也稱實數(shù)

5、連續(xù)性為實數(shù)的完備性。下面我們就來闡述實數(shù)完備性基本定理及其有關(guān)內(nèi)容，為后面的證明做鋪墊。定義 設(shè)為非負(fù)實數(shù)，稱有理數(shù)為實數(shù)的位不足近似，而有理數(shù)稱為實數(shù)的位過剩近似，。定義 設(shè)為中的一個數(shù)集。若存在一個數(shù)，使得對一切，都有，則稱為有上（下）界的數(shù)集，數(shù)稱為的一個上界（下界）。定義 設(shè)為中的一個數(shù)集。若數(shù)滿足：(i) 對一切，有，即是的上界；(ii) 對任意數(shù)，存在，使得，即又是的最小上界，則稱為數(shù)集的上確界，記作：定義 設(shè)為中的一個數(shù)集。若數(shù)滿足：(i) 對一切，有，即是的下界；(ii) 對任意數(shù)，存在，使得，即又是的最大下界，則稱為數(shù)集的下確界，記作：定義 設(shè)閉區(qū)間列具有如下性質(zhì)：(i)

6、，；(ii) 則稱為閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間套。定義 設(shè)為數(shù)軸上的點集，為定點（它可以屬于，也可以不屬于），若的任何鄰域內(nèi)都含有中無窮多個點，則稱為點集的一個聚點。定義 對于點集，點的任何鄰域內(nèi)都含有中異于的點，即，則稱為點集的一個聚點。定義 若存在各項互異的收斂數(shù)列，則其極限稱為點集的一個聚點。注：這三個定義是等價的。定義 設(shè)為數(shù)軸上的點集，為開區(qū)間的集合（即的每一個元素都是形如的開區(qū)間）。若中任何一點都含在中至少一個開區(qū)間內(nèi)，則稱為的一個開覆蓋，或稱覆蓋。若中開區(qū)間的個數(shù)是無限（有限）的，則稱為的一個無限（有限）開覆蓋。定義 一個數(shù)列被稱為列，如果對任給的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時有。1.2 實數(shù)

7、完備性六個基本定理定理 （確界原理）設(shè)為非空數(shù)集，若有上（下）界，則必有上（下）確界。定理（單調(diào)有界定理）在實數(shù)系，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。定理（區(qū)間套定理）若是一個區(qū)間套，則在實數(shù)系中存在唯一的點使得屬于 即。推論 若 （）是區(qū)間套所確定的點，則對任給的，存在，使得對一切時有。定理（有限覆蓋定理）設(shè)為閉區(qū)間的一個開覆蓋，則從中可選取有限個開區(qū)間來覆蓋。定理（聚點定理）實數(shù)系中任一有界無限點集至少有一個聚點。推論 有界數(shù)列必有收斂子列。定理（收斂準(zhǔn)則）數(shù)列收斂的充要條件是：數(shù)列是列。2 基本定理的循環(huán)證明以上六個定理，都是描述實數(shù)集的連續(xù)性（完備性）的定理，只不過表現(xiàn)形式不同而已。在這六個定理

8、中有限覆蓋定理著眼于區(qū)間整體，而其它五個則著眼于一點的局部，這些點分別是定理中的確界點、定理和定理中的極限點、定理中的公共點和定理中的聚點。從這個方面說定理（有限覆蓋定理）是其它五個定理的逆否形式。因此不論是用定理證明其它五個定理還是用其它五個定理證明定理都可以用反證法來完成，其它五個定理可以直接互推，只要抓住上述提到的那些點即可，方法是從已知出發(fā)構(gòu)造某一點，然后證明這個點就是所要求的點。通過上述方法雖然可以證明這六個定理的等價性，但這并不意味著它們就是正確的，若其中有一個命題是假命題，則全為假命題。因此在證明它們的等價性時起點是極其重要的。在證明過程中不同的教材和參考書對起點問題的處理也不盡

9、相同。有的直接把其中的一個當(dāng)作公理，如劉玉璉等所編的數(shù)學(xué)分析講義就是把單調(diào)有界原理當(dāng)作公理，并以此為起點證明這六個定理的等價性，很明顯這樣做是不夠嚴(yán)密的。本文是基于華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的數(shù)學(xué)分析，即用十進位小數(shù)定義證明確界原理作為起點（具體過程見2，第7頁），然后用循環(huán)證明的方法證明它們的等價性。2.1 第一個循環(huán) 2.1.1 參見2，35頁2.1.2 參見2，161頁2.1.3 參見2，165，166頁2.1.4 證 設(shè)為有界無窮點集，因此存在，使得。反正法：若無聚點，即中任何一點都不是的聚點，則對于任意，必有相應(yīng)的，使得內(nèi)至多含有有限個(若，則中不含中的點)。所有這些鄰域的全體形成的一個

10、無限開覆蓋：。由定理知，中存在有限個開區(qū)間能覆蓋。記：為的一個有限開覆蓋，則也覆蓋了。由于每個鄰域中至多含有有限個點，故這個鄰域的并集也至多有得有限個點，因此為有限點集，這與題設(shè)為無窮點集矛盾。2.1.5 證 必要性顯然下證充分性若數(shù)列是列，則收斂。即對任意，存在，當(dāng)時，有，則收斂。(i)對于，存在，當(dāng)時有，即。取時，則。記 ，則對于任意，有，即為有界數(shù)列。(ii)有聚點定理的推論知，有界的數(shù)列必有收斂子列，故必有收斂子列。記。(iii)由數(shù)列是列，故對任意，存在，當(dāng)時，有而又由于，故存在，當(dāng)時有取，當(dāng)時有即2.1.6 參見2，167頁2.2第二個循環(huán)2.2.1 證 由于，構(gòu)成一個區(qū)間套，于是

11、有： 且所以數(shù)列為單調(diào)遞增的有界數(shù)列，為單調(diào)遞減的有界數(shù)列。由定理可知數(shù)列必有上確界，數(shù)列必有下確界。設(shè)，則有對任意的，有 ，則有對任意的，有 所以，結(jié)合可得又因為所以即所以存在唯一的點使得，即定理成立。2.2.2 參見2，164頁2.2.3 （也可參見3，34頁）證 假設(shè)不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。將二等分，則其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。記這個子區(qū)間為(如果兩個半?yún)^(qū)間都是如此，可任選其一)，則，且。再將二等分，則其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。記這個子區(qū)間為，且。重復(fù)上述步驟不斷進行下去，則得到一個閉區(qū)間列，它滿足且，則每個，都不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。

12、由的取法可知，數(shù)列單調(diào)遞增有上界，數(shù)列單調(diào)遞減有下界。且每一個（）都是有界無限點集。由聚點定理可知，至少有一個聚點，設(shè)為。又因為故對任意的，存在，當(dāng)時，有再由的取法及的性質(zhì)可得當(dāng)時，有。這與的取法矛盾。故假設(shè)不成立。即有定理成立。2.2.4 2.2.5 證 設(shè)數(shù)列為單調(diào)列，可改述為：“，存在，當(dāng)時，滿足”這是因為它同時保證了對一切，恒有倘若不收斂，由準(zhǔn)則的否定陳述：存在，對一切，存在，使依次取，存在，使；，存在，使；，存在，使；把它們相加,得到故當(dāng)時，可使，矛盾所以單調(diào)遞增有上界數(shù)列必定有極限同理可證單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必定有極限。2.2.6 證 設(shè), 若有最大值，則最大值就是的上確界，下設(shè)無

13、最大值。令為的一個上界取，設(shè)，且；將二等分，若右半?yún)^(qū)間中含有中的點，則令它為，否則令左半?yún)^(qū)間為，如此得到且有，；如此無限進行下去，得到一閉區(qū)間列，其中，。則有于是數(shù)列為單調(diào)遞增的有界數(shù)列。由定理可知，數(shù)列必有極限。設(shè)，由的構(gòu)造法則可知，的右邊沒有中的點。則對任意，有，且任給，存在，有所以為的上確界。同理可證有下界的數(shù)集必有下確界。2.3第三個循環(huán)2.3.1 證 假設(shè)不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。將二等分，則其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。記這個子區(qū)間為(如果兩個半?yún)^(qū)間都是如此，可任選其一)，則，且。再將二等分，則其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。記這個子區(qū)間為，且。

14、重復(fù)上述步驟不斷進行下去，則得到一個閉區(qū)間列，它滿足且，則每個，都不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。由的取法可知，數(shù)列單調(diào)遞增有上界，數(shù)列單調(diào)遞減有下界。根據(jù)定理數(shù)列有上確界設(shè)為，數(shù)列有下確界設(shè)為，于是有且對任意，都有：，且對任給，存在，使得，故令，當(dāng)對任意時，有于是再令，則。這表明當(dāng)充分大時已被開區(qū)間所覆蓋。這與的本質(zhì)矛盾。故假設(shè)不成立，即可由中有限個開區(qū)間（至多有個）所覆蓋。2.3.2 證 設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增有上界，考慮區(qū)間，顯然任給(i)當(dāng)是數(shù)列的上界時，必有更小的上界，因而有開鄰域，其中的每一點都是的上界(ii)當(dāng)不是數(shù)列的上界時，必存在，使得。因而有的開鄰域，其中的每一點都不是的上界。對于數(shù)列

15、中的每一點，及中的其它點都存在一個開鄰域(對于的每一個開鄰域除中心外與的交集為空集)它要么屬于第一類，要么屬于第二類。那么，這一切鄰域?qū)⒏采w，由定理可知，存在的有限個開區(qū)間將覆蓋且必在其中。若不收斂，顯然與有限個開區(qū)間的本質(zhì)矛盾。（因為數(shù)列中有無限個點，而每個點的鄰域，左邊無限，右邊有限，故必有除中心外與交集非空的點。）所以收斂。2.3.3 證 設(shè)為有界無窮點集，因此存在，使得。記。將二等分，因為無限點集，故兩個子區(qū)間中至少有一個含有的無窮多個點記此區(qū)間為 (如果兩個半?yún)^(qū)間都是如此，可任選其一)，且。再將二等分，兩個子區(qū)間中至少有一個含有的無窮多個點。記這個子區(qū)間為，且。重復(fù)上述步驟不斷進行下

16、去，則得到一個閉區(qū)間列，它滿足，且每一個都含有中無窮多個點。由的構(gòu)造法則可知，為單調(diào)遞增的有界數(shù)列，為單調(diào)遞減的有界數(shù)列，且由定理可知數(shù)列，極限都存在，設(shè)，則有所以又則有，即所以，對任意的，存在，當(dāng)時有。從而內(nèi)含有的無窮多個點，按定義，是的一個聚點。2.3.4 見2.1.52.3.5 證 設(shè)是滿足定理條件的區(qū)間列。則任給，存在正整數(shù)，當(dāng)時有，由上式及數(shù)列與的單調(diào)性可得：所以數(shù)列與都是列。故數(shù)列與都收斂。又所以，且。下證唯一性設(shè)另有一點使得：，則有，這與矛盾，即存在唯一的點使得：2.3.6 證 設(shè), 有上界取，令，且；將二等分，若右半?yún)^(qū)間中含有中的點，則令它為，否則令左半?yún)^(qū)間為，如此得到且有，；

17、如此無限進行下去，得到一閉區(qū)間列，其中 ， 。由區(qū)間套定義可知，構(gòu)成一區(qū)間套。 根據(jù)定理，存在唯一的實數(shù)下證：因恒為的上界，且，故任意，必有，則這說明是的上界；又因，故任給，存在，使得，而都不是的上界，因此更不是的上界所以成立2.4第四個循環(huán)2.4.1 證 設(shè)為有界無窮點集，因此存在，使得。記。將二等分，因為無限點集，故兩個子區(qū)間中至少有一個含有的無窮多個點記此區(qū)間為 (如果兩個半?yún)^(qū)間都是如此，可任選其一)，有，且。再將二等分，則兩個子區(qū)間中至少有一個含有的無窮多個點。記這個子區(qū)間為，有且。重復(fù)上述步驟不斷進行下去，則得到一個閉區(qū)間列，它滿足(i) (ii)，所以每一個都含有中無窮多個點且，由

18、的構(gòu)造法則可知，為有界數(shù)列，且由定理，可知數(shù)列必有上確界，數(shù)列下確界，設(shè)，則有對任意的，總有； 對任意的，存在，使得。當(dāng)時有所以，對任意的，存在，當(dāng)時有。從而內(nèi)含有的無窮多個點，按定義，是的一個聚點。2.4.2 證 設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增有上界，則。將二等分，如果右半?yún)^(qū)間中含有的點，則記此區(qū)間為，單調(diào)遞增有上界數(shù)列可知，左半?yún)^(qū)間中至多含有由數(shù)列的有限個點。如果右半?yún)^(qū)間中不含的點，則記左半?yún)^(qū)間為，則。再將二等分，如果右半?yún)^(qū)間中含有的點，則記此區(qū)間為，由數(shù)列單調(diào)遞增有上界數(shù)列可知，左半?yún)^(qū)間中至多含有由數(shù)列的有限個點。如果右半?yún)^(qū)間中不含的點，則記左半?yún)^(qū)間為，則。如此繼續(xù)下去，則得到一閉區(qū)間列，且則每個中都含

19、有的無限個點，即每個都是有界無限點集。由聚點定理可知每個都有聚點。由的性質(zhì)可知，有唯一的公共聚點，設(shè)為。又，所以對任意的，存在，當(dāng)時，有所以之外至多含有數(shù)列的有限個點。所以數(shù)列收斂于。2.4.3 證 用反證法 假設(shè)不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。將二等分，則其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。記這個子區(qū)間為(如果兩個半?yún)^(qū)間都是如此，可任選其一)，則，且。再將二等分，則其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。記這個子區(qū)間為，則，且。重復(fù)上述步驟不斷進行下去，則得到一個閉區(qū)間列，它滿足(i)，；(ii)。且中每個閉區(qū)間都不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。由(i)可知：則數(shù)列單調(diào)遞增有上界

20、，數(shù)列單調(diào)遞減有下界。由單調(diào)有界原理，數(shù)列，都有極限。設(shè)，則對任意的，存在，當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；又由(ii)知所以對任意的，存在，當(dāng)時，有故。這表明當(dāng)充分大時，只須用中一個開區(qū)間就能覆蓋，與構(gòu)造時的假設(shè)“不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋”相矛盾。從而證得必存在屬于的有限個開區(qū)間能覆蓋。2.4.4 參見5，56頁2.4.5 參見2，162頁2.4.6 見2.1.62.5第五個循環(huán)2.5.1 見2.4.12.5.2 證 由于，構(gòu)成一個區(qū)間套，于是有： 且所以數(shù)列單調(diào)遞增有上界，數(shù)列單調(diào)遞減有下界。故為有界無限點集，由聚點定理可知存在一點為的一個聚點，即對任意的，對于鄰域都含有中的無窮多個點。由，的性質(zhì)可

21、知它們都有無窮個點包含在內(nèi)，也就是說： 下證的唯一性設(shè)也滿足上式，即，所以有，又由定理條件(ii)得，故所以唯一。2.5.3 證 設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增有上界，則。將二等分，如果右半?yún)^(qū)間中含有的點，則記此區(qū)間為，由數(shù)列單調(diào)遞增有上界數(shù)列可知，左半?yún)^(qū)間中至多含有由數(shù)列的有限個點。如果右半?yún)^(qū)間中不含的點，則記左半?yún)^(qū)間為，則。再將二等分，如果右半?yún)^(qū)間中含有的點，則記此區(qū)間為，由數(shù)列單調(diào)遞增有上界數(shù)列可知，左半?yún)^(qū)間中至多含有由數(shù)列的有限個點。如果右半?yún)^(qū)間中不含的點，則記左半?yún)^(qū)間為，則。如此繼續(xù)下去，則得到一閉區(qū)間列，且則每個外只含有的有限個點，且構(gòu)成區(qū)間套。由定理可知，存在唯一的點。又由定理的推論可知，對任意

22、的，存在，當(dāng)時，有即外最多只有數(shù)列有限項。故收斂于。同理可證對于單調(diào)遞減又下界的數(shù)列也收斂。2.5.4 證 必要性容易證明，下證充分性由數(shù)列為列，即對任給的，存在，使得對一切有即在區(qū)間內(nèi)含有的幾乎所有項(這里及以下，為敘述方便，我們用“中幾乎所有項”表示“中出有限項外的所有項”)。據(jù)此，令，則存在，在區(qū)間內(nèi)含有的幾乎所有項。記這個區(qū)間為。再令，則存在，在區(qū)間內(nèi)含有的幾乎所有項。記。它也含有的幾乎所有項，且及。繼續(xù)依次令，按照上面的方法得到一閉區(qū)間列，其中每一個區(qū)間都含有的幾乎所有項，且滿足 故數(shù)列單調(diào)遞增有上界，數(shù)列單調(diào)遞減有下界。由單調(diào)有界原理可得，的極限都存在，分別設(shè)為和。又由 可得下證就

23、是數(shù)列的極限。事實上，由定理的推論可知，對任給的，存在，使得對一切時有。因此在內(nèi)含有中出有限項外的所有項，這就證得。2.5.5 證 設(shè)閉區(qū)間被開區(qū)間集所覆蓋，記為，在中取中的一點記作，得到新的區(qū)間。在中取中的一點記作，得到新的區(qū)間。如此繼續(xù)下去可以得到一無窮點列記作：，且。下證數(shù)列為列。若從某一項開始恒為一個值，則必定滿足條件。下設(shè)不是從某開始開始恒為一個值的數(shù)列，由取法可知，數(shù)列隨著的增大并趨近于無窮，對于任意的，從某項起之后各項（不只是相鄰項）之間的差值都會小于，即對于任意的，存在(設(shè)為)當(dāng)時有所以數(shù)列為列。由此可知，無論何種情況，數(shù)列為列，所以收斂。從的選法知，設(shè)，即對任意的，存在，使得

24、當(dāng)時有也就是下設(shè)，則也就是說可以由中的有限個開區(qū)間來覆蓋（至多個）。2.5.6 證 設(shè)，對于任意的，存在，使得，任給，考慮區(qū)間。假設(shè)沒有上確界，那么任意對于i）當(dāng)是的上界時，必有更小的上界。因而有開鄰域，其中的每一點都是的上界;ii）當(dāng)不是的上界時，有中的點，于是有開鄰域，其中的每一點都不是的上界。必居其一而且只能據(jù)其一。這些鄰域?qū)⒏采w。由定理可得，存在的有限個子開區(qū)間將覆蓋。注意：所在的開區(qū)間應(yīng)為第一類的，相鄰接的區(qū)域有公共點也應(yīng)為第一類的，經(jīng)過有限次鄰接可知所在的鄰域也是第一類的。這便得出矛盾，即假設(shè)不成立有上確界。2.6第六個循環(huán)2.6.1 證 必要性顯然下證充分性若由數(shù)列為列，即對任意，存在，當(dāng)時，有則收斂。由2.1.5知，數(shù)列為有界數(shù)列。根據(jù)定理令，得因由數(shù)列為列，即任給，存在，當(dāng)時，有，則收斂，故有結(jié)合，可得依，得由得任意性可得故即所以數(shù)列收斂。2.6.2 證 設(shè)為實數(shù)域上的有界無限點集，我們來證它有聚點。不妨設(shè)的一個上界，一個下界為。在中取中的一點記作，得到新的區(qū)間。在中取中的一點記作，得到新的區(qū)間。如此繼續(xù)下去可以得到一無窮點列記作：由的取法可知，總存在，當(dāng)，有。下證數(shù)列是列。若從某一項開始恒為一個值，則必定滿足條件。下設(shè)不是從某開始開始恒為一個值的數(shù)列，由取法可知，數(shù)