一元二次方程求根公式

1、主講：黃岡中學(xué)高級教師一、一周知識概述1、一元二次方程的求根公式將一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)進(jìn)行配方,當(dāng)b2-4acA,時的根為-j±/口-4d匚X=該式稱為一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根公式法,簡稱公式法.說明：(1)一元二次方程的公式的推導(dǎo)過程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0);(2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系數(shù)a、b、c的值決定的；(3)應(yīng)用求根公式可解任何一個有解的一元二次方程,但應(yīng)用時必須先將其化為一般形式.2、一元二次方程的根的判別式_d爐-4四(1)當(dāng)b24ac>0時,方

2、程有兩個不相等的實數(shù)根演321；h西=丐=一=(2)當(dāng)b24ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根加；(3)當(dāng)b24acv0時,方程沒有實數(shù)根.二、重難點知識1、對于一元二次方程的各種解法是重點,難點是對各種方法的選擇,突破這一難點的關(guān)鍵是在對四種方法都會使用的根底上,熟悉各種方法的優(yōu)缺點.“開平方法一般解形如“久工尸=3至口),類型的題目,如果用“公式法就顯得多余的了(2) “因式分解法是一種常用的方法,一般是首先考慮的方法.(3) “配方法是一種非常重要的方法,一般不使用,但假設(shè)能恰當(dāng)?shù)厥褂?往往能起到簡化作用,思考于“因式分解法之后,“公式法之前.如方程產(chǎn)-公=6犯1；用因式分解,那么639

3、1這個數(shù)太大,不易分解；用公式法,也太繁；假設(shè)配方,那么方程化為=(5-100,就易解,假設(shè)一次項系數(shù)中有偶因數(shù),一般也應(yīng)考慮運用.(4) “公式法是一般方法,只要明確了二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項,假設(shè)方程有實-£?±-4小根,就一定可以用求根公式求出根,但由于要代入無(*-4初0)求值,所以對某些特殊方程,解法又顯得復(fù)雜了.2、在運用b24ac的符號判斷方程的根的情況時,應(yīng)注意以下三點：(1) b24ac是一元二次方程的判別式,即只有確認(rèn)方程為一元二次方程時,才能確定a、b、c,求出b24ac；(2)在運用上述結(jié)論時,必須先將方程化為一般形式,以便確認(rèn)a、b、c；(3

4、)根的判別式是指b2-4ac,而不是?曠4&J三、典型例題講解例1、解以下方程：J-4岳十®0；皿；分析：用求根公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是找出a、b、c的值,再代入公式計算,解：(1)由于a=1,*而,c=10x=所以一(-4®土m4舊土?五2Kl所以'、'.-(2)原方程可化為/-訴+由于a=1,二>,c=2原方程可化為-2島-1=0由于a=1,b=,c=1所以,：11'所以-所以11,總結(jié):(1)用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式；如果二次項系數(shù)為負(fù)數(shù),通常將其化為正數(shù)；如果方程的系數(shù)含有分母,通常先將其化為整數(shù),求

5、出的根要化為最簡形式;(2)用求根公式法解方程按步驟進(jìn)行.例2、用適當(dāng)方法解以下方程:2后一1=05/-2工-1=0犬+空g汁出nJT；二分析：要合理地選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?就必須熟悉各種方法的優(yōu)缺點,處理好特殊方法和一般方法的關(guān)系.就直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法這四種方法而言,配方法、公式法是一般方法,而開平方法、因式分解法是特殊方法.公式法是最一般的方法,只要明確了二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項,假設(shè)方程有實i±4ac根,就一定可以用求根公式求出根,但由于要代入一元二次方程的求根公式2日求值,所以對某些方程,解法又顯得復(fù)雜了.如,可以直接開平方,就能馬上得出解

6、；假設(shè)此時還用求根公式就顯得繁瑣了.配方法是一種非常重要的方法,在解一元二次方程時,一般不使用,但并不是一定不用,假設(shè)能合理地使用,也能起到簡便的作用.假設(shè)方程中的一次項系數(shù)有因數(shù)是偶數(shù),那么可使用,計算量也不大.如,由于224比擬大,分解時較繁,此題中一次項系數(shù)是-2.可以利用用配方法來解,經(jīng)過配方之后得到第一2工+1=+1=22;顯得很簡單.直接開平方法一般解符合以三二9*.型的方程,如第小題.因式分解法是一種常用的方法,它的特點是解法簡單,故它是解題中首先考慮的方法,假設(shè)一元二次方程的一般式的左邊不能分解為整數(shù)系數(shù)因式或系數(shù)較大難以分解時,應(yīng)考慮變換方法1、%+以=2解：2兩邊開平方,得

7、一二三所以1-?爐-2丑=224配方,得一二-一一1一所以-=±15D-2/5jr-1=0配方,得'''"1所以''''''所以5.一：E44二51=一之C=-1由于所以/-4#=3=4+20=242±2#1土病工=所以二.-后1工1=入J=所以,./:一,配方：'/一.一:所以1所以,一；-:整理,得二二-1所以I.二移項,提公因式,得一二所以一小結(jié)：以上各題請同學(xué)們用其他方法做一做,再比擬各種方法的優(yōu)缺點,體會如何選用適宜的方法,下面給出常規(guī)思考方法,僅作參考.例3、關(guān)于x的方程a

8、x23x+1=0有實根,求a的取值范圍.1解：當(dāng)a=0時,原方程有實根為39(-3J1一%>oBpcj<一時,假設(shè)aw0時,當(dāng)4原方程有兩個實根.故,綜上所述a的取值范圍是4.小結(jié)：此題要分方程ax23x+1=0為一元一次方程和一元二次方程時討論,即分當(dāng)a=0faw0兩種情況.例4、一元二次方程x24x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求k的取值范圍；(2)如果k是符合條件的最大整數(shù),且一元二次方程x24x+k=0與x2+mx1=0有一個相同的根,求此時m的值.解：(1)由于方程x24x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根,所以b24ac=164k>0,得k<4.(2)滿足k<4的最大整數(shù),即k=3.此時方程為x24x+3=0,解得x1=1,x2=3.當(dāng)相同的根為x=1時,那么1+mr1=0,得m=Q期-.當(dāng)相同的根為x=3時,那么9+3mr1=0,得38所以m的值為0或3例5、設(shè)m為自然數(shù),且3Vm<40,方程工一掰一學(xué)1+冽一跳一°有兩個整數(shù)根求m的值及方程的根.解.x2-2,(2-+-14w+8=0;方程有整數(shù)根,.4(2M1)是完全平方數(shù).3<m<407<2m-1<812M1值可以為9,25,49.m的值可以為4,12,24o當(dāng)m=