05第五節(jié)三重積分2

1、第五節(jié)三重積分（一）分布圖示利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分例1例2例3利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分例4例5例6空間立體的質(zhì)心與轉(zhuǎn)動慣量例7例8例9空間立體對質(zhì)點(diǎn)的引力例10內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題9 5返回內(nèi)容要點(diǎn)一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分點(diǎn)M的直角坐標(biāo)（x, y,z）與柱面坐標(biāo)（r,z）之間的關(guān)系為x=rcosv, y=rsi n n, z = z.（5.1）柱面坐標(biāo)系中的三族坐標(biāo)面分別為常數(shù)：一族以z軸為中心軸的圓柱面；v -常數(shù)：一族過z軸的半平面； z=常數(shù)：一族與xOy面平行的平面.柱面坐標(biāo)系中的體積微元 ：dv =rdrd Fz，為了把上式右端的三重積分化為累次積分，平行于z軸的直線與區(qū)域I

2、的邊界最多只有兩個交點(diǎn).設(shè)門在xOy面上的投影為 D，區(qū)域D用r，二表示.區(qū)域門關(guān)于xOy面的投影柱面將11的邊界曲面分為上、下兩部分，設(shè)上曲面方程為z = z1（r1），下曲面方程為（rj） D，于是Z2(rdZi(r,Tz=Z2(r,n)，Zi(r,r) Ez Ez2(r,r)，ill f(r cossin v,z)rdrdFz= rdrd . f (r cos：1, rsin v,z)dz卜D二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分點(diǎn)M的直角坐標(biāo)（x, y, z）與柱面坐標(biāo)（r,：:門）之間的關(guān)系為x = OP cost - r sin cost,y = OP sin v - r sin sin n

3、,(5.3)z =rcos球面坐標(biāo)系中的三族坐標(biāo)面分別為r二常數(shù)：一族以原點(diǎn)為球心的球面；：二常數(shù)：一族以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，z軸為對稱軸的圓錐面;二二常數(shù)：一族過z軸的半平面.球面坐標(biāo)系中的體積微元 ：dv二r2 sin drd d ，、三重積分的應(yīng)用 空間立體的重心 1xx(x,y,z)dv, 1yy(x,y,z)dv 1z乙-(x,y,z)dv 其中，M ： III Hx,y,z)dv為該物體的質(zhì)量空間立體的轉(zhuǎn)動慣量2 2lx 二 心 z )dv,Q空間立體對質(zhì)點(diǎn)的引力2 2ly 二 】(x z )dv, QIII !:(x2 y2)dv.QF =Fx,Fy,Fz=丿皿G：、(x-xo)dv,G

4、(y -y°)dv,.¥(z-z0)Q3 dv r例題選講利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分例1 (E01) 立體"是圓柱面x2y=1內(nèi)部，平面z=2下方,2-y上方部分，其上任一點(diǎn)的密度與它到z軸之距離成正比(比例系數(shù)為解據(jù)題意，密度函數(shù)為K),求的質(zhì)量m.:?(x, y,z) = K . x2y2,所以 m =：'(x,y,z)dv = K . x2y2 dv.QQ利用柱坐標(biāo)，先對 z積分，I】在xOy平面上投影域D為D =(x,y)x2 +y2 蘭 1,2 2二 (Kr) rdrd dz 二 K 11 r drd 二！ 2 dz =QD 1 *r2 二 1K

5、0 Sr2dr2dz122=2K 0 r (1 r )dr -16： K例2 (E02)計(jì)算iiizdxdydz,其中I】是由球面圍成(在拋物面內(nèi)的那一部分)的立體區(qū)域.x2 y2 z2=4與拋物面x2 y2 = 3z所解 利用柱面坐標(biāo)，題設(shè)兩曲面方程分別為r2z4, r2=3 z.從中解得兩曲面的交線為 z =1, r - 3,1在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?D: 0 r3, 0 - 2二.對投影區(qū)域 D內(nèi)任一點(diǎn)(rj),有r2.34 丄13dr r2 r zdz .o4訂z2.寸4所以 I 二 rdrd 31 r2 zdz 二例3計(jì)算I ： hi (x2 y2)dxdyd z,其中i是曲線y2

6、=2z,x=：0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的Q曲面與平面z=2,z=8所圍的立體.解 由曲線y2 =2z, x =0繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為x2y2 =2z旋轉(zhuǎn)拋物面2 2 、rrr設(shè)：0_2-：, 0 _r _4, z_82 : 0_ 2二，0 _ r _2, z_22 222222兀 4822兀 222I =(x2 y2)dxdydzi i i(x2 y2)dxdydz 二 dr r2 r r2dz - dv dr r2 r r2dzJJ00 三00 巨4525336：.36利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分例4計(jì)算11, (x2 y2)dxdydz,其中門是錐面x2yz2與平面z =a (a 0)所圍的立

7、Q體.解在球面坐標(biāo)系中acos2 2 2x y z故積分區(qū)域I】可表為aH“：0 乞r, 0,0 乞二乞2二cos®42下所以Iii(x2 y2)dxdydz二。在 °4d；os r4sin3 dr QJI23nJr4 rlu9-d5Sco712二 4 Jrtu5a- cos cosd cos兀5a注：本題也可采用柱面坐標(biāo)來計(jì)算此時，錐面x2 y=z2積分區(qū)域1】：r乞z乞a, 0乞r乞a, 0 - 2二，同樣得到! i(x2 y2)dxdydz 二 Q :5a .10例5 (E03)計(jì)算球體x2 y2 z 2a2在錐面z = . x2 y2上方部分門的體積(圖9-5-7)

8、.解在球面坐標(biāo)系中，x2y2 z2 =2a2r - . 2a,z=,y24,門：0 _r _.2a,0, 0_r_2二4故所求體積2 -二2a二:iiidxdydz 二° r2s in dr =2 二 J si n :6例6計(jì)算口 (x+y+z)2dxdydz,其中0是由拋物面z = x2+y2和球面Qx2 y2 z2 =2所圍成的空間閉區(qū)域.2 2 2 2解(x y z)二 x y z 2(xy yz zx)注意到J關(guān)于zOx和yOz面對稱，有111 (xy yz)dv 二 0, i i i xzdv 二 0QQ且！! ix2dv 二y2dvQQ】在xOy面上的投影區(qū)域圓域D :

9、0_2二，0 乞 r 乞 1對D內(nèi)任一點(diǎn)，有r2二z蟲£2r2,所以2龐1斗2(x y z)2dxdydz 二(2x2 z2)dxdydz°dr 2r(2r2 cos2z2)dzQQ'r(90.2 -89).60三重積分的應(yīng)用例7 (E04)已知均勻半球體的半徑為 a,在該半球體的底圓的一旁，拼接一個半徑與球 的半徑相等，材料相同的均勻圓柱體，使圓柱體的底圓與半球的底圓相重合 ，為了使拼接后 的整個立體重心恰是球心，問圓柱的高應(yīng)為多少？解 如圖(見系統(tǒng)演示)，設(shè)所求的圓柱體的高度為 H,使圓柱體與半球的底圓在 xOy平r2 sin drd d v - r4Qsin3

10、 drd - d = ：?二二a5 4532a2M .5面上.圓柱體的中心軸為 z軸，設(shè)整個立體為1,其體積為V,重心坐標(biāo)為（x,y,z）.由題意應(yīng)有x = y =0.于是設(shè)圓柱體與半球分別為 “2,分別用柱面坐標(biāo)與球面坐標(biāo)計(jì)算，得2兀aH2兀 兀a211 izdv d ° dr ° zrdr 亠丨 d r d :。r cos r sin draH2a 30 rdr 0 zdr °2co sin d o r dr1 2 121 1 a 江 222=2兀一a2 ，H2 十2兀一I = a2(2H2 a2) =0.2 2i 2丿 44得H二“2 a 2,就是所求圓柱的

11、高例8求密度為的均勻球體對于過球心的一條軸I的轉(zhuǎn)動慣量.解取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，球的半徑為a, z軸與軸I重合，則球體所占空間閉區(qū)域門-( x,y,z) |x2 y2z2 乞a2.所求轉(zhuǎn)動慣量即球體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量為lz = （x2 亠 y2） ：dv = （r2 sin2 cos2 ） r2sin2 sin2 旳 QQiaa 5sin3 d r4dr 、2:皂 sin3 d :005 0其中“吟尹為球體的質(zhì)量例9求高為h,半頂角為一，密度為丄（常數(shù)）的正圓錐體繞對稱軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量4解 取對稱軸為z軸，取頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系，則Iz 二（x2 y2）"dv利用截面法，由Dz:x

12、2 y2 乞 z2,：0EzEh, (x,y) Dzh22h 22r2 rdrhdz2 -z4d2二0 44hz4dzh5.) 10得到 I z = o dz 11 (x y )：dxdy =0 dz 0 d v 0 Dz例10設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球(其密度為常數(shù):-0 )占有空間區(qū)域2 2 2 2門二(x, y,z)|x y z <R .求它對位于M°(O,O,a)(a R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力Fx =Fy =0,所求引力沿解 設(shè)球的密度為 心，由球體的對稱性及質(zhì)量分布的均勻性知z軸的分量為z a匸Fz l G：0x2 y2 (z-a)23/2dv =G：；0 -R(z -a)dzIfx2 yR2 蘭dxdyx2 y2 (z a)23/2R二G 訂 (za)dz dr-R02 二R2少(z a)23'