含參變量無窮積分的一致收斂性

1、含參變量無窮積分的一致收斂性論文摘要：本文通過含參變量無窮積分與函數(shù)級數(shù)之間的關(guān)系，歸納總結(jié)了含參變量無窮積分的一致收斂性的判別法(柯西一致收斂準則、魏爾斯特拉斯判別法、狄利克雷判別法等)及其性質(zhì).關(guān)鍵詞：含參變量無窮積分一致收斂判別法無窮積分f(x)dx與級數(shù)工Un的斂散概念、斂散判別法及其性質(zhì)基本上是平行的，不難想到，含參變量無窮積分口(x,y)dx與函數(shù)級數(shù)工Un(x)之間亦應(yīng)如此，為了討論函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)，我們在收斂區(qū)域I上提出了更高的要求，引進了一致收斂的概念，同樣，在討論含參變量無窮積分所確定的函數(shù)的分析性質(zhì)時，一致收斂同樣也起著重要的作用.因此，含參變量無窮積分的一致

2、收斂性是數(shù)學(xué)分析中非常重要的知識點，也是學(xué)生不容易掌握的難點，從而，我試著類比、總結(jié)得出含參變量無窮積分的一致收斂性的判別法及其性質(zhì)，以便使學(xué)生對此有一個更為系統(tǒng)和深刻的了解.1 .含參變量無窮積分一致收斂的判別法我們很自然的可以想到運用定義來證明-bo定義設(shè)Vyw區(qū)間I,無窮積分ff（x,ydx收斂，若V名>0,三A。（通-be用)>0,VA>A)，有|Jf(x,y)dx-Jf(x,y)dx|=|ff（x,y）dx|<后，則稱無窮積分A-beJf（x,ydx在區(qū)間I一致收斂.a用定義證明一致收斂的關(guān)鍵在于尋找只與有關(guān)的共同的A。，方法常常是采取適當(dāng)放大的方法.例11M

3、明：無窮積分Jyeydx在區(qū)間a,0+°°（a>0）一致收斂，而在（0,+°0）上非一致收斂.證明Vy=(0,)，Jy-xydx卜t=xye'dt5y=e,ln1對Ve>0,解不等式e"y，有A>yln1,取A。,則VAaA。，有y-beJyeydx<s,因此,A-bofyedx在（0,+00）是收斂的，但不能斷定是一致A收斂的，因為我們所找到的Ao不僅跟名有關(guān)，而且與yw（0,y）有關(guān).=1事實上，ye"ydx在yW（0,y）是非一致收斂的，只需取名=一，VAQa2e,1.取A=2AA,y(0,二2A-be&#

4、39;'y=e>%,但ye«ydxA在a,依）一致收斂（其中a>0）,由不等式：y之a(chǎn),有e的Me"a,解不等式ln1e"a，有A>處a1ln_，于是取A0=-生yAaA。時，對一切ywb,也），有Jye"ydx=e的We"a<名，所以，AboJye"ydx在ywa,)(其中a>0)一致收斂.A-bo此題中，我們還可以計算出Jye'ydx在（0,收）上的收斂值.事實上，對0七任意yw（0,）,都有Jye,ydx=1-e-,0所以，limye*ydx=lim（1-e-y）=1,0-bo即1y

5、e"ydx在（0,+毛）收斂于1.0*bo定理121（柯西一致收斂準則）無窮積分f（x,y）dx在區(qū)間I一致收斂auV6>0A0A0,VA1>A0與A2AA0,VywI,有A2Jf(x,y)dx<.Ai定理231（魏爾斯特拉斯M判別法）若3B>0,Vx>B,VyI,有f(x,y)mF(x,y),且無窮積分F（x,ydx收斂，則無窮積分aff（x,ydx在區(qū)間I一致收斂.a但這種方法該定理是判別某些無窮積分一致收斂性的很簡便的判別法,有一定的局限性：凡能用定理2判別無窮積分是一致收斂，此無窮積分必然是絕對收斂；如果無窮積分時候一致收斂，同時又是條件收斂，那

6、么就不能用定理2來判別。對于這種情況，我介紹如下定理：定理321若函數(shù)f(x,y)在區(qū)間D(aExM十出,ywI),(a>0)連續(xù)，且xF(x,y)=Jf(t,y)dt在D有界,即3C>0,V(x,y)=D,a有F(x,y)=Jf(t,y)dtEC,則當(dāng)九下0時，無窮積分jf(x,y)dx.aax在區(qū)間一致收斂.二sin例2證明：無窮積分JefsSdx在區(qū)間0,2)一致收斂。oxx證明只需注意：令F(x,y)=Je-tsintdt,1寸(x,y)wd(1Wx<+°°,0<y<+叼有F(x,y)<2(1-y)e-yt0(yTy).1y類似于

7、魏爾斯特拉斯M判別法有如下定理：*bo定理44】設(shè)jg(x,y)dx在區(qū)間I一致收斂，有存在La0,使當(dāng)x之a(chǎn)與ay時，何有f(x,y)|WLg(x,y)成立，且當(dāng)；下a時，對任意yI,f(x,y)均-bo關(guān)于x在a、】上可積，則g(x,y)dx關(guān)于時y在I一致收斂且絕對收斂.a例3設(shè)a>0,p>1,又存在L>0,使當(dāng)x>a,yeI時，包有f(x,y)4與px成立，且當(dāng)巴Aa時，對任意yWI,f(x,y)均關(guān)于x在g,仃上可積，試證-bejf(x,y)dx在區(qū)間I上一致收斂且絕對收斂.a證明只需注意此時14dx收斂即可.aXp關(guān)于含參量無窮積分一致收斂性與函數(shù)項級數(shù)一致

8、收斂之間的聯(lián)系有下述定理:*bo定理53、參量無窮積分口(x,y)dx在區(qū)間I上一致收斂的充要條件a是：對任一趨于+9的遞增數(shù)列r(其中Ai=c),函數(shù)項級數(shù)二二An1二二ZJf(x,y)dx=£Un(y)在區(qū)間I上一致收斂.ndAnn1-be在知道無窮積分Jf(x,y)dx關(guān)于y在區(qū)間I上的收斂值中(y)時，可應(yīng)用下a述定理：*bo定理6口ff(x,y)dx關(guān)于y在區(qū)間I上一致收斂于巴y)的充要條件是almSUPtA1f(x,y)dx-(y):ywI>=0.aJ-bo例4判斷f一一方dx關(guān)于y在c,+),(c>0)上和(0,依)內(nèi)的一致收斂。1xy性.-boy解顯然一d

9、x關(guān)于y在(0,收)內(nèi)收斂于一.。1xy2酩SUP01+x2y冗ddx-221：y-cJ=ljmSup/一2c2一arctany:y_climJ-arctanc-)=0,而聯(lián)UP01+xy2dx:y>0>22JI-arctany:y0=lim-be由定理6,得ydx關(guān)于y在0,y)上一致收斂于o1xy一,在(0,口)內(nèi)非一2致收斂.定理741jf(x,y)dx關(guān)于y在區(qū)間I上一致收斂于a欠y)的充要條件是:意1n：'："=+8,加上ynwI(n=1,2,)，者B有l(wèi)imiff(x,yn)dx-*(yn)=0.-be例5試證f-i(xy)2dx關(guān)于y在(0,收)內(nèi)非

10、一致收斂.-bo證明顯然fJdx關(guān)于y在(0,f)內(nèi)收斂于上-1(xy)1y取=n,yn=n(n=1,2,)，則=十多yn三(0,+g)(n=1,2,)，但是聲nynlimf(x+yn)2dx-yn1yn=limynT1+ynaim1：1ni.：22由定理7,.1一Jdx關(guān)于y在(0,2)內(nèi)非一致收斂.xy與函數(shù)項級數(shù)相應(yīng)的判別法相仿，有31定理8(狄利克雷判別法)設(shè)(i)對一切實數(shù)N>0,含參變量無窮積分Nfx,ydxc對參變量y在kb】上一致有界，即存在正數(shù)M,對一切Nc及一切yb,b1,都有NJf(x,ydxWM;c(ii)對每一個ywkb，函數(shù)g(x,y)關(guān)于x是單調(diào)遞減且當(dāng)xt

11、十時，對參變量y,g(x,y)一致地收斂于0,則含參變量無窮積分-befx,ygx,ydxc在a,bi上一致收斂.定理9(阿貝爾判別法)設(shè)-bo(i)f僅,ydx在,b】上一致收斂；c(ii)對每一個ywa,b】，函數(shù)g(x,y)為x的單調(diào)函數(shù)，且對參變量y,g(x,y)在b,b1上一致有界，則含參變量無窮積分-befx,ygx,ydxc在a,b1上一致收斂.改inv.r例6證明含參變量無窮積分fe"y.dx在hd上一致收斂.0x,Sin證明由于無窮積分濁一dx收斂，(當(dāng)然，對于參變量y,它在b,d】0x致收斂)，函數(shù)g(x,y尸e*y對每一個xw0,d】單調(diào)，且對任何0EyWd,x

12、20,都有g(shù)x,yt|ey故由阿貝爾判別法即得含參變量無窮積分fe'y也dx在b,d】上一致收斂.0x定理10”設(shè)對任意之>a,f(x,ydx均關(guān)于y在c點左(或右)連a-boJf(x,y)dx關(guān)于a-bo續(xù)，但f(x,cdx發(fā)散，則對任意刈>0,ayft(C-n,C)(或9,C”)y在(c-C)(或(C,C”)內(nèi)非一致收斂.推論設(shè)存在“0>0,使f(x,y)在(x,y):xa,c-"0<yc(或-ba-bocWy<c+"0)上連續(xù)，但f僅,cdx發(fā)散，則對任意"a0,f(x,yHxaa關(guān)于y在(c-",c)(或(c

13、,c+")內(nèi)非一致收斂.證明對任意U>a,由已知及含參變量無窮積分的性質(zhì)，Jf(x,y)dx都關(guān)于y在（c-n0（或2儲+、）止連續(xù)，當(dāng)然在點左（或右）連續(xù)，再由已-be知及定理10,對任意刈0,f（x,ydx關(guān)于y在（c-，c）（或（c,c+“）汕a非一致收斂.、ncosx一例7試證：對任息“A0,-bdx關(guān)于c（在（1,1+唧）內(nèi)非一致收斂.1x證明由于cosxx在(x,a):x>1,«>1)上連續(xù)，但爭竺xdx發(fā)散，由本推論，易得1x對任意0,11colxdx關(guān)于a在（1,1+月）內(nèi)非一致收斂.-bo定理11"設(shè)f（x,ydx關(guān)于y在匕d】

14、上收斂于平（y）,中（y）在bd】上a連續(xù)，又f（x,y旅&x,y）:x之a(chǎn),cwyWd）上連續(xù)，且恒有f(x,y)之(或E0-bo成立，則ff僅,ydx關(guān)于y在區(qū)間Ed】上一致收斂于巴y）.a-be）上一致收斂于1s-1dx一試證1號一關(guān)于s在（1,收°xlnx二dx11證明顯然Jdx關(guān)于s在（1,收）上收斂于'，,在（1,）內(nèi)連exlnxs-1s-1續(xù)，又在x,ylx2e,s1上連續(xù)且恒正，由定理11得xInx-bedxs一二關(guān)于s在口)上一致收斂于exlnxs-1定理12設(shè)當(dāng)x至a和ywI時，包有fx,y三gx,y<hx,y-bo-bo成立，且Jf(x,y

15、dx與jh(x,ydx均關(guān)于y在區(qū)間I上一致收斂于中(y),則aa-bog(x,ydx關(guān)于y在區(qū)間I上一致收斂于中(y).a證明對任意£>a和ywI,都有tttf,ydx<gx,ydx<hx,ydx.aaa因此,不難得出結(jié)論.本定理與數(shù)列收斂的判別法中兩邊夾定理如出一轍，故我將其稱之為兩邊火定理.2 .含參變量無窮積分一致收斂的性質(zhì)和函數(shù)項級數(shù)類似的，含參變量無窮積分也具有如下三條性質(zhì)定理，故證明過程從略.定理13(連續(xù)性)若函數(shù)f(x,yX區(qū)域D(aMxW收4WyEP)連續(xù)，-bo且無窮積分中(y)=Jf(x,y)dx在區(qū)間k,B匚致收斂，則函數(shù)y施區(qū)間卜，B】a

16、-bo-bo連續(xù)，且limfx,ydx=limfx,ydx.yy0-'y%定理14(可微性)若函數(shù)f(x,y)與fy(x,y)在區(qū)域-boD(a<x<收p<y<P旌續(xù)，且無窮積分邛(y)=Jf(x,ydx在區(qū)間k,P】收斂abo且無窮積分巴y)=Jf(x,y)dx在區(qū)間k,P致收斂，則函數(shù)中(y立區(qū)間b,P】a-bo可導(dǎo)，且叫y)=Jfy(x,ydx,即ad二zfx,ydx=fx,ydx.dyaa：:y簡稱積分號下可微分.定理15(可積性)若函數(shù)f(x,y內(nèi)在區(qū)域D(aExE-,aEyEP)連-ba續(xù)，且無窮積分中(y)=Jf(x,ydx在區(qū)間卜，P廠致收斂，則

17、函數(shù)外y爪區(qū)間aP-boPb,B/積，且嚴(ydy=fdxjf(x,y)dy,即：a：P-bo-boPdy.fx,ydx=dxfx,ydy.、工aa、工定理13、14分別表明：在一致收斂的條件下，極限運算、求導(dǎo)運算和積分運算可以交換；定理15表明在一致收斂的條件下，積分順序可以交換。-x2例9計算I(a戶0這三個定理在計算含參變量無窮積分上有極其廣泛的應(yīng)用-ax2一edxa0x22-k-axfax,a=xex,解法一設(shè)f(x,a)=l-,因為Va0,有22_x_axe-exmx=°，22_x_ax-一一一»a-a»>»、,所以，函數(shù)f(x,a)=在

18、(x,0)可連續(xù)開拓。使f(x,a)與fa(x,a)在區(qū)x域D(0<x<,0<a<)連續(xù)，Va>0,3s>0(s<1,d>1,使awb,6,.x2.axe-ex無窮積分be門(0二a2二-)dx=xe&xdx0事實上，X/aWk,5】,有22-ax.-0xe<xe,-bo-bo已知xe-承dx收斂，則xe"xdx在G,5一致收斂.00根據(jù)定理14,VawkQl有長口-x2-ax2-he-bed、，dee,qx21qx21I(a)=f()dx=Jxedx=e=06ax02a02ada1從而I(a)=f=lna+C.令a=1,已知I(1)=0,有2a21I(1)=Tn1+C=0,因止匕，C=0,21于是，Va>0,有I(a)=lna.2解法二622-x2-ax2由于e-exa2.=Jxedt,所以1.一：iatx2.Ia)idxxedt.01記f(x,t)=xe_tx2,則f(x,t)在0,+oc)x1,a1(或0,依尸匕,1】)上連續(xù)，-be一tv2且Jxedx對