人教版高中數(shù)學(xué)選修（2-1）-3.2《立體幾何中的向量方法（第1課時(shí)）》教學(xué)課件3

1、3.2立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法(1)空間向量與平行關(guān)系空間向量與平行關(guān)系平面直線的方向向量平面直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線直線的方向向量是指和這條直線_的向量的向量平行或共線平行或共線復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入設(shè)直線設(shè)直線l，m的方向向量分別為的方向向量分別為a(a1，b1)，b(a2，b2)，則，則lmab_a1a2，b1b2，c1c2(R)ab空間直線的方向向量空間直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線直線的方向向量是指和這條直線_的向量的向量想一想想一想：直線的方向向量唯一嗎？若不唯一，它們之間有直線的方向向量唯一嗎？若不唯一，它們之間有怎樣的關(guān)系？怎樣的關(guān)系？提

2、示提示不唯一直線的方向向量有無(wú)數(shù)條，它們都是平行不唯一直線的方向向量有無(wú)數(shù)條，它們都是平行向量向量1平行或共線平行或共線概念講解概念講解平面的法向量平面的法向量直線直線l，取直線，取直線l的的_，則，則a叫做平面叫做平面的法向量的法向量想一想想一想：平面的法向量唯一嗎？若不唯一，它們之間的關(guān)系怎樣？平面的法向量唯一嗎？若不唯一，它們之間的關(guān)系怎樣？提示提示不唯一，平面的法向量有無(wú)數(shù)條，它們都是平行向量不唯一，平面的法向量有無(wú)數(shù)條，它們都是平行向量空間平行關(guān)系的向量表示空間平行關(guān)系的向量表示(1)線線平行線線平行設(shè)直線設(shè)直線l，m的方向向量分別為的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，

3、b2，c2)，則則lmab_a1a2，b1b2，c1c2(R)23方向向量方向向量aab設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面，平面的法向量為的法向量為u(a2，b2，c2)，則，則lau_ _ _ (3)面面平行面面平行設(shè)平面設(shè)平面，的法向量分別為的法向量分別為u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，則則uv_ _ (R)試一試試一試：證明過(guò)程中，如何確定直線的方向向量和平面的法向量？證明過(guò)程中，如何確定直線的方向向量和平面的法向量？提示提示實(shí)際應(yīng)用中，直線的方向向量即把線段看作有向線段時(shí)表實(shí)際應(yīng)用中，直線的方向向量即把線段看作有向線段時(shí)表示的向量，平面的

4、法向量一般可建系后用待定系數(shù)法求出示的向量，平面的法向量一般可建系后用待定系數(shù)法求出au0a1a2b1b2uva1a2，b1b2，c1c2c1c20(2)線面平行線面平行平面法向量的求法平面法向量的求法(1)當(dāng)已知平面的垂線時(shí)，在垂線上取一非零向量即可作為平面的法向量當(dāng)已知平面的垂線時(shí)，在垂線上取一非零向量即可作為平面的法向量(2)當(dāng)已知平面當(dāng)已知平面內(nèi)兩不共線向量?jī)?nèi)兩不共線向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)時(shí)，常用待定系時(shí)，常用待定系數(shù)法求法向量：數(shù)法求法向量：1在上述方程組中，對(duì)在上述方程組中，對(duì)x，y，z中的任一個(gè)賦值，求出另兩中的任一個(gè)賦值，求出另兩個(gè)，所得個(gè)，所得n即

5、為平面的法向量即為平面的法向量用向量方法證明空間中的平行關(guān)系用向量方法證明空間中的平行關(guān)系線線線線平行平行設(shè)直線設(shè)直線l1，l2的方向向量分別是的方向向量分別是a，b，則要證明，則要證明l1l2，只需證明，只需證明ab，即，即akb(kR).線面線面平行平行設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量是的方向向量是a，平面，平面的法向量是的法向量是u，則要，則要證明證明l，只需證明，只需證明au，即，即au0.根據(jù)線面平行判定定理在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知根據(jù)線面平行判定定理在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可直線的方向向量是共線向量即可.證明一條直線證明一條直線l與一個(gè)平面與一個(gè)平面平行，只需證明

6、平行，只需證明l的方向的方向向量能用平面向量能用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示.面面面面平行平行轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行.求出平面求出平面，的法向量的法向量u，v, 證明證明uv即可說(shuō)明即可說(shuō)明.2向量法解決幾何問(wèn)題的步驟向量法解決幾何問(wèn)題的步驟(1)建立空間圖形與空間向量的關(guān)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題建立空間圖形與空間向量的關(guān)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題(2)進(jìn)行向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算，得出向量運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算，得出向量運(yùn)算的結(jié)果(3)把向量運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的幾何問(wèn)題的結(jié)果把向量運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為相

7、應(yīng)的幾何問(wèn)題的結(jié)果3利用方向向量和法向量判定線面位置關(guān)系利用方向向量和法向量判定線面位置關(guān)系 (1)設(shè)設(shè)a，b分別是不重合的直線分別是不重合的直線l1，l2的方向向量，根的方向向量，根據(jù)下列條件判斷據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1，l2的位置關(guān)系：的位置關(guān)系：a(4，6，2)，b(2，3，1)；a(5，0，2)，b(0，1，0)；(2)設(shè)設(shè)u，v分別是不同的平面分別是不同的平面，的法向量，根據(jù)下列條的法向量，根據(jù)下列條件判斷件判斷，的位置關(guān)系；的位置關(guān)系；【例例1】u(3，0，0)，v(2，0，0)；(3)設(shè)設(shè)u是平面是平面的法向量，的法向量，a是直線是直線l的方向向量，根據(jù)下列條件判斷平面的方向向量，根據(jù)

8、下列條件判斷平面與與l的位置關(guān)的位置關(guān)系；系；u(2，2，1)，a(6，8，4)；u(2，3，0)，a(8，12，0)思路探索思路探索 可先判斷直線的方向向量與平面的法向量之間的位置關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為直線可先判斷直線的方向向量與平面的法向量之間的位置關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為直線與平面間的位置關(guān)系與平面間的位置關(guān)系解解(1)a(4，6，2)，b(2，3，1)，a2b，ab，l1l2.a(5，0，2)，b(0，1，0)，ab0，ab，l1l2.規(guī)律方法規(guī)律方法 利用直線的方向向量與平面的法向量判斷直線與直利用直線的方向向量與平面的法向量判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系是直線的方向向量與線、直線與

9、平面、平面與平面的位置關(guān)系是直線的方向向量與平面的法向量的基本應(yīng)用，解決此類問(wèn)題時(shí)需注意以下幾點(diǎn)：平面的法向量的基本應(yīng)用，解決此類問(wèn)題時(shí)需注意以下幾點(diǎn)：(1)能熟練的判斷兩向量的共線與垂直；能熟練的判斷兩向量的共線與垂直；(2)搞清直線的方向向量，平面的法向量和直線、平面位置關(guān)系搞清直線的方向向量，平面的法向量和直線、平面位置關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系；之間的內(nèi)在聯(lián)系；(3)將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題時(shí)的等價(jià)性將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題時(shí)的等價(jià)性根據(jù)下列各條件，判斷相應(yīng)的直線與直線、平面與根據(jù)下列各條件，判斷相應(yīng)的直線與直線、平面與平面、直線與平面的位置關(guān)系平面、直線與平面的位置關(guān)系(1)直線直線l1、l

10、2的方向向量分別是的方向向量分別是a(1，3，1)，b(8，2，2)；(2)平面平面、的法向量分別是的法向量分別是u(1，3，0)，v(3，9，0)；(3)直線直線l的方向向量、平面的方向向量、平面的法向量分別是的法向量分別是a(1，4，3)，(2，0，3)；(4)直線直線l的方向向量、平面的方向向量、平面的法向量分別是的法向量分別是a(3，2，1)，u(1，2，1)【變式變式1】解解(1)a(1，3，1)，b(8，2，2)，ab8620，ab，l1l2.(2)u(1，3，0)，v(3，9，0)，v3u，uv，.(3)a(1，4，3)，u(2，0，3)，a與與u即不共線，也不垂直，即不共線，也

11、不垂直，l與平面與平面斜交斜交(4)a(3，2，1)，u(1，2，1)，au3410，au，l或或l.思路探索思路探索 可先建立空間直角坐標(biāo)系，寫可先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出每個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)，再出每個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出平面的法向量利用待定系數(shù)法求出平面的法向量【例例2】規(guī)律方法規(guī)律方法 平面的法向量有無(wú)數(shù)條，一般用待定系數(shù)法求解，解一個(gè)三元一次方平面的法向量有無(wú)數(shù)條，一般用待定系數(shù)法求解，解一個(gè)三元一次方程組，求得其中一條即可，構(gòu)造方程組時(shí)，注意所選平面內(nèi)的兩向量是不共線的，程組，求得其中一條即可，構(gòu)造方程組時(shí)，注意所選平面內(nèi)的兩向量是不共線的，賦值時(shí)保證所求法向量非零，本題中法向量的設(shè)法值得借鑒賦值時(shí)保證所求法向量非零，本題中法向量的設(shè)法值得借鑒 如圖所示，正方體如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱分別是棱A