2二元一次方程組的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化

1、8.3 二元一次方程組的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化貴州省貞豐縣第二中學(xué)吳秀洪一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容義務(wù)教育教科書(shū)2013 年版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第八章第3 節(jié)第 2 課時(shí)實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組 數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化2內(nèi)容解析實(shí)際生活中常會(huì)遇到解決兩個(gè)未知量的問(wèn)題，這兩個(gè)未知量之間存在數(shù)量關(guān)系， 運(yùn)用二元一次方程組可以解決這類問(wèn)題分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系列出二元一次方程組一解一元次方程組得到實(shí)際問(wèn)題的答案， 這一典型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的具體體現(xiàn)，它對(duì)于運(yùn)用其他數(shù)學(xué)模型（如不等式、函數(shù)等）解決實(shí)際問(wèn)題具有很強(qiáng)的示范作用。本節(jié)課的研究的是“雞兔同籠”問(wèn)題，生活是數(shù)學(xué)的源泉，引導(dǎo)學(xué)生把學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用到生

2、活中去，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、思考、解決周圍的問(wèn)題。借助我國(guó)古代趣題“雞兔同籠”問(wèn)題，使學(xué)生展開(kāi)討論，從多角度思考，掌握解決問(wèn)題的方法 ，同時(shí)在教學(xué)中滲透中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。大約在 1500 年前，在孫子算經(jīng)記載的還了解了古代對(duì)這種題的解法叫做“砍足法”解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)角雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這一思路新穎而奇特，也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已，這種思維方法叫化歸法。化歸法就是在解決問(wèn)題時(shí)，先不對(duì)問(wèn)題采取直接的分析，而是將題中的條件或問(wèn)題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它歸成某個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題，由此可見(jiàn)這個(gè)問(wèn)題的探究不但可以使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)中

3、的一些重要的數(shù)學(xué)思想，而且還了解到我國(guó)古代很早的數(shù)學(xué)論著中就已經(jīng)涉及到先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想和方法，無(wú)不令他們嘆服。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1. 目標(biāo)（ 1）會(huì)根據(jù)題意列出二元一次方程組解簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。2）了解“雞兔同籠”問(wèn)題，感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性。2. 目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志 : 學(xué)生能夠準(zhǔn)確分析數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，依據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出程組，在此基礎(chǔ)上，用方程組的解來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想。達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志: 通過(guò)“雞兔同籠”的問(wèn)題，解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，把 中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化通過(guò)化歸思想演變成數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)際上就是把數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思考問(wèn)題，學(xué)習(xí)前人類解決

4、問(wèn)題的方法，同時(shí) 優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化得到傳播。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，一方面培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力。另一方面使學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法的一般性。本節(jié)課借助孫子算經(jīng)中記載的“雞兔同籠”原題進(jìn)行介紹，由于“雞兔同籠”原題的數(shù)據(jù)較大，不便于學(xué)生進(jìn)行探究，所以教材以化繁為簡(jiǎn)的思想為指導(dǎo)。學(xué)生可以根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，逐步探索不同的方法，找到解決問(wèn)題的策略，通過(guò)合作交流學(xué)習(xí)，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，掌握解決問(wèn)題的方法。在這節(jié)課之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了用方程組表示問(wèn)題中的條件及解方程組的相關(guān)知識(shí)，而且探究了用方程組解決具有現(xiàn)實(shí)意義的實(shí)際問(wèn)題，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的欲望。對(duì)來(lái)源于

5、身邊的數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然表現(xiàn)出濃厚的興趣，解決起來(lái)存在一定的問(wèn)題，所以找準(zhǔn)有效的連接點(diǎn)，是開(kāi)啟學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。四、教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：將實(shí)際情景中的數(shù)量關(guān)系抽取出來(lái)，并用二元一次方程組表示。難點(diǎn)：在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。五、教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件、導(dǎo)學(xué)案、直尺六、教學(xué)過(guò)程1. 創(chuàng)設(shè)情景復(fù)習(xí)引入問(wèn)題：師： 同學(xué)們， 我們國(guó)家有著幾千年的悠久文化，在我國(guó)古代更是產(chǎn)生了許多位數(shù)學(xué)家和許多部數(shù)學(xué)著作，孫子算經(jīng)就是其中一部，大約產(chǎn)生于一千五百年前，書(shū)中記載著這樣一道有名的數(shù)學(xué)趣題（課件出示孫子算經(jīng)中的原題）： 今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？師： 同學(xué)們知道這道題的意

6、思嗎？請(qǐng)?jiān)囍f(shuō)一說(shuō)。（同學(xué)小組交流然后回答）師生： 這道題的意思正如同學(xué)們所想的一樣，也就是說(shuō)：（課件出示）籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)有35個(gè)頭， 從下面數(shù)有94只腳， 問(wèn)雞和兔各有多少只？師： 這就是著名的“雞兔同籠”問(wèn)題，也正是這節(jié)課要研究的問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖 ： 從古書(shū)中的原題引入，激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生感受古代數(shù)學(xué)文化， 增強(qiáng)民族自豪感。激發(fā)了學(xué)生的求知欲和探究欲望，為下面的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。2實(shí)例分析問(wèn)題 1 ： 善于總結(jié)的小明是這樣思考的，上面的問(wèn)題可以改寫成：從上面數(shù)有 7 個(gè)頭，從下面數(shù)有22 只腳，問(wèn)雞和兔各有多少只？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從簡(jiǎn)單入手，層層遞進(jìn)，由易到難，提高學(xué)生探究

7、問(wèn)題的興趣師： 猜一猜雞和兔可能有多少只？（生猜，這樣可以集中學(xué)生注意力，增加師： “有了大膽的猜想才會(huì)有偉大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)”。 （要敢想，要敢猜）師： 剛才，我們是在隨意猜，其實(shí)還可以有順序的來(lái)猜。（課件出示表格）雞76543210兔01234567腳1416182022242628師： 如果先猜有7 只雞和 0 只兔， 就有幾只腳；和題目中22 只腳相不相同？這說(shuō)明了什么？怎么辦？如果再猜有6 只雞和 1 只兔， 就有幾只腳，腳的只數(shù)怎樣？（還少）；如果把兔的只數(shù)再增加1 只，雞變?yōu)槎嗌僦?，腳有幾條？發(fā)現(xiàn)了什么了？（看來(lái)大家都有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，聰明的你應(yīng)該有所發(fā)現(xiàn)規(guī)律了吧。 ）師生： （

8、大家一起完成）在雞和兔的總只數(shù)不變的情況下，每增加1 只兔、減少 1 只雞，腳的總只數(shù)增加2 只；反之，每減少1 只兔，增加1 只雞，腳的總只數(shù)減少2 只。這個(gè)2 是怎么來(lái)的呢？生： 這個(gè)問(wèn)題得出結(jié)論是：雞有3 只，兔有4 只。師： 按照這樣的方法試下去，能不能得到雞和兔的只數(shù)呢？你們感覺(jué)這種方法怎樣？生甲： 當(dāng)頭和腳的只數(shù)較多時(shí)，用一一列舉不容易找出答案，我們要研究新方法很有必要。師： 這位同學(xué)幫老師提出了一個(gè)很好的問(wèn)題（謝謝） ， 如果有很多雞和兔呢？我們又該們么辦呢？（引出新的問(wèn)題）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)列表法，讓學(xué)生尋找這道雞免同籠的答案，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，激勵(lì)他們自主探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的動(dòng)力。問(wèn)題

9、2： 從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳，問(wèn)雞和兔各有多少只？師： 題目中哪些是已知量，哪些是未知量？有幾個(gè)等量關(guān)系？師生： 學(xué)生充分讀題，可以適當(dāng)討論教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注有兩個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)等量關(guān)系。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)未知數(shù)和等量關(guān)系，運(yùn)用二元一次方程組解決師： 如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？生： 學(xué)生依據(jù)發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系，建立方程組：設(shè)雞有x 只，兔有y 只。 （設(shè)未知數(shù)帶單位）根據(jù)題意，x y 35得：2x 4y 94x 23解之得：x 23y 12答：雞有23 只，兔有12 只。師： 列一元一次方程能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？師生： 學(xué)生體會(huì)列方程組比列一元一次方程簡(jiǎn)單設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷分析數(shù)量關(guān)系，得

10、到等量關(guān)系，列方程組的過(guò)程。一般情況下，學(xué)生會(huì)自覺(jué)列方程組解決。（老師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)有兩個(gè)未知量時(shí)，列方程組更為簡(jiǎn)單）師：請(qǐng)你解這個(gè)方程組，并交流一下你是如何解這個(gè)方程組的生：學(xué)生獨(dú)立解方程組，并交流發(fā)言可能有的學(xué)生直接用代入消元法解方程組，有的學(xué)生用加減消元法解方程組。（老師點(diǎn)評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)方法的簡(jiǎn)捷性）設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，由實(shí)際問(wèn)題列出的方程組，再解決方程組問(wèn)題。師生共同回顧解決的過(guò)程，教師提問(wèn)：（ 1）在列方程組之前我們先做了哪些工作？（ 2）列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是什么？師生： 教師引導(dǎo)學(xué)生回顧如何分析數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)和列出方程組，并用下面的框圖

11、說(shuō)明列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)運(yùn)用方程組建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程3目標(biāo)檢測(cè)現(xiàn)在我把班上的同學(xué)一共分成兩個(gè)小組，就按照現(xiàn)在座的位子，分別是甲組，乙組， 請(qǐng)同學(xué)們紛紛把導(dǎo)學(xué)案上的檢測(cè)1、 檢測(cè) 2分別完成了，甲組完成檢測(cè)1.乙組完成探檢測(cè)2，同學(xué)們可以先小組討論，然后選派一個(gè)代表到黑板上書(shū)寫。（老師在同學(xué)中間走動(dòng)觀察書(shū)寫情況）檢測(cè) 1九章算術(shù)中有一道題，原文是: “今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及之”意思是：同樣時(shí)間段內(nèi)，走路快的人能走100 步，走路慢的人只能走60 步 . 走路慢的人先走100 步，走路快的人

12、走多少步才能追上走路慢的人?師： 拓展學(xué)生思維，使學(xué)生對(duì)知識(shí)能夠靈活應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探索精神，啟迪發(fā)散學(xué)生思維，高效利用拓展資源，進(jìn)一步鞏固了所學(xué)知識(shí)，拓寬了視野。生： 各抒己見(jiàn)，合作交流，及時(shí)地檢測(cè)了學(xué)生的掌握情況，極大地?cái)U(kuò)充了課堂的容量，提高了課堂效率。（學(xué)生小組交流完成）（如何讀懂題）生乙： 黑板上完成書(shū)寫，學(xué)生評(píng)判，老師點(diǎn)評(píng)。分析 : 設(shè)走路快的人走x 步才能追上走路慢的人，此時(shí)走路慢的人走了y 步，則：x y 100依題意得：100x60 y解之得：x 250 y 150答：走路快的人走250 步才能追上走路慢的人，此時(shí)走路慢的人走了100 步 .檢測(cè) 2孫子算經(jīng)中有一道題，原文是:

13、“今有木，不知長(zhǎng)短。引繩度之，余繩四尺五寸：屈繩量之，不足一尺。木長(zhǎng)幾何？”意思是 : 用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5 尺。將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1 尺，問(wèn)木長(zhǎng)多少尺生丙：黑板上完成書(shū)寫，老師點(diǎn)評(píng)。分析 : 設(shè)木長(zhǎng) x 尺、繩子長(zhǎng)y 尺，則y x 4.5依題意得：1y x12解之得：x 6.5y 11答：設(shè)木長(zhǎng)6.5 尺、繩子長(zhǎng)11 尺 .師： 這兩道題的難點(diǎn)在于怎么把它讀懂（怎樣翻譯）是關(guān)鍵，另外，嚴(yán)格強(qiáng) 調(diào)書(shū)寫的格式，按照步驟完成。設(shè)計(jì)意圖：出示古典名題, 一方面及時(shí)鞏固用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程另一方面讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)無(wú)處不在的思想4. 課堂總結(jié)師： 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)用方程解決實(shí)際問(wèn)題又有何新的認(rèn)識(shí)？（讓學(xué)生