若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)（課堂PPT）

1、1行列式因子和不變因子行列式因子和不變因子11( )( )( )( )(1,2, ). (2)kkDdddkr211211( )( )( )( ), ( ), , ( )(3). ( )( )rrrDDdDddDD 2 38.6 8.6 若爾當(dāng)若爾當(dāng)(Jordan)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形舉例舉例矩陣相似的條件矩陣相似的條件4設(shè)有若爾當(dāng)塊設(shè)有若爾當(dāng)塊nnJ00001000010001000若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子則其初等因子為則其初等因子為 ( - 0)n .若若爾爾當(dāng)當(dāng)

2、塊塊的的初初等等因因子子每個若爾當(dāng)塊完全被它的每個若爾當(dāng)塊完全被它的級數(shù)級數(shù) n 與主對角線上元素與主對角線上元素它們它們都反映在都反映在J0的初等因子的初等因子( - 0)n 中中.因此，若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定因此，若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定. 0 所刻劃，所刻劃，5考慮它的特征矩陣考慮它的特征矩陣.10000100010000000JE顯然顯然 | E - J0 | = ( - 0)n ，這就是，這就是 E - J0 的的 n 級級行列式因子行列式因子. 由于由于 E - J0 有一個有一個 n - 1 級子式級子式6,) 1(10001000010001100n所以它的所以它

3、的 n - 1 級行列式因子是級行列式因子是 1 ，從而它以下各，從而它以下各級的行列式因子全是級的行列式因子全是 1 . 因此，它的不變因子為因此，它的不變因子為d1( ) = = dn-1( ) = 1 , dn( ) = ( - 0)n .由此即得，由此即得， E - J0 的初等因子為的初等因子為 ( - 0)n .7若若爾爾當(dāng)當(dāng)矩矩陣陣的的初初等等因因子子設(shè)設(shè)sJJJJ21是一個若爾當(dāng)形矩陣，其中是一個若爾當(dāng)形矩陣，其中)., 2 , 1(1000010001000siJiiii8既然既然 Ji 的初等因子是的初等因子是, ), 2 , 1()(siiki所以所以 E- Ji 與與1

4、1()iki等價等價. 于是于是skkkJEJEJEJEs2121與與9skskk)(11)(11)(112121等價等價.10因此，因此，J 的全部初等因子是：的全部初等因子是：.)(,)(,)(2121skskk即，每個若爾當(dāng)形矩陣的全部初等因子即，每個若爾當(dāng)形矩陣的全部初等因子就是就是由它的由它的全部若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的全部若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的.又由于，又由于，若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定.由此可見由此可見, 若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊排列若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊排列的次序外是被它的初等因子唯一決定的次序外是被它的初等因子唯一決定.11 設(shè)設(shè)

5、 n 級矩陣級矩陣 A 的初等因子為的初等因子為skskk)(,)(,)(2121矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形其中其中 1 , 2 , , s 可能有相同的，指數(shù)可能有相同的，指數(shù) k1 , k2 , , ks 也可能有相同的也可能有相同的. 每一初等因子每一初等因子iki)(對應(yīng)對應(yīng)于一個若爾當(dāng)塊于一個若爾當(dāng)塊12)., 2 , 1(1000010001000siJiiii這些若爾當(dāng)塊構(gòu)成一若爾當(dāng)形矩陣這些若爾當(dāng)塊構(gòu)成一若爾當(dāng)形矩陣.21sJJJJ13則則J 的初等因子也是的初等因子也是skskk)( ,)( ,)(2121因為因為 J 與與 A 有相同的初等因子，所以它們相似有相同

6、的初等因子，所以它們相似.如果另一若爾當(dāng)形矩陣如果另一若爾當(dāng)形矩陣 J 與與 A 相似，那么相似，那么 J 與與 A 就有相同的初等因子，因此就有相同的初等因子，因此 J 與與 J 除了其中除了其中若爾當(dāng)塊若爾當(dāng)塊排列的次序外排列的次序外是相同的是相同的, 由此即得由此即得唯一性唯一性.14 設(shè)設(shè) 12 級矩陣的不變因子是級矩陣的不變因子是( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 . 1, 1, , 1 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 ( + 1 ) ,9 個個按定義，它的初等因子有按定義，它的初等因子有 7 個，即個，即( - 1 )2 , ( - 1 )2 , (

7、- 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) , ( - i )2 , ( + i )2 .于是其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為于是其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為舉例舉例151212i10ii10i1111011101110116 求下列矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形求下列矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形126103 .114A 先求先求 A 的初等因子的初等因子.12613114EA1720132011114 21000110132 1821000110021 210001000(1)因此因此 A 的初等因子是的初等因子是 - 1 , ( - 1 )2 .A 的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是.11001000119換成線性變換的語言來說就

8、是：換成線性變換的語言來說就是： 矩陣相似的條件矩陣相似的條件20在在 V 中任取一組基中任取一組基 1 , 2 , , n , 設(shè)設(shè)A 在這組基下的矩陣是在這組基下的矩陣是 A .由由存在可逆矩陣存在可逆矩陣 T，使，使 T-1AT 成若爾當(dāng)形矩陣成若爾當(dāng)形矩陣.于是在由于是在由( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n ) T確定的基確定的基 1 , 2 , , n 下，線性變換下，線性變換 A 的矩陣的矩陣就是就是 T-1AT .由定理由定理 10，唯一性是顯然的，唯一性是顯然的.21對角矩陣是由一級若爾當(dāng)塊構(gòu)成的若爾當(dāng)形矩陣對角矩陣是由一級若爾當(dāng)塊構(gòu)成的若爾當(dāng)形矩陣

9、 分析：分析：矩陣矩陣 A 的最小多項式是的最小多項式是 A 的最后一個不變因子的最后一個不變因子 dn(x). 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形由一級若爾當(dāng)塊構(gòu)成若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形由一級若爾當(dāng)塊構(gòu)成22當(dāng)規(guī)定上三角形矩陣當(dāng)規(guī)定上三角形矩陣00000000100000100001為若爾當(dāng)塊時，上述結(jié)論都成立為若爾當(dāng)塊時，上述結(jié)論都成立.23若爾當(dāng)塊若爾當(dāng)塊nnJ00001000010001000與初等因子與初等因子 ( - 0)n 相互唯一確定相互唯一確定.小小 結(jié)結(jié)24sJJJJ21若爾當(dāng)形矩陣若爾當(dāng)形矩陣相互唯一確定相互唯一確定.skskk)( ,)( ,)(2121()iki是若爾當(dāng)塊是若爾當(dāng)塊Ji的初等因子的初

10、等因子.其中其中與初等因子與初等因子25求一個求一個 n 級矩陣級矩陣A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的方法：的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的方法：步步1 寫出矩陣寫出矩陣A的特征矩陣的特征矩陣 E - A步步2 用用 -矩陣的矩陣的初等變換將初等變換將 E A化為對角形矩陣化為對角形矩陣步步3 將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因?qū)⒅鲗蔷€上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，得到式方冪的乘積，得到A的全部初等因子的全部初等因子.步步4 根據(jù)初等因子寫出矩陣根據(jù)初等因子寫出矩陣A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.26 求下列矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形求下列矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.8342221392452112)2(;539649214) 1 (BA27先求先求 A 的初等因子的初等因子.539649214AE.) 1(000100012因此因此 A 的初等因子是的初等因子是 - 1 , ( - 1 )2 .若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是.11001000128先求先求 B 的初等因子的初等因子.8342221392452112BE.) 1(111329所以初等因子為所以初等因子為.) 1( ,13若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為.110001100010000130