《1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)》教學(xué)案3

1、?1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)?教學(xué)案3一、教材分析以前,我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)X1,X2CI,且當(dāng)X1VX2時(shí),都有f(Xi)vf(X2),那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的增函數(shù).對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)Xi,X2CI,且當(dāng)X1VX2時(shí),都有f(Xi)>f(X2),那么函數(shù)f(X)就是區(qū)間I上的減函數(shù).在函數(shù)y=f(X)比擬復(fù)雜的情況下,比擬f(X1)與f(X2)的大小并不很容易.如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比擬簡單.根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn),本節(jié)分為四課時(shí),此為第一課時(shí).二、教學(xué)目標(biāo)1,知識(shí)目標(biāo)：1)正確理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理；2)掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟.

2、2,水平目標(biāo)：學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程,提升創(chuàng)新水平.3,情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在愉悅的學(xué)習(xí)氣氛中,學(xué)生感受到解決數(shù)學(xué)問題的一般方法：從簡單到復(fù)雜,從特殊到一般.三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性.教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性.四、教學(xué)方法:探究法五、課時(shí)安排：1課時(shí)六、教學(xué)過程【引例】1.確定函數(shù)y=x2-4x+3在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)？在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)？解：y=x24x+3=(x2)21,在(*,2)上是減函數(shù),在(2,)上是增函數(shù).問：1)、為什么y=x2-4x+3在(*,2)上是減函數(shù),在(2,十必)上是增函數(shù)?2)、研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

3、你有哪些方法?都是反映函數(shù)隨自(1)觀察圖象的變化趨勢；(函數(shù)的圖象必須能畫出的)變量的變化情況.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義.(復(fù)習(xí)一下函數(shù)單調(diào)性的定義)2、確定函數(shù)f(x)=2x36x2+7在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)？哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)？(1)能畫出函數(shù)的圖象嗎？(2)能用單調(diào)性的定義嗎？試一試,提問一個(gè)學(xué)生：解決了嗎？到哪一步解決不了？(產(chǎn)生認(rèn)知沖突)【發(fā)現(xiàn)問題】定義是解決單調(diào)性最根本的工具,但有時(shí)很麻煩,甚至解決不了.尤其是在不知道函數(shù)的圖象白時(shí)候,如函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7,這就需要我們尋求一個(gè)新的方法來解決.(研究的必要性)事實(shí)上用定義研究函數(shù)y=x2-4x+3的單調(diào)區(qū)間也不容易.

4、【探究】我們知道函數(shù)的圖象能直觀的反映函數(shù)的變化情況,下面通過函數(shù)的圖象規(guī)律來研究.問：如何入手？(圖象)從函數(shù)f(x)=2x36x2+7的圖象嗎？1、研究二次函數(shù)y=x24x+3的圖象；(1)學(xué)生自己畫圖研究探索.(2)提問：以前我們是通過二次函數(shù)圖象的哪些特征來研究它的單調(diào)性的？(3)(開口方向,對(duì)稱軸)既然要尋求一個(gè)新的方法,顯然要換個(gè)角度分析.(4)提示：我們最近研究的哪個(gè)知識(shí)(通過圖象的哪個(gè)量)能反映函數(shù)的變化規(guī)律？(5)學(xué)生繼續(xù)探索,得出初步規(guī)律.幾何畫板演示,共同探究.得到這個(gè)二次函數(shù)圖象的切線斜率的變化與單調(diào)性的關(guān)系.(學(xué)生總結(jié))：該函數(shù)在區(qū)間(口,2)上單調(diào)遞減,切線斜率小于

5、0,即其導(dǎo)數(shù)為負(fù)；在區(qū)間(2,收)上單調(diào)遞增,切線斜率大于0,即其導(dǎo)數(shù)為正；注：切線斜率等于0,即其導(dǎo)數(shù)為0;如何理解？就此函數(shù)而言這種規(guī)律是否一致？是否其它函數(shù)也有這樣的規(guī)律呢？2、先看一次函數(shù)圖象；3、再看兩個(gè)我們熟悉的函數(shù)圖象.(驗(yàn)證)(1)觀察三次函數(shù)y=x3的圖象；(幾何畫板演示)(2)觀察某個(gè)函數(shù)的圖象.(幾何畫板演示)這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)如何用指出：我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有密切的關(guān)系.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(幻燈放映課題).【新課講解】4、請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)剛剛觀察的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？請(qǐng)一個(gè)學(xué)生答復(fù).(幻燈放映)一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo),

6、那么函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f(x)A0,那么y=f(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f(x)M0,那么y=f(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).假設(shè)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0,那么f(x)為常函數(shù).這個(gè)結(jié)論是我們通過觀察圖象得到的,只是一個(gè)猜測,正確嗎？答案是肯定的.嚴(yán)格的證實(shí)需要用到中值定理,大學(xué)里才能學(xué)到.這兒我們可以直接用這個(gè)結(jié)論.小結(jié)：數(shù)學(xué)中研究問題的常規(guī)思想方法是：從特殊到一般,從簡單的復(fù)雜.結(jié)論應(yīng)用：由以上結(jié)論知：函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)有關(guān),因此我們可以用導(dǎo)數(shù)法去探討函數(shù)的單調(diào)性.下面舉例說明：【例題講解】例1、求證：y=x3+1在(3,0)上是增函數(shù).由學(xué)生表

7、達(dá)過程老師板書：3,2一由于y=(x+1)=2x,x=(*,0),2'所以x>0,即y>0,所以函數(shù)y=x3+1在(3,0)上是增函數(shù).注：我們知道y=x3+1在R上是增函數(shù),課后試一試,看如何用導(dǎo)數(shù)法證實(shí).學(xué)生歸納步驟：1、求導(dǎo)；2、判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)；3、下結(jié)論.例2、確定函數(shù)f(x)=2x36x2+7在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).由學(xué)生表達(dá)過程老師板書：解：f'(x)=(2x36x2+7)'=6x2-12x,令6x2-12x>0,解得x>2或x<0,當(dāng)xC(oo,0)時(shí),f'(x)>0,f(x)是增函數(shù)；當(dāng)xC(2

8、,+8)時(shí),f'(x)>0,f(x)是增函數(shù).令6x2-12x<0,解得0vx<2.,當(dāng)xC(0,2)時(shí),f'(x)<0,f(x)是減函數(shù).學(xué)生小結(jié)：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1) 確定函數(shù)f(x)的定義域；(2) 求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x).(3) 令f'(x)>0解不等式,得x的范圍就是遞增區(qū)間.令f'(x)v0解不等式,得x的范圍,就是遞減區(qū)間【課堂練習(xí)】1 .確定以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1) y=x3-9x2+24x(2)y=3x-x3(1)解：y'=(x39x2+24x)'=3x218x+24=

9、3(x2)(x4)令3(x-2)(x-4)>0,解得x>4或x<2.y=x39x2+24x的單調(diào)增區(qū)間是(4,+8)和(oo,2)令3(x-2)(x-4)<0,解得2vxv4.1-y=x3-9x2+24x的單調(diào)減區(qū)間是(2,4)(2)解：V,=(3xx3)'=33x2=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1)令-3(x+1)(x-1)>0,解得1<x<1.y=3xx3的單調(diào)增區(qū)間是(一1,1).令3(x+1)(x1)v0,解得x>1或xv1.,y=3xx3的單調(diào)減區(qū)間是(一00,1)和(1,+oo)2、設(shè)y=f'(x)是函數(shù)y=

10、f(x)的導(dǎo)數(shù),y=f'(x)的圖象如下圖,那么y=f(x)的圖象最有可能是()小結(jié)：重點(diǎn)是抓住導(dǎo)函數(shù)的圖象與原函數(shù)的圖象從哪里發(fā)生聯(lián)系？【課堂小結(jié)】1 .函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系：假設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果f(x)>0,那么f(x)為增函數(shù)；如果f(x)<0,那么f(x)為減函數(shù).2 .本節(jié)課中,用導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性是中央,能靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題是目的,另外應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用.3 .掌握研究數(shù)學(xué)問題的一般方法：從特殊到一般,從簡單到復(fù)雜.【課后練習(xí)】1 .(2007年浙江卷)設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將y="刈和y=f&

11、#39;(x)的圖象2 .函數(shù)f(x)=xlnx,那么()A.在(0,)上遞增B.在(0,收)上遞減一Ji、.rnC.在0,-i上遞增D.在0,-i上遞減<e)eeJ3.函數(shù)f(x)=x3-3x2-5的單調(diào)遞增區(qū)間是.【課堂作業(yè)】課本P42習(xí)題2.41,2【課后記】本節(jié)課是一節(jié)新授課,課本所提供的信息很簡單,如果直接得出結(jié)論,學(xué)生也能接受,可學(xué)生只能進(jìn)行簡單的模仿應(yīng)用.為了突出知識(shí)的發(fā)生過程,不把新授課上成習(xí)題課,設(shè)計(jì)思路如下,以便教會(huì)學(xué)生會(huì)思考解決問題：1、首先研究從熟悉的二次函數(shù)入手,簡單復(fù)習(xí)回憶以前的方法；1、 從不熟悉的三次函數(shù)入手,使學(xué)生體會(huì)到以前的知識(shí)已不能解決,必須尋求一個(gè)新的解決方法,產(chǎn)生認(rèn)知沖突,熟悉到再次研究單調(diào)性的必要性；2、 從簡單的、熟悉