2016年高考全國2卷理數試題及答案

1、2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學注意事項：1 .本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至3頁，第n卷3至5頁.2 .答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置3 .全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效4 .考試結束后，將本試題和答題卡一并交回.第I卷2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(四川卷)數學(理工類)一、選擇題：本大題共 10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有 一個是符合題目要求的。1 .設集合A=x|2 Mx M2 , Z為整數集，則 AH Z中元素的個數是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D)

2、62 .設i為虛數單位，則(x十i)6的展開式中含X4的項為(A) 15x4 (B) 15x4 (C) 20i x4 (D) 20i x4.一 . 一 .，一冗、 .一.,八 3 .為了得到函數y =sin(2x-一)的圖象，只需把函數 y = sin 2x的圖象上所有的點3.-底 正(A)向左平行移動個單位長度(B)向右平行移動三個單位長度33.-底 正(C)向左平行移動 一個單位長度(D)向右平行移動 一個單位長度664 .用數字1, 2, 3, 4, 5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為 (A) 24 (B) 48 (C) 60 (D) 725 .某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研

3、發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金 130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數據：lg 1.12=0.05, lg 1.3=0.11, lg2=0.30)(A) 2018 年(B) 2019 年(C) 2020 年(D) 2021 年6 .秦九韶是我國南宋使其的數學家，普州(現四川省安岳縣)人，他在所著的數書九章中 提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n, x的值分別為3, 2,則輸出v的值為MM(A) 9(B) 18

4、(C) 20(D) 35y _ x -1,y ,7 .設p：實數x, y滿足(x- 1)2- (y- 1)2, q：實數x, y滿足y之1x,則p是q的JE1,(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件28 .設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線 y =2px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且PM =2 MF，則直線OM的斜率的最大值為(A)旦(B) 2 (C) (D) 1332ln x,0 二 x 二 1一9 .設直線l1, l2分別是函數f(x)=圖象上點Pi, P2處的切線，l1與l2垂直相交In x, x 1,于點P,且l1，l2

5、分別與y軸相交于點A, B,則4 PAB的面積的取值范圍是(A) (0,1)(B) (0,2)(C) (0,+8)(D) (1,+8)10 .在平面內，定點 A, B, C, D 滿足 DA' = DB'= DC ,DA . DB = DB . DC = DC - DA =-2, 2動點P, M滿足AP =1, PM =MC ,則BM 2的最大值是(A)竺(B) 49 (C) 37+6 (D) 37+ 2后 4444二、填空題：本大題共 5小題，每小題5分，共25分。一 2九.2九11 .cos - -sin =.8812 .同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上

6、時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數 X的均值是.13 .已知三棱鏡的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是。14 .已知函數f （x）是定義在R上的周期為2的奇函數，當0VXV 1時，f （x） 4',則f （一）+ f （1） =。15.在平面直角坐標系中，當 P（x, y）不是原點時，定義 P的“伴隨點”為P'T 2x y-x當P是原點時，定義 P的“伴隨點”為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構成的曲線C定義為曲線C的“伴隨曲線”.現有下列命題: 若點A的伴隨點”是點A ,則點A'的“伴隨點”是點A單位圓的“伴

7、隨曲線”是它自身； _ , . . . ,若曲線C關于x軸對稱，則其“伴隨曲線” C關于y軸對稱；一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是 （寫出所有真命題的序列）.三、解答題：本大題共 6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16 .（本小題滿分12分）我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x （噸）、一位居民的月用水量不超過 x的部分按平價收費，超出 x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸） ，將數據按照0,0.5）, 0.5

8、,1）,，4,4.5）分成9組，制 成了如圖所示的頻率分布直方圖 .砌4.母用水星噸）(I)求直方圖中a的值；(II)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，并說明理由；(III)若該市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超過標準x (噸)，估計x的值，并說明理由.17 .(本小題滿分12分)在 ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,G且cosA+cosBrsnC a b c(I)證明：sin AsinB =sinC ；(II)若 b2 c226,-a = 一bc,求 tan B .518 .(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD 中，AD / BC, /

9、 ADC= / PAB=90 ° , BC=CD= - AD E 為邊2AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90(I)在平面PAB內找一點M,使得直線 CM/平面PBE,并說明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45° ,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值19 .(本小題滿分12分)已知數列an的首項為1, Sn為數列an的前n項和，Sn41 =qSn+1 ,其中q>0, nW N(I)若2a2, a3, a2 +2成等差數列，求an的通項公式;2y2、-55、一4n -3n(ii)設雙曲線x 一七=1的離心率為en,且牝=一，證明：e1十牝十,十2>

10、;b a23320 .(本小題滿分13分)已知橢圓E:的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點 T.(I)求橢圓E的方程及點T的坐標；(II)設O是坐標原點，直線l'平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點 A、B,且與直線l交于點P.證明：存在常數 入，使得I PT I 2=入I PA I - I PB I ,并求入的值.21 .(本小題滿分14分)設函數 f(x)=ax2-a-inx,其中 a R.(I)討論f(x)的單調性；(II)確定a的所有可能取值，使得f(x)-e1-x+在區(qū)間(1, +8)內恒成立(e=2.718為自然X對數的底數)

11、。、ACCDABCBCDCAB(13)2113(14)(15) (1,3)(16) 1 -ln 2三、解答題:(17)【解析】設% 的公差為d , S7 =7a4 =28 ,a4 =4 , d =a4 丁 =1 , an =a1 +(n -1)d =n .b =ig a1 1= fg1 1=0 , b11 =Ug a1 1= fg111=1 , bid = Ug .011= M101 = 2 .記疝的前n項和為Tn ,則T100O =b +b +“。= Hga1 + ig a2 + + Sga100o .當 0w lgan 父1 時，n=1, 2,，9 ;當 1w lgan <2 時，n

12、 =10, 11,，99 ;當 2&lgan <3 時, 當 Iga。=3 時，n =1000.T1000 =0X9 +1X90 +2X900+3X1 =1893 .(18)(【解析】設續(xù)保人本年度的保費高于基本保費為事件A,P(A) =1 P(A) =1 -(0.30 +0.15) =0.55 .設續(xù)保人保費比基本保費高出60%為事件B ,P(B A)=P(AB)P(A)0.10 0.05 _ 30.5511解：設本年度所交保費為隨機變量X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保費EX =0.85 0.30 0.15a

13、 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05=0.255a +0.15a +0.25a 十 0.3a 十0.175a + 0.1a = 1.23a ,平均保費與基本保費比值為1.23.(19)17B5【解析】證明：.AE=CF=5,4，,AE CF -=,AD CDEF II AC .四邊形ABCD為菱形，:.AC_LBD,EF _LBD ,EF _LDH ,EF _LDH .AC =6,AO =3;又 AB =5, AO_LOB,OB =4 , AE /OH =OD=1 , AODH =DH =3 ,od 2 =|oh|2 +|d'h 2,D

14、9;H ±OH .又OH I EF =H ,D'H 上面 ABCD .建立如圖坐標系H _xyz .B(5,0,0), C(1,3,0), D'(0,0,3), A(1 , 3 , 0 ),uuuAC =(0, 6, 0 ,uuuuuurAB =(4, 3, 0 ), AD'=(-1, 3, 3 %ur設面ABD,法向量ni =(x, y , z),. ri AB ,= 0 4x 3y =0r1 AD： =0-x 3y 3z =0x =3取y = Y ,|z 二5urni =(3, 4,5 uu同理可得面 AD,C的法向量n2 =(3,0,1),ur uu_

15、9 57 5=5 2 10 = 25sin=2 x- y =1 , A 點坐標為(一2, 0), 3 95 25(20)【解析】當t =4時，橢圓E的方程為則直線AM的方程為y=k(x+2).222_23 4k2 x2 16k2x 16k2 12=02解得 x=<或 x=_8k -63 4k，則 AM = 1 k28k2 -61723 4k=1 k212_23 4k11 2因為 AM _LAN，所以 A k J12一 29 = 1k1 23 4 11 - ,k1243k k因為 |AM|=|AN|, k>0,212所以1 *3 4k2=1 k2123k24 ,整理得（k1）（4k

16、k +4 ）=0, + k4k2 -k +4=0無實根，所以k二11所以AAMN的面積為1 AM2=11 12 .121443 449 22x y =1聯立443 一并整理得,y =k x 2k2 1 k -2:0直線AM的方程為y=k(x+%t), 22x y =1聯立 4 t 3 并整理得，（3+tk2 ）x2+2t4k2x+t2k2 3t =0 y =k x tt tk2 -3 t213 tk所以 AM =、：1 k2t tk2 -3 t3 tk2=1 k26 t3 tk23k因為2 AM二AN2 1k26 t所以 2 ' 1k 3 tk26t"1 k t ,整理得,3

17、kk26k -3kk3 -2因為橢圓E的焦點在x軸，所以t>3,即26k -3kk3 -2整理得k3 -2(21)【解析】證明:x -2x 2(22)xf x =e1 x -24x2exI - +22l.3 aw 10, 1 )+2 (x+2) ) I"2)當 xjq, -2J (-2, + 8 H, f'(x)>0 f （x ）在（血，-2加（-2, +4了:單調遞增x>0 時，2 ex > f (0 f -1 x 2 x -2 ex x 2 0ex -a x2 -2x ex -ax -ax xex - 2ex，ax，2ail-x2ex +ax 2

18、一一 x-2由（1）知，當x>0時，f（x戶x 2的值域為（-1, 十厘），只有一解.t 2 t, 八八】使得e = -a , t = (0 , 2t 2當 x W(0,t)時 g <x) <0 , g(x)單調減；當xW (t,在)時 g'(x) >0 , g(x)單調增et-a(t +1)/4 十1 e ett2t2t記k（t戶含,在tJ0, 2】時,k '(t )=e-"?>0，.- k(t )單調遞增 t 21e2 h (a )=k (t )匚 | 一 , 一 .24請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號【解析】(I )證明： DF 1CERt:A DEF sRDCEDZGDF ./DEF ZBCFDF _CFDG BC. DE =DG, CD =BCDF CFDG BCAGDF sBCF/CFB ZDFGZGFB ZGFC ZCFB ZGFC dDFG /DFC =90 /GFB+/GCB=180 %.B, C,