(整理)第二節(jié)牛頓的微積分.

1、精品文檔第二節(jié) 牛頓的微積分一流數(shù)簡論流數(shù)簡論表明，牛頓微積分的來源是運動學(xué)1666 年，他在坐標(biāo)系中通過速度分量來研究切線，既促使了流數(shù)法的產(chǎn)生，又提供了它的幾何應(yīng)用的關(guān)鍵牛頓把曲線f（x ， y） 0 看作動點的軌跡，動點的坐標(biāo)x， y 是時間的函數(shù)，而動點的水平速度分量和垂直速度和垂直速度為邊的矩形對角線，所以曲線f（x ， y） 0 的切線斜率所以牛頓便在后來稱它們?yōu)榱鲾?shù)，實際上就是x 和 y 對 t 的導(dǎo)數(shù)：而它們的比就是y 對 x 的導(dǎo)數(shù)布尼茨發(fā)明的，我們這里采用它們是為了敘述方便牛頓考慮的第一個問題是：給定x 和 y 的關(guān)系 f（x ， y） 0，求的次數(shù)令這些乘積的總和等于零這

2、個方程就給出速度（流數(shù)）之間的關(guān)系若用子表示，則為精品文檔它是牛頓用來計算流數(shù)之比（即求導(dǎo) ）的基本法則實際上，這個式子牛頓是用“無窮小”概念和他一年前發(fā)明的二項式定理來證明 （1） 式的他認為，作非勻速運動的物體在無窮小時間間隔o 中的運動情況同作勻速運動的物體在有限時間間隔中的情況相同，“因此，如果到某一時刻，它們已描繪的線段為x 和 y，那么到下一時刻所描繪的線段就是xxo 和 y yo ”牛頓用x xo 和 y yo 代替 f（x ， y） 0 中的 x 和 y，于是有按二項式展開并略去o 的二次以上（ 含二次 ） 的項，得除以 o 后便得到（1） 式作為一個實例，可把yxn 寫成 f

3、（x ， y） y xn 的形式，由（1） 式推出的代數(shù)式) 他對這一問題的研究導(dǎo)致了微積分基本定理的發(fā)現(xiàn)，即：其中 A 表示曲線y=f(x) 下的面積從流數(shù)簡論可以看出，他是用如下方法推導(dǎo)這一重要定理的：設(shè) y 表示曲線f(x) 下的面積abc( 圖 11 13) ，并把它看作垂平行移動，描繪出面積x 和 y，它們隨時間而增加的速度是be 和 bc，”顯然， be 1 而他把求積問題看bc=f(x) 因此，牛頓認為面積y 隨時間的變化率是這顯然等價于(2) 式， 就是說函數(shù)曲線下的面積的變化率等于曲線的縱坐標(biāo)作求變化率的逆過程，即把y 看作 f(x) 的積分(不定積分)牛頓的工作可以清楚地說

4、明切線及面積的互逆關(guān)系如果面積y在解決了基本的微積分問題后，牛頓又進一步提出變量代換法，它變量 z 1 x n，其流數(shù)比為這便是我們熟知的冪函數(shù)微分公式，它的現(xiàn)代形式為類似地，牛頓在積分中也采用了代換法，并在稍后的著作中總結(jié)出代換積分公式這個問題 將在下面討論流數(shù)簡論中，牛頓還導(dǎo)出函數(shù)的積和商的微分法則設(shè)y=u(x) · v(x) ，則由計算流數(shù)之至于函數(shù)和的微分，牛頓認為是顯然的，沒有作為公式列出由于牛頓首次引入“流數(shù)”和“變化率”的概念，明確提出一般性的微積分算法，特別是提 出微積分基本定理，所以說他“發(fā)明”了微積分不過，他當(dāng)時只是觀察到這一重要定理，至于 定理的證明則是在他的第

5、二本微積分著作中才出現(xiàn)的在這本書中，牛頓假定曲線下的面積為二、運用無窮多項方程的分析學(xué)( 下簡稱分析學(xué))mz ax ，其中 m是有理數(shù)他把x 的無窮小增量叫x 的瞬，用o 表示由曲線、x軸、 y 軸及 x o 處縱坐標(biāo)所圍成的面積用z oy 表示 (圖 11 14)，其中 oy 是面積的瞬，于是有mz+oy a(x o) 根據(jù)二項式定理考慮到 z axm，并用o 去除等式兩邊，得略去仍然含o 的項，得xm-1y=max 這就是相應(yīng)于面積z 的縱坐標(biāo)y 的表達式，或者說是面積z 在點的變化率線為y=maxm-1；反之，若曲線是y maxm-1，則它下面的面積是z=axm在這里，牛頓不僅給出了求變

6、化率的普遍方法，而且證明了微積分基本定理從計算角度來說，他實際上給出了兩個基本的求導(dǎo)和積分公式( 用現(xiàn)代符號表出)(ax m) maxm-1；在證明了面積的導(dǎo)數(shù)是y 值，并斷言逆過程是正確的以后，牛頓給出下面的法則：若y 值是若干項的和，則面積是由每一項得到的面積的和，用現(xiàn)在的話來說，就是函數(shù)之和的積分等于各函數(shù)的積分的和： f 1(x)+f 2(x) +f n(x)dx= f 1(x)dx f 2(x)dx+ + f n(x)dx 他對如下的積分性質(zhì)也有明確認識： af(x)dx a f(x)dx 他利用上述知識得到各種曲線下的面積，解決了許多能表成和式的問題在此基礎(chǔ)上，牛頓提出了利用無窮級

7、數(shù)進行逐項積分的方法例如然后對這個無窮級數(shù)逐項積分，得他說，只要b 是 x 的倍數(shù)，取最初幾項就可以了y1-x2 x4 x6 x8(1)y x-2 x-4 x-6-x-8(2)他說，當(dāng)x 很小時，應(yīng)該用(1) 式，若 x 較大就必須用(2) 式了可見他已意識到級數(shù)收斂和發(fā)散的區(qū)別，不過還沒有提出收斂的概念同流數(shù)簡論相比，分析學(xué)的另一項理論進展表現(xiàn)在定積分上牛頓把曲線下的面積看作無窮多個面積為無限小的面積之和，這種觀念與現(xiàn)代是接近的為了求某一個區(qū)間的確定的面積即定積分，牛頓提出如下方法：先求出原函數(shù)，再將上下限分別代入原函數(shù)而取其差這就是著名的牛頓萊布尼茨公式，是他與萊布尼茨各自獨立發(fā)明的若采用

8、現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號，該公式可表述為：若F(x) 是 f(x) 在區(qū)間 a ， b分析學(xué)中還有其他一些出色的成果，例如， 書中給出求高次方程近似根的方法( 即牛頓法) ，導(dǎo)出正弦級數(shù)及余弦級數(shù)，等等到此為止，牛頓已經(jīng)建立起比較系統(tǒng)的微積分理論及算法不過他在概念上仍有不清楚的地方第一，他的無窮小增量o 是不是 0？牛頓認為不是既然這樣，運算中為什么可以略去含o的項呢？牛頓沒有給出合乎邏輯的論證第二，牛頓雖然提出變化率的概念，但沒有提出一個普遍適用的定義，只是把它想象成“流動的”速度牛頓自己也認為，他的工作主要是建立有效的計算方法，而不是澄清概念，他對這些方法僅僅作了“簡略的說明而不是準(zhǔn)確的論證”牛頓的態(tài)

9、度是實事求是的三、流數(shù)法和無窮級數(shù)（ 下簡稱流數(shù)法）這是一部內(nèi)容廣泛的微積分專著，是牛頓在數(shù)學(xué)方面的代表作在前兩部書的基礎(chǔ)上，牛頓提出了更加完整的理論從書中可以看出，牛頓的流數(shù)概念已發(fā)展到成熟的階段他把隨時間變化的量，即以時間為自變量的函數(shù)稱為流量，以字母表的后幾個字母v， x， y， z 來表示；把流量的變化速度，即變化率稱為流數(shù)，以表保留，并且仍用o 表示他在書中明確表述了他的流數(shù)法的理論依據(jù)，說：“流數(shù)法賴以建立的主要原理，乃是取自理論力學(xué)中的一個非常簡單的原理，這就是：數(shù)學(xué)量，特別是外延量，都可以看成是由連續(xù)軌跡運動產(chǎn)生的；而且所有不管什么量，都可以認為是在同樣方式下產(chǎn)生的”又說：“本

10、人是靠另一個同樣清楚的原理來解決這個問題的，這就是假定一個量可以無限分割，或者可以（ 至少在理論上說 ） 使之連續(xù)減小，直至比任何一個指定的量都小”牛頓在這里提出的“連續(xù)”思想及使一個量小到“比任何一個指定的量都小”的思想是極其深刻的，他正是在這種思想的主導(dǎo)下解決了如下兩類基本問題第一類：已知流量的關(guān)系求它們的流數(shù)之比，即已知y f（x） 或例如書中的問題1 ：如果流量x 和 y 之間的關(guān)系是x3 ax2+axy y3=0，求它們的流數(shù)之比程中的 x 和 y，得展開后利用x3 ax2 axy y3 0這一事實再把余下的項除以o，得至此牛頓說：“我們已假定 o 是無限微小，它可以代表流動量的瞬，

11、所以與它相乘的諸項相對于其他諸項來說等于沒有因此我把它們丟掉，而剩下從表面看，這種方法與流數(shù)簡論中的方法一致所不同的是，數(shù)簡論中求流數(shù)之比的基本法則也被牛頓賦予一般的意義例如，假定y=x n，牛頓首先建立然后用二項式定理展開右邊，消去y xn，用o除兩邊，略去仍含o 的項，結(jié)果得當(dāng)然，在對具體函數(shù)微分時，不必采用無窮小而可直接代入公式第二類：已知一個含流數(shù)的方程，求流量，即積分(x) ，則 數(shù)簡論中，牛頓在具體積分中已經(jīng)采用了這種方法，只是到這時才明確總結(jié)出公式從簡論 及流數(shù)法兩書來看，他推導(dǎo)此式的思路大致如下：(2) ， (3) 得由微積分基本定理，得牛頓在書中還推出分部積分公式，即 uv

12、dx=uv- vu dx其中 u 和 v 都是 x 的函數(shù)若求uv dx 有困難而求vu dx 比較容易時，就可利用分部積分公式求積分牛頓總結(jié)了他的積分研究成果，列成兩個積分表，一個是“與直線圖形有關(guān)的曲線一覽表”，另一個是“與圓錐曲線有關(guān)的曲線一覽表”這兩個表為積分工作提供了許多方便至此，牛頓已建立起比較完整的微分和積分算法，他當(dāng)時統(tǒng)稱為流數(shù)法他充分認識到這種方法的意義，說流數(shù)法（即微積分） 是一種 “普遍方法”， 它 “不僅可以用來畫出任何曲線的切線而且還可以用來解決其他關(guān)于曲度、面積、曲線的長度、重心的各種深奧問題”流數(shù)法一書便充分體現(xiàn)了微積分的用途，下面略舉幾例例 1 ，在“問題3極大

13、值和極小值的確定”中，牛頓給出了通過解方程f (x) 0 來求f(x) 極值的方法他寫道：“當(dāng)一個量取極大值或極小值時，它的流數(shù)既不增加也不減少，因為如果增加，就說明它的流數(shù)還是較小的，并且即將變大；反之，如果減少，則情況恰好相反所以求出它的流數(shù)，并且令這個流數(shù)等于0”他用這種方法解出了九個問題其中之一是求方程x3 ax2 axy y3=0 中 x 的最大值他先求出x 和 y 的流數(shù)之比，得即 3y 2 ax把上式代入原方程后，就很容易求得相應(yīng)的x 值和 y 值了例 2，已知曲線方程為x3 ax2 axy y 3 0， AB和 BD分別為曲線上D點的橫、縱坐標(biāo)，求作過 D 點的切線( 圖11

14、15) 牛頓先求得流數(shù)之間的關(guān)系BD y，所以牛頓說：“給定D 點后，便可得出DB和 AB，即y 和 x， BT 的長度也就給定，由此可確定切線 TD”例 3，在“問題12曲線長度的確定”中，牛頓采用流數(shù)法計算弧長設(shè)QR是給定曲線，RNMN，牛頓分別記MNsNRt，QRv( 圖 11 16) ，它們的流數(shù)分別為s，t ，v，然后“想象直線 NR向右移動到最接近的可能位置nr，由 R向 nr 引垂線RS，則MN， NR和 QR分別增加RS，Sr 和 Rr”牛頓說：“因為RS， Sr 和 Rr 相互之比是這些線段的流數(shù)之間的若換成現(xiàn)在通用的坐標(biāo)x， y 和弧長s，則牛頓的結(jié)果為只要對 t 積分，就

15、可求出弧長s 了綜上所述，流數(shù)法不僅在基本思想上比分析學(xué)有了發(fā)展，而且提供了更加有效的計算方法但牛頓的基本方法仍是棄去無窮小，因而同分析學(xué)一樣出現(xiàn)邏輯困難他嘗試建立沒有無窮小的微積分，于是有曲線求積術(shù)(下簡稱求積術(shù)) 之作四、牛頓的極限理論牛頓的四部微積分專著中，曲線求積術(shù)是最后寫成(1693) 但最早出版(1704) 的一部在書中，導(dǎo)數(shù)概念已被引出，而且把考察對象由二個變量構(gòu)成的方程轉(zhuǎn)向關(guān)于一個變量的函數(shù)牛頓的流數(shù)演算已相當(dāng)熟練和靈活了，他算出許多復(fù)雜圖形的面積阿達瑪(J Hadamard， 18651963) 稱贊說，該書“論述的有理函數(shù)積分法，幾乎不亞于目前的水平”值得注意的是，在求積術(shù)中，牛頓認為沒有必要把無窮小量引入微積分他在序言中明確指出：“數(shù)學(xué)的量并不是由非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運動來描述的直線不是一部分一部分的連接，而是由點的連續(xù)運動畫出的，因而是這樣生成的；面是由線的運動，體是由面 的運動，角是由邊的旋轉(zhuǎn)，時間段落是由連續(xù)的流動生成的”在這種思想指導(dǎo)下，他放棄了無窮小的概念，代之以最初比和最后比的新概念為了求函數(shù)y=x n的導(dǎo)數(shù)，牛頓讓x “由流動”而成為x o，于是xn變?yōu)榈淖詈蟊鹊扔? 比 nxn-1 所以量x 的流數(shù)與量xn的流數(shù)之比等于1 比nxn-