應(yīng)用_MATLAB實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號的采樣與重構(gòu)

1、精選文檔抽樣定理及應(yīng)用2.1課程設(shè)計的原理2.1.1連續(xù)信號的采樣定理模擬信號經(jīng)過 (A/D) 變換轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號的過程稱為采樣，信號采樣后其頻譜產(chǎn)生了周期延拓，每隔一個采樣頻率 fs，重復(fù)出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。時域采樣定理從采樣信號恢復(fù)原信號必需滿足兩個條件： (1) 必須是帶限信號，其頻譜函數(shù)在 各處為零；（對信號的要求，即只有帶限信號才能適用采樣定理。） (2) 取樣頻率不能過低，必須 2 （或 2）。（對取樣頻率的要求，即取樣頻率要足夠大，采得的樣值要足夠多，才能恢復(fù)原信號。）如果采樣頻率大于或

2、等于，即（為連續(xù)信號的有限頻譜），則采樣離散信號能無失真地恢復(fù)到原來的連續(xù)信號 。一個頻譜在區(qū)間（- ，）以外為零的頻帶有限信號，可唯一地由其在均勻間隔 （ ）上的樣點(diǎn)值所確定。根據(jù)時域與頻域的對稱性，可以由時域采樣定理直接推出頻域采樣定理。一個時間受限信號，它集中在（）的時間范圍內(nèi)，則該信號的頻譜在頻域中以間隔為的沖激序列進(jìn)行采樣，采樣后的頻譜可以惟一表示原信號的條件為重復(fù)周期，或頻域間隔（其中）。采樣信號 的頻譜是原信號頻譜 的周期性重復(fù)，它每隔 重復(fù)出現(xiàn)一次。當(dāng)2 時，不會出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，原信號的頻譜的形狀不會發(fā)生變化，從而能從采樣信號 中恢復(fù)原信號 。（注：2 的含義是：采樣頻率大于等于

3、信號最高頻率的2倍；這里的“不混疊”意味著信號頻譜沒有被破壞，也就為后面恢復(fù)原信號提供了可能?。?a)(b) (c)圖* 抽樣定理a) 等抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（不混疊）b) 高抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（不混疊）c) 低抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（混疊）2.1.2信號采樣 如圖1所示，給出了信號采樣原理圖信號采樣原理圖（a） 由圖1可見，其中，沖激采樣信號的表達(dá)式為： 其傅立葉變換為，其中。設(shè)，分別為，的傅立葉變換，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得 若設(shè)是帶限信號，帶寬為， 經(jīng)過采樣后的頻譜就是將在頻率軸上搬移至處（幅度為原頻譜的倍）。因此，當(dāng)時，頻譜不發(fā)生混疊；而當(dāng)時，頻譜發(fā)生混疊。一

4、個理想采樣器可以看成是一個載波為理想單位脈沖序列的幅值調(diào)制器，即理想采樣器的輸出信號，是連續(xù)輸入信號調(diào)制在載波上的結(jié)果，如圖2所示。圖2 信號的采樣用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述上述調(diào)制過程，則有理想單位脈沖序列可以表示為 其中是出現(xiàn)在時刻，強(qiáng)度為1的單位脈沖。由于的數(shù)值僅在采樣瞬時才有意義，同時，假設(shè)所以又可表示為2.1.3信號重構(gòu)設(shè)信號被采樣后形成的采樣信號為，信號的重構(gòu)是指由經(jīng)過內(nèi)插處理后，恢復(fù)出原來信號的過程。又稱為信號恢復(fù)。若設(shè)是帶限信號，帶寬為，經(jīng)采樣后的頻譜為。設(shè)采樣頻率，則由式（9）知是以為周期的譜線。現(xiàn)選取一個頻率特性（其中截止頻率滿足）的理想低通濾波器與相乘，得到的頻譜即為原信號的頻譜。

5、顯然，與之對應(yīng)的時域表達(dá)式為 （10）而將及代入式（10）得 （11）式（11）即為用求解的表達(dá)式，是利用MATLAB實(shí)現(xiàn)信號重構(gòu)的基本關(guān)系式，抽樣函數(shù)在此起著內(nèi)插函數(shù)的作用。例：設(shè)，其為：即的帶寬為，為了由的采樣信號不失真地重構(gòu)，由時域采樣定理知采樣間隔，?。ㄟ^采樣）。利用MATLAB的抽樣函數(shù)來表示，有。據(jù)此可知：通過以上分析，得到如下的時域采樣定理：一個帶寬為wm的帶限信號f(t)，可唯一地由它的均勻取樣信號fs(nTs)確定，其中，取樣間隔Ts</wm, 該取樣間隔又稱為奈奎斯特間隔。 根據(jù)時域卷積定理，求出信號重構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 式中的抽樣函數(shù)Sa(wct)起著內(nèi)插函數(shù)的作用

6、，信號的恢復(fù)可以視為將抽樣函數(shù)進(jìn)行不同時刻移位后加權(quán)求和的結(jié)果，其加權(quán)的權(quán)值為采樣信號在相應(yīng)時刻的定義值。利用MATLAB中的抽樣函數(shù)來表示Sa(t)，有，于是，信號重構(gòu)的內(nèi)插公式也可表示為： 2.2設(shè)計的思路連續(xù)信號是指自變量的取值范圍是連續(xù)的，且對于一切自變量的取值，除了有若干個不連續(xù)點(diǎn)以外，信號都有確定的值與之對應(yīng)。嚴(yán)格來說，MATLAB并不能處理連續(xù)信號，而是用等時間間隔點(diǎn)的樣值來近似表示連續(xù)信號。當(dāng)取樣時間間隔足夠小時，這些離散的樣值就能較好地近似連續(xù)信號。時域?qū)B續(xù)時間信號進(jìn)行采樣，是給它乘以一個采樣脈沖序列，就可以得到采樣點(diǎn)上的樣本值，信號被采樣前后在頻域的變化，可以通過時域頻域

7、的對應(yīng)關(guān)系分別求得了采樣信號的頻譜。 在一定條件下，一個連續(xù)時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的瞬時值來表示，并且可以用這些樣本值把信號完全恢復(fù)過來。這樣，抽樣定理為連續(xù)時間信號與離散時間信號的相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。通過觀察采樣信號的頻譜，發(fā)現(xiàn)它只是原信號頻譜的線性重復(fù)搬移，只要給它乘以一個門函數(shù)，就可以在頻域恢復(fù)原信號的頻譜，在時域是否也能恢復(fù)原信號時，利用頻域時域的對稱關(guān)系，得到了信號。2.3詳細(xì)設(shè)計過程2.3.1的臨界采樣及重構(gòu)1實(shí)現(xiàn)程序代碼當(dāng)采樣頻率小于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為臨界采樣. 修改門信號寬度、采樣周期等參數(shù)，重新運(yùn)行程序，觀察得到的采樣信號時域和頻域

8、特性，以及重構(gòu)信號與誤差信號的變化。Sa(t)的臨界采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=1;%升余弦脈沖信號帶寬wc=wm; %頻率Ts=pi/wm; %周期ws=2.4*pi/Ts; %理想低通截止頻率n=-100:100; %定義序列的長度是201nTs=n*Ts %采樣點(diǎn)f=sinc(nTs/pi); %抽樣信號Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t); %信號重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號');subplot(212);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title(&