高中數(shù)學(xué)中集合的概念與運算的解題歸納

1、 §1.1 集合的概念與運算一、知識導(dǎo)學(xué)1.集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合.2.元素：集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱元.3.子集：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素（若則），則稱集合A為集合B的子集，記為AB或BA；如果AB，并且AB，這時集合A稱為集合B的真子集，記為AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同時滿足AB、BA，則A=B.5.補(bǔ)集：設(shè)AS，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集，記為 .6.全集：如果集合S包含所要研究的各個集合，這時S可以看做一個全集，全集通常記作U.7.交集：一般地，由所有屬于集合

2、A且屬于B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集，記作AB.8.并集：一般地，由所有屬于集合A或者屬于B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并集，記作AB.9.空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作.10.有限集：含有有限個元素的集合稱為有限集.11.無限集：含有無限個元素的集合稱為無限集.12.集合的常用表示方法：列舉法、描述法、圖示法（Venn圖）.13.常用數(shù)集的記法：自然數(shù)集記作N，正整數(shù)集記作N+或N，整數(shù)集記作Z，有理數(shù)集記作Q，實數(shù)集記作R. 二、疑難知識導(dǎo)析1.符號，=，表示集合與集合之間的關(guān)系，其中“”包括“”和“=”兩種情況，同樣“”包括“”和“=”兩種情況.符號，表示元素與集合之間

3、的關(guān)系.要注意兩類不同符號的區(qū)別.2.在判斷給定對象能否構(gòu)成集合時，特別要注意它的“確定性”，在表示一個集合時，要特別注意它的“互異性”、“無序性”.3.在集合運算中必須注意組成集合的元素應(yīng)具備的性質(zhì).4.對由條件給出的集合要明白它所表示的意義，即元素指什么，是什么范圍用集合表示不等式（組）的解集時，要注意分辨是交集還是并集，結(jié)合數(shù)軸或文氏圖的直觀性幫助思維判斷空集是任何集合的子集，但因為不好用文氏圖形表示，容易被忽視，如在關(guān)系式中，B=易漏掉的情況.5.若集合中的元素是用坐標(biāo)形式表示的，要注意滿足條件的點構(gòu)成的圖形是什么，用數(shù)形結(jié)合法解之.6.若集合中含有參數(shù)，須對參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論時既

4、不重復(fù)又不遺漏.7.在集合運算過程中要借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來.8.要注意集合與方程、函數(shù)、不等式、三角、幾何等知識的密切聯(lián)系與綜合使用. 9.含有n個元素的集合的所有子集個數(shù)為：，所有真子集個數(shù)為：-1 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 已知集合M=y|y =x21,xR,N=y|y =x1,xR，則MN=（ ）A（0，1），（1，2） B（0，1），（1，2）Cy|y=1,或y=2 Dy|y1錯解：求MN及解方程組 得 或 選B錯因：在集合概念的理解上，僅注意了構(gòu)成集合元素的共同屬性，而忽視了集合的元素是什么事實上M、N的元素是數(shù)而不是實數(shù)對(x,y)，因此M、N是

5、數(shù)集而不是點集,M、N分別表示函數(shù)y=x21(xR)，y=x1(xR)的值域，求MN即求兩函數(shù)值域的交集正解：M=y|y=x21,xR=y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN=y|y1y|(yR)=y|y1, 應(yīng)選D注：集合是由元素構(gòu)成的，認(rèn)識集合要從認(rèn)識元素開始，要注意區(qū)分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR，這三個集合是不同的例2 已知A=x|x23x2=0,B=x|ax2=0且AB=A，求實數(shù)a組成的集合C錯解：由x23x2=0得x=1或2當(dāng)x=1時，a=2， 當(dāng)x=2時，a=1錯因：上述解答只注意了B為非空集合，實際上，B=時，仍滿足AB=A.當(dāng)

6、a=0時，B=，符合題設(shè)，應(yīng)補(bǔ)上，故正確答案為C=0，1，2正解：AB=A BA 又A=x|x23x2=0=1，2B=或 C=0，1，2例3已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，則有： （ ）Am+nA B. m+nB C.m+nC D. m+n不屬于A，B，C中任意一個錯解：mA，m=2a,a,同理n=2a+1,aZ, m+n=4a+1,故選C錯因是上述解法縮小了m+n的取值范圍.正解：mA, 設(shè)m=2a1,a1Z, 又n,n=2a2+1,a2 Z ,m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , m+nB, 故選B.例4 已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若

7、BA，求實數(shù)p的取值范圍錯解：由x23x100得2x5欲使BA，只須 p的取值范圍是3p3.錯因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結(jié)論，即B=時，符合題設(shè) 正解：當(dāng)B時，即p12p1p2.由BA得：2p1且2p15.由3p3. 2p3當(dāng)B=時，即p1>2p1p2.由、得：p3.點評：從以上解答應(yīng)看到：解決有關(guān)AB=、AB=，AB等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題例5 已知集合A=a,ab,a2b，B=a,ac,ac2若A=B，求c的值分析：要解決c的求值問題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想，此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個集合元素

8、完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關(guān)系式 解：分兩種情況進(jìn)行討論 （1）若ab=ac且a2b=ac2，消去b得：aac22ac=0，a=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故a0c22c1=0，即c=1，但c=1時，B中的三元素又相同，此時無解（2）若ab=ac2且a2b=ac，消去b得：2ac2aca=0，a0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=點評：解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗.例6 設(shè)A是實數(shù)集，滿足若aA，則A，且1ÏA.若2A，則A中至少還有幾個元素？求出這幾個元素.A能否為單元素集合

9、？請說明理由.若aA，證明：1A.求證：集合A中至少含有三個不同的元素.解：2A Þ 1A Þ A Þ 2A A中至少還有兩個元素：1和如果A為單元素集合，則a即0該方程無實數(shù)解，故在實數(shù)范圍內(nèi)，A不可能是單元素集aA Þ A Þ AÞA，即1A由知aA時，A， 1A .現(xiàn)在證明a,1, 三數(shù)互不相等.若a=,即a2-a+1=0 ，方程無解，a若a=1，即a2-a+1=0，方程無解a1 若1 =，即a2-a+1=0，方程無解1.綜上所述，集合A中至少有三個不同的元素.點評：的證明中要說明三個數(shù)互不相等，否則證明欠嚴(yán)謹(jǐn).例7 設(shè)集合A=

10、|=,N+，集合B=|=,N+，試證：AB證明：任設(shè)A， 則=(2)24(2)5 (N+), nN*， n2N* aB故 顯然，1，而由B=|=,N+=|=，N+知1B，于是AB 由、 得AB點評：（1）判定集合間的關(guān)系，其基本方法是歸結(jié)為判定元素與集合之間關(guān)系（2）判定兩集合相等，主要是根據(jù)集合相等的定義四、典型習(xí)題導(dǎo)練1集合A=x|x23x100，xZ，B=x|2x2x60， x Z，則AB的非空真子集的個數(shù)為（） A16          B14 C15         D322數(shù)集1，2，x23中的x不能取的數(shù)值的集合是（）A2，-2     B2，  C±2，±      D，3. 若P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x21,xR，則PQ等于（ ）APBQ C D不知道4. 若P=y|y=x2,xR