函數(shù)周期性分類解析以及習(xí)題練習(xí)

1、函數(shù)周期性分類解析一定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。二重要結(jié)論1、，則是以為周期的周期函數(shù)；2、 若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=-f(x)(a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期。3、 若函數(shù)，則是以為周期的周期函數(shù)4、 y=f(x)滿足f(x+a)= (a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期。5、若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)= (a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期。6、，則是以為周期的周期函數(shù).7、，則是以為周期的周期函數(shù).8、 若函數(shù)y=f(x)滿足f

2、(x+a)= (xR，a>0),則f(x)為周期函數(shù)且4a是它的一個(gè)周期。9、 若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a,x=b(b>a)都對稱,則f(x)為周期函數(shù)且2（b-a）是它的一個(gè)周期。10、函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)、都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；11、函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對稱，則函數(shù) 是以為周期的周期函數(shù)；12、 若偶函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)為周期函數(shù)且2是它的一個(gè)周期。13、若奇函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)為周期函數(shù)且4是它的一個(gè)周期。14、若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),

3、則f(x)為周期函數(shù),6a是它的一個(gè)周期。15、若奇函數(shù)y=f(x)滿足f(x+T)=f(x)(xR，T0),則f()=0.三、典例講解例1（05.福建12）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（ ）A6B7C4D5例2. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對任意的x，y有，并存在正實(shí)數(shù)c，使。試問是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期；若不是，請說明理由。 例3. 已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足：，求的值。例4.（2009江西卷文）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當(dāng)時(shí)，則的值為 （ ）A B C D例5. （天津卷05）設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f

4、(x)的圖象關(guān)于直線對稱，則f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _例6（07安徽）定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，則可能為 （ ） A.0B.1C.3D.5 四、鞏固練習(xí) 已知偶函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則的值為 2設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對于任意的，都有，當(dāng)時(shí)，則 3知是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，滿足，且時(shí)，.求時(shí)，的表達(dá)式；證明是上的奇函數(shù)（朝陽模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且滿足，又，求的值高三數(shù)學(xué)恒成立問題的類型及求解策略 恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元

5、、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，也為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)?，F(xiàn)將高中數(shù)學(xué)中常見的恒成立問題進(jìn)行歸類和探討。一、 一次函數(shù)型：給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于）或）亦可合并定成同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)<0，則有例1、 對于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。二、 二次函數(shù)型若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a0)大于0恒成立，則有若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)

6、的分布知識求解。例2定義在上的減函數(shù)，如果不等式組對任何都成立，求的取值范圍。例3關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范圍。三、 變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例4已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。例5若不等式>對于大于1的一切自然數(shù)n都成立, 求自然數(shù)m的最大值, 并證明所得結(jié)論。四、 直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等

7、號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例6、當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。五根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)例7 若f(x)=sin(x+)+cos(x-)為偶函數(shù)，求的值。六利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題例8已知函數(shù)f（x）=，其中a>0. （）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2）處的切線方程；（）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.函數(shù)的對稱性與周期性一 函數(shù)的對稱性（一）函數(shù)圖象的自對稱所謂函數(shù)圖象的自對稱是指一個(gè)函數(shù)圖象的對稱(中心對稱或軸對稱

8、)圖象是其本身.關(guān)于函數(shù)圖象的自對稱,有下列性質(zhì):1、奇函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱，反之亦然。2、二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱。3、三角函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱，它也有對稱中心是 ； 的圖象的對稱軸是 ，對稱中心是 。4、函數(shù)若對于定義域內(nèi)任意一個(gè)都有，則其圖象關(guān)于直線 對稱。5、函數(shù)若對于定義域內(nèi)任意一個(gè)都有，則其圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱。6、曲線關(guān)于直線與（）對稱，則是周期函數(shù)且周期為（二）函數(shù)圖象的互對稱 所謂函數(shù)圖象的互對稱是指兩個(gè)函數(shù)圖象的上的點(diǎn)一一對應(yīng)，且對應(yīng)點(diǎn)相互對稱（中心對稱或軸對稱）。關(guān)于函數(shù)圖象的互對稱,有下列性質(zhì):1、互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱；反

9、之， 。2、函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱。3、函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱。4、函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱。二 函數(shù)的周期性如果函數(shù)yf(x)對于定義域內(nèi)任意的x，存在一個(gè)不等于0的常數(shù)T，使得f(xT)f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期.一般情況下，如果T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(kN)也是f(x)的周期.關(guān)于函數(shù)的周期性的結(jié)論：1、已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù),都有,則是以 為周期的函數(shù)；2、已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù),都有=,則是以 為周期的函數(shù)；3、已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù),都有=-,則是以 為周期的函數(shù).4、已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù),都有，則是以 為周期的函數(shù)5、已知函數(shù)對任意

10、實(shí)數(shù),都有f(xm)f(xm),則 是的一個(gè)周期.6、已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù),都有f(xm),則 是f(x)的一個(gè)周期.7、已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù),都有f(xm),求證:4m是f(x)的一個(gè)周期.1 證明：由已知f(x2m)f(xm)m 于是f(x4m)f(x)所以f(x)是以4m為周期的周期函數(shù).8、已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求證:2|ab|是f(x)的一個(gè)周期.(ab)證明：不妨設(shè)ab于是f(x2(ab)f(a(xa2b) f(a(xa2b)f(2bx)f(b(xb) f(b(xb)f(x) 2(ab)是f(x)的一個(gè)周期當(dāng)ab時(shí)同理可得所以，2

11、|ab|是f(x)的周期例題應(yīng)用1、已知是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱軸是（ ） A. B. C . D. 2、函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A . B. C. D. 3、函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是（ ）A. B. C. D. 4、如果函數(shù)f(x)x2bxc對任意實(shí)數(shù)t都有f(2t)f(2t)，那么A.f(2)f(1)f(4) B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)f(1)5、函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（ ）A. 1 B. C. D. 6、如果直線與均為曲線的對稱軸且則的值為 。7、是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時(shí)

12、，則當(dāng)時(shí)，= 。8、如果直線與直線關(guān)于直線對稱，則= ，= 。9、設(shè)函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)與的圖象關(guān)于（ ）A. 直線對稱 B.直線對稱 C. 直線對稱 D.直線對稱10、 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镹，且對任意正整數(shù)x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因?yàn)閒(x)f(x1)f(x1) 所以f(x1)f(x)f(x2) 兩式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x) f(x6)f(x) f(x)是以6為周期的周期函數(shù) 20046×334 f(2004)f(0)200411、 已知對于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(

13、b)，且f(x)0求證：f(x)是偶函數(shù)；若存在正整數(shù)m使得f(m)0，求滿足f(xT)f(x)的一個(gè)T值(T0)證明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x)所以，f(x)為偶函數(shù)令axm，bm 得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m f(x2m) f(x)即T4m(周期函數(shù))a) 數(shù)列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6為周期的周期數(shù)列，于是a

14、100a6×164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a1000a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a)2bab) 對每一個(gè)實(shí)數(shù)對x,y,函數(shù)f(t)滿足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,試求滿足f(a)a的所有整數(shù)a.解：令xy0，得f(0)1再令xy1，得f(2)2f(1)2，又f(2)2所以f(1)2又令x1，y1，可得f1令xy1得f2f114令y1，得f(x1)f(x)x2即f(x1)f(x)x2 當(dāng)x取任意正整數(shù)時(shí)，f(x1)f(x)0又f10所以f(x)0于是f(x1)f(x)x2

15、x1即對任意大于1的正整數(shù)t，f(t)t在中，令x3，得f(3)1，進(jìn)一步可得f(4)1注意到f(x)f(x1)(x2)所以當(dāng)x4時(shí)，f(x)f(x1)0即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1所以x4時(shí)，f(x)x綜上所述，滿足f(a)a的整數(shù)只有a1或a2練習(xí)題二次函數(shù)的對稱性1已知是二次函數(shù)，圖象開口向上, 比較大小。2若二次函數(shù)的圖象開口向下，且f(x)=f(4-x),比較的大小。3二次函數(shù)滿足,求的頂點(diǎn)的坐標(biāo)。4已知,且.（1）寫出的關(guān)系式 （2）指出的單調(diào)區(qū)間。5設(shè)二次函數(shù)滿足,圖象與軸交點(diǎn)為（0, 2），與軸兩交點(diǎn)間的距離為2，求的解析式。函數(shù)的對稱性、周期性與函數(shù)的解析式1已知

16、是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,求的解析式.2已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,求的解析式.3已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱, 求的解析式。4設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，若當(dāng)x1時(shí)，y=x21，求當(dāng)x>1時(shí), ,f(x)的解析式. 5設(shè) , 求 關(guān)于直線對稱的曲線的解析式. 6已知函數(shù)是偶函數(shù)，且x(0,+)時(shí)有f(x)=, 求當(dāng)x(,2)時(shí), 求 的解析式. 7已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，又的圖象關(guān)于直線對稱，求在的解析式. 定義在上的偶函數(shù)滿足且當(dāng)時(shí),.（1）求的單調(diào)區(qū)間;（2）求的值.8定義在R上的函數(shù)f(x)以4為周期,當(dāng)x1,3時(shí),f(x)=|x1|1, 求當(dāng)x16,14時(shí)f(

17、x)的最小值。9設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(,)上以2為周期的函數(shù),對kZ,用表示區(qū)間(2k1,2k+1,已知xI0時(shí), 求f(x)在Ik上的解析式.10設(shè)是定義在（-,+）上的函數(shù)，對一切R均有，當(dāng)1時(shí)，求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式。11 設(shè)f(x)是定義在(,+)上以2為周期的周期函數(shù),且f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x2,3時(shí),f(x)=2(x3)2+4. （1）求x1,2時(shí),f(x)的解析式. （2）若矩形ABCD的兩個(gè)項(xiàng)點(diǎn)A、B在x軸上,C、D在函數(shù)y=f(x)有圖像上(0x2),求這個(gè)矩形面積的最大值. 函數(shù)圖象變換與函數(shù)解析式1設(shè)函數(shù)y=tanx的圖像沿x軸正方向平移2個(gè)單位所得的圖像為C,又設(shè)圖像C

18、與C關(guān)于原點(diǎn)對稱, 求C所對應(yīng)的函數(shù)解析式. 2將函數(shù)的圖像向左平移一個(gè)單位，得到圖像；再將向上平移一個(gè)單位得到，作出關(guān)于直線對稱的圖像，求的解析式.3把函數(shù)的圖像沿x軸向右平移1個(gè)單位,所得圖像記為C, 求C關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖像的函數(shù)表達(dá)式.4將函數(shù)的圖像沿x軸向左平移一個(gè)單位,再沿y軸翻折180o,得到的圖像, 求的解析式. 5將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的一半，再將所得圖象，沿x軸方向向右平移個(gè)單位長度，求所得新圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式.6將函數(shù)y=cosx的圖像沿x軸向左平移得到曲線C,又設(shè)曲線C與C關(guān)于原點(diǎn)對稱, 求C對的函數(shù)解析式.7已知函數(shù)y=3x的圖象為C1

19、，曲線C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對稱，求C2的解析式.8將函數(shù)的圖象向左移a(a0)個(gè)單位得到圖象C1，又C1和C2的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，求C2的解析式.一.周期函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，若存在常數(shù)T0，使得對一切xD，且x+TD時(shí)都有f(x+T)=f(x)，則稱y=f(x)為D上的周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫這個(gè)函數(shù)的周期。二.常見結(jié)論 (約定a>0)（1），則的周期T=a；（2），或或，或,則的周期T=2a；例1：設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且5，則_，_答：5，5例2：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)0x1，2x，則_答：1例3：設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且， 2，則_答：2(3)，則的周

20、期T=3a；(4)且，或則的周期T=4a；(5),則的周期T=5a；(6)，則的周期T=6a.(7) 若f(a + x)=f(ax) 且f(x) 是偶函數(shù),則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；若f(a + x)=f(ax) 且f(x) 是奇函數(shù),則y=f(x)是周期為4a的周期函數(shù)。（8）若f(a + x)=f(ax) 且f(x) 是偶函數(shù),則y=f(x)是周期為4a的周期函數(shù)；若f(a + x)=f(ax) 且f(x) 是奇函數(shù),則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)。（9）若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2的周期函數(shù)；（10）y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=

21、a,x=b(ab)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；（11）如果函數(shù)的圖像有一個(gè)對稱中心和一條對稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為；三.練習(xí)1、函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則_2、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),則,f(6)的值為(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)23已知函數(shù)是一個(gè)以4為最小正周期的奇函數(shù)，則（ ）A0B4C4D不能確定4定義在R上的函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期為T，若函數(shù)，時(shí)有反函數(shù)，則函數(shù)，的反函數(shù)為（ ）ABCD6函數(shù)f (x)為奇函數(shù)且f (3x+1)的周期為3，f (1)=1，則f (2006)等于 A0 B1 C一1 D27 設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則等于_(答：)；8定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則的大小關(guān)系為_(答：)；9已知是偶函數(shù)，且=993，=是奇函數(shù)，求的值(答：993)；10設(shè)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且，又，則=(答：)11已知定義在上的函數(shù)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有_個(gè)實(shí)數(shù)根（答：5）12已知是定義在上的函數(shù)，且，則（ ）A. 周期為20的奇函數(shù) B. 周期為20的偶函數(shù)C. 周期為40的奇函數(shù) D. 周期為40的偶函數(shù)（答：C） 熟悉并理解上述結(jié)論，可幫助我們快速完成下列習(xí)題