高等數(shù)學(xué)上冊知識點匯總

1、三角函數(shù)公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：倒數(shù)關(guān)系：商的關(guān)系：平方關(guān)系：tanx=1cotxsinxcosx=tanx=secxcscxsin2x+cos2x=1cscx=1sinxcosxsinx=cotx=cscxsecx1+tan2x=sec2xsecx=1cosx1+cot2x=csc2x二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2=2sincos=2tan+cotsin3x=3sinx-4sin3xcos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2cos3x=4cos3x-3cosx=3tanx-tan3xtan2=2tan1-tan2tan3x=3tanx

2、-tan3x1-3tan2xtan2=sec2-1asinx±bcosx=a2+b2sinx±其中角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=ba確定兩角和與差的三角函數(shù)：萬能公式：cos+=coscos-sinsinsinx=2tanx21+tan2x2cos-=coscos+sinsincosx=1-tan2x21+tan2x2sin±=sincos±cossintanx=2tanx21-tan2x2tan+=tan+tan1-tantantan-=tan-tan1+tantan和差化積公式：積化和差公式：sin+sin=2sin+2cos-2si

3、ncos=12sin+sin-sin-sin=2cos+2sin-2cossin=12sin+-sin-cos+cos=2cos+2cos-2coscos=12cos+cos-cos-cos=-2sin+2sin-2sinsin=-12cos+-cos-等比數(shù)列的求和公式：Sn=a1-anq1-q=a11-qn1-q等差數(shù)列求和公式：Sn=na1-an2=na1+nn-12d立方和差公式：x3-y3=x-yx2+xy+y2x3+y3=x+yx2-xy+y2xn-an=x-axn-1+axn-2+xan-2+an-1對數(shù)的概念：如果a（a>0，且a1）的b次冪等于N，即ab=N，那么數(shù)b

4、叫做以a為 底N的對數(shù)，記 作：logaN=b.由定義知：（1）負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)；（2）a>0，且a1，N>0；（3）loga1=0，logaa=1，logaaN=N，alogaN=N.對數(shù)函數(shù)的運算法則：（）logaMN=logaM+logaN（）logaM÷N=logaM-logaN（）logaMn=nlogaM（）logbN=logaNlogab（）logamNn=nmlogaN三角函數(shù)值角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360&

5、#176;sin012223213222120-10cos13222120-12-22-32-101tan03313/-3-1-330/0導(dǎo)數(shù)公式：（1）C'=0（2）x'=x-1（3）sinx'=cosx（4）cosx'=-sinx（5）tanx'=sec2x（6）cotx'=-csc2x（7）secx'=secxtanx（8）cscx'=-cscxcotx（9）ax'=axlna（10）ex'=ex（11）logax'=1xlna（12）lnx'=1x（13）arcsinx'=11-x2

6、（14）arccosx'=-11-x2（15）arctanx'=11+x2（16）arccotx'=-11+x2基本積分表：（1）kdx=kx+C（k是常數(shù)），（2）xdx=x+1+1+C1（3）dxx=lnx+C（4）dx1+x2=arctanx+C（5）tanxdx=-lncosx+C（6）cotxdx=lnsinx+C（7）secxdx=lnsecx+tanx+C（8）cscxdx=lncscx-cotx+C（9）dxa2+x2=1aarctanxa+C（10）dxx2-a2=12alnx-ax+a+C（11）dxa2-x2=arcsinxa+C（12）dxx2+

7、a2=lnx+x2+a2+C（13）dxx2-a2=lnx+x2-a2+C第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 映射與函數(shù)一、集合如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a A；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作a A.全體非負(fù)整數(shù)即自然數(shù)的集合記作N，即N=0，1，2，n，；全體正整數(shù)的集合為N+=1，2，n，；全體整數(shù)的集合記作Z，即Z=，-n，-2，-1，0，1，2，n，；全體有理數(shù)的集合記作Q，即Q=pq | pZ，qN+且p與q互質(zhì)；全體實數(shù)的集合記作R.如果集合A與集合B互為子集，即A B且B A，則稱集合A與集合B相等，記作A= B.例如，設(shè)A=1，2，B=x | x2-3x+2=

8、0.則A=B若A B且A B，則稱A是B的真子集，記作A B.不含任何元素的集合稱為空集，規(guī)定空集是任何集合A的子集，即 A.設(shè)A、D、C為任意三個集合，則有下列法則成立:（1）交換律A B = B A，A B = B A;（2）結(jié)合律ABC=ABC，ABC=ABC（3）分配律ABC=ACBC，ABC=ACBC（4）對偶律ABC=ACBC，ABC=ACBC二、映射 定義設(shè)X、Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作 f：X Y其中y稱為元素x（在映射f下）的像，并記作了fx，即 y=fx而元素x稱為元素

9、y(在映射f下)的一個原像；集合X稱為映射f的定義域，記作Df，即Df=X；X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域，記作Rf或fX，即Rf=fX=fx|xX三、函數(shù)定義設(shè)數(shù)集DR，則稱映射f：DR為定義在D上的函數(shù)，通常簡記為 y=fx，xD其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作Df，即Df=D.如果兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則也相同，那么這兩個函數(shù)就是相同的，否則就是不同的. 在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)，通常稱為分段函數(shù).函數(shù)的幾種特性：（1）函數(shù)的有界性 如果存在正數(shù)M，使得 |fx|M對任一xX 都成立，則稱函數(shù)fx在X上有界·

10、如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)fx在X上無界;這就是說，如果對于任何正數(shù)M，總存在x1X，使|fx1|>M，那么函數(shù)fx在X上無界. 容易證明，函數(shù)fx在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.（2）函數(shù)的單調(diào)性（3）函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)fx的定義域D關(guān)于原點對稱.如果對干任一 xD，f-x=fx恒成立，則稱fx為偶函數(shù). 如果對干任一 xD，f-x=-fx恒成立，則稱fx為奇函數(shù).偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸是對稱的，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點是對稱的，反函數(shù)的圖形關(guān)于y = x對稱.函數(shù)y=sinx是奇函數(shù).函數(shù)y=cosx是偶函數(shù).函數(shù)y=sinx+cosx既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù).（4）函

11、數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)fx的定義域為D.如果存在一個正數(shù)l，使得對于任一xD有x±lD且 fx+l=fx恒成立，則稱fx為周期函數(shù), l稱為fx的周期，通常我們說周期函數(shù)的周期是指最小正周期.初等函數(shù)： 冪函數(shù)：y=x（R是常數(shù)） 指數(shù)函數(shù)：y=axa>0且a1 對數(shù)函數(shù)：y=logaxa>0且a1，特別當(dāng)a=e時，記為y=lnx 三角函數(shù)：y=sinx 反三角函數(shù)：y=arcsinx 以上這五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù). 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù). 對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)當(dāng)a>0且a1，N=ax

12、等價于x=logaN，對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).第二節(jié) 數(shù)列的極限 定義設(shè)xn為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么小），總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n > N時，不等式|xn-a|<都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限，或者稱數(shù)列xn收斂于a，記為limnxn=a如果不存在這樣的常數(shù)a，就說數(shù)列xn沒有極限，或者說數(shù)列xn是發(fā)散的，習(xí)慣上也說limnxn不存在.定理1（極限的唯一性）如果數(shù)列xn收效，那么它的極限唯一.定理2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列xn收效，那么數(shù)列xn一定有界.根據(jù)上述定理，如果數(shù)列xn無界，那么數(shù)列xn一定發(fā)散，但是，如果數(shù)列xn有界。卻不

13、能斷定數(shù)列xn一定收斂，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件. 定理3（收斂數(shù)列的保號性）如果limnxn=a，且a>0或a<0，那么存在正整數(shù)N > 0，當(dāng)n > N時，都要xn>0或xn<0.定理4（收效數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列xn收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a.第三節(jié) 函數(shù)的極限 定義1設(shè)函數(shù)fx在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)，使得當(dāng)𝓍滿足不等式0<x-x0<時，對應(yīng)的函數(shù)值fx都滿足不等式fx-A<那么常數(shù)A就叫做函

14、數(shù)fx當(dāng)xx0時的極限，記作limxx0fx=A或fxA當(dāng)xx0我們指出，定義中0<x-x0表示 xx0，所以xx0時fx有沒有極限，與fx在點x0是否有定義并無關(guān)系.定義2設(shè)函數(shù)fx在當(dāng)x大于某一正數(shù)時有定義.如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在著正數(shù)X，使得當(dāng)x滿足不等式x>X時，對應(yīng)的函數(shù)值fx都滿足不等式fx-A<那么常數(shù)A就叫做函數(shù)fx當(dāng)x 時的極限，記作limxfx=A或fxA當(dāng)x定理1（函數(shù)極限的唯一性） 如果limxx0fx存在，那么這極限唯一.定理2（函數(shù)極限的局部有界性） 如果limxx0fx=A，那么存在常數(shù)M > 0和 &g

15、t; 0，使得當(dāng)0<x-x0<時，有fxM.定理3（函數(shù)極限的局部保號性） 如果limxx0fx=A，且A > 0（或A < 0），,那么存在常數(shù) > 0，使得當(dāng)0<x-x0<時，有fx>0（或fx<0）.第四節(jié) 無窮小與無窮大 定義1如果函數(shù)fx當(dāng)xx0（或x）時的極限為零，那么稱函數(shù)fx為當(dāng)xx0（或x）時的無窮小 特別地，以零為極限的數(shù)列xn稱為 n時的無窮小.定理1在自變量的同一變化過程xx0（或x）中，函數(shù)fx具有極限A的充分必要條件是了fx=A+，其中是無窮小.定義2設(shè)函數(shù)fx在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或x大于某一正數(shù)時有定

16、義），如果對于任意給定的正數(shù)M（不論它多么大），總存在正數(shù)（或正數(shù)X），只要x適合不等式0<x-x0<（或x>X），對應(yīng)的函數(shù)值fx總滿足不等式fx>M則稱函數(shù)fx為當(dāng)xx0（或x）時的無窮大.定理2在自變量的同一變化過程中，如果fx為無窮大，則1fx為無窮小;反之，如果fx為無窮小，且fx0，則1fx為無窮大.第五節(jié) 極限運算法則定理1有限個無窮小的和也是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2有限個無窮小的乘積也是無窮小.定理3如果limfx=A，limgx=B，那么（1）limfx±gx= limfx

17、7;limgx=A±B（2）limfxgx= limfxlimgx=AB（3）若又有B 0，則limfxgx=limfxlimgx=AB推論1如果limfx存在，而c為常數(shù)，則limcfx=climfx.推論2如果limfx存在，而n是正整數(shù)，則limfxn=limfxn定理6（復(fù)合函數(shù)的極限運算法則）設(shè)函數(shù)y=fgx是由函數(shù)u=gx與函數(shù)y=fu復(fù)合而成，fgx在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若limxx0gx=u0，limuu0fu=A，且存在0>0，當(dāng)xUx0，0時，有g(shù)xu0，則limxx0fgx=limuu0fu=A第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限：lim

18、x0sinxx=1limx1+1xx=e準(zhǔn)則 如果數(shù)列xn 、yn及zn滿足下列條件：（1）從某項起，即 n0N，當(dāng)n >n0時，有yn xn zn（2）limnyn=a，limnzn=a那么數(shù)列xn的極限存在，且limnxn=a（稱為：夾逼準(zhǔn)則）準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限柯西極限存在準(zhǔn)則數(shù)列xn收斂的充分必要條件是:對于任意給定的正數(shù)，存在著這樣的正整數(shù)N，使得當(dāng)m >N，n >N時，就有|xn-xm|< 這準(zhǔn)則的幾何意義表示，數(shù)列xn收斂的充分必要條件是:對于任意給定的正數(shù)，在數(shù)軸上一切具有足夠大號碼的點xn中，任意兩點間的距離小于. 柯西極限存在準(zhǔn)則有時也叫做柯西

19、審斂原理.第七節(jié) 無窮小的比較定義:如果lim=0，就說是比高階的無窮小，記作 = o（）如果lim=，就說是比低階的無窮小.如果lim=c0，就說是比同階的無窮小.如果limk=c0，k>0，就說是關(guān)于的k階無窮小.如果lim=1，就說與是等價的無窮小，記作 .等價無窮?。?+x1n-11nx ， xsinx，xtanx ，xarcsinx， 1-cosx12x2，lnx+1x，ex1+x定理1與是等價無窮小的充分必要條件為：=+o定理2設(shè) '， '，且lim ' '存在，則lim= lim ' '第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點定義設(shè)函數(shù)y

20、=fx在點x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果limx0y=limx0fx0+x-fx0=0那么就稱函數(shù)y=fx在點x0連續(xù).所以，函數(shù)y=fx在點x0連續(xù)的定義又可敘述如下：設(shè)函數(shù)y=fx在點x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果：limxx0fx=fx0那么就稱函數(shù)fx在點x0連續(xù). 設(shè)函數(shù)fx在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義.在此前提下，如果函數(shù)fx有下列三種情形之一：（1）在x=x0沒有定義； （2）雖在x=x0有定義，但limxx0fx不存在；（3）雖在x=x0有定義，且limxx0fx存在，但limxx0fxfx0，則函數(shù)fx在點x0為不連續(xù)，而點x0稱為函數(shù)fx的不連續(xù)點或間斷點.函數(shù)間斷點的幾種常見

21、類型：（1）無窮間斷點（2）震蕩間斷點（3）可去間斷點（4）跳躍間斷點通常把間斷點分成兩類：如果x0是函數(shù)fx的間斷點，但左極限fx0-及右極限fx0+都存在，那么x0稱為函數(shù)fx的第一類間斷點.不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.可去間斷點和跳躍間斷點為第一類間斷點.無窮間斷點和震蕩間斷點顯然是第二類間斷點.第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性定理1設(shè)函數(shù)fx和gx在點x0連續(xù)，則它們的和（差）、積及商都在點x0連續(xù).定理2如果函數(shù)y=fx在區(qū)間Ix上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f-1x也在對應(yīng)的區(qū)間Ix=y | y=fx，xIx上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且

22、連續(xù).一般的，對于形如uxvx（ux>0，ux1）的函數(shù)（通常稱為冪指函數(shù)），如果limux=a>0，limvx=b那么limuxvx=ab第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理1（有界性與最大值最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值. 定理2（零點定理）設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間 a，b 上連續(xù)，且fa與fb異號，那么在開區(qū)間a，b內(nèi)至少有一點，使 f=0定理3（介值定理）設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間 a，b 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 fa=A 及 fb=B那么，對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間a，b內(nèi)至少有一點，使得f=C a<<

23、;b推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念 定義設(shè)函數(shù)y=fx在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量x（點x0+x仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)的函數(shù)取得增量y=fx0+x-fx0；如果y 與x之比當(dāng)x0時的極限存在，則稱函數(shù)y=fx在點x0處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=fx在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f'x0，即f'x0=limx0yx=limx0fx0+x-fx0xf'x0=limh0fx0+h-fx0hf'x0=limxx0fx-fx0x-x0也可記作y' | x= x0，dydx | x

24、= x0，dfxdx | x= x0常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（1）C'=0（2）x'=x-1（3）sinx'=cosx（4）cosx'=-sinx（5）tanx'=sec2x（6）cotx'=-csc2x（7）secx'=secxtanx（8）cscx'=-cscxcotx（9）ax'=axlna（10）ex'=ex（11）logax'=1xlna（12）lnx'=1x（13）arcsinx'=11-x2（14）arccosx'=-11-x2（15）arctanx'=1

25、1+x2（16）arccotx'=-11+x2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則：u±v'=u'±v'Cu'=Cu'uv'=u'v+uv'uv'=u'v-uv'v2極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等。如果極限不存在，就說函數(shù)y=fx在點x0處不可導(dǎo)。如果不可導(dǎo)的原因是由于x0時，比 式 yx，為了方便起見，也往往說函數(shù)y=fx在點x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.由此可見，當(dāng)x0時，y0，這就是說，函數(shù)y=fx在點x處是連續(xù)的，所以，如果函數(shù)y=fx在點x處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點必連續(xù).

26、另一方面，一個函數(shù)在某點連續(xù)卻不一定在該點可導(dǎo).第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u=ux及v=vx都在點x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點外）都在點x具有導(dǎo)數(shù).定理2如果函數(shù)x=fy在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f'y0，則它的反函數(shù)y=f-1x 在 區(qū) 間Ix=x | x=fy，yIy內(nèi)也可導(dǎo)，且f-1x'=1f'y 或 dydx=1dxdy反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).定理3如果u=gx在點x可導(dǎo)，而y=fu在點u=gx可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=fgx在點x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為dydx=f'ug'x 或 dydx=dydududx第三節(jié)高階

27、導(dǎo)數(shù)exn=exln1+xn=-1n-1n-1！1+xnsinxn=sinx+n2cosxn=cosx+n2萊布尼茨公式：uvn=k=0nCnkun-kvk第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率一般的，若參數(shù)方程x=ty=t （3）確定y與x間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程（3）所確定的函數(shù).dydx='t'td2ydx2=''t't-'t''t'3t第五節(jié)函數(shù)的微分定義設(shè)函數(shù)y=fx在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+x在這區(qū)間內(nèi)，如果增量y=fx0+x-fx0可表示為y=Ax+ox其中A是不

28、依賴于x的常數(shù)，那么稱函數(shù)y=fx在點x0是可微的，而Ax叫做函數(shù)y=fx在點x0相應(yīng)于自變量增量x的微分，記作dy，即dy=Ax 函數(shù)fx在點x0可微的充分必要條件是函數(shù)fx在點x0可導(dǎo)，且當(dāng)fx在點x0可微時，其微分一定是dy=f'x0x函數(shù)y=fx在任意點x的微分，稱為函數(shù)的微分，記作dy或dfx，即dy=f'xx通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分，記作dx，即dx=x.于是函數(shù)y=fx的微分又可記作dy=f'xdx第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理 費馬引理設(shè)函數(shù)fx在點x0的某鄰域Ux0內(nèi)有定義，并且在x0處可導(dǎo)，如果對任意的xUx0，有fx

29、fx0 或 fxfx0那么f'x0=0.通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點，臨界點）. 羅爾定理如果函數(shù)fx滿足 （1）在閉區(qū)間 a，b 上連續(xù)； （2）在開區(qū)間 a，b 內(nèi)可導(dǎo)； （3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即fa=fb，那么在 a，b 內(nèi)至少有一點 a<<b，使得f'=0.拉格朗日中值定理如果函數(shù)fx滿足（1）在閉區(qū)間 a，b 上連續(xù)；（2）在開區(qū)間 a，b 內(nèi)可導(dǎo)；那么在 a，b 內(nèi)至少有一點 a<<b，使等式fb-fa=f'a-b成立. 定理如果函數(shù)fx在區(qū)間 I 上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么fx在區(qū)間 I 上是一個常數(shù).柯西中值定理

30、如果函數(shù)fx及Fx滿足（1）在閉區(qū)間 a，b 上連續(xù)；（2）在開區(qū)間 a，b 內(nèi)可導(dǎo)；（3）在任一xa，b，F(xiàn)'x=0那么在 a，b 內(nèi)至少有一點，使等式fa-fbFa-Fb=f'F'第二節(jié)洛必達(dá)法則定理1設(shè)（1）當(dāng)xa時，函數(shù)fx及Fx都趨于零；（2）在點a 的某去心鄰域內(nèi)，f'x及F'x都存在且F'x0；（3）limxaf'xF'x存在（或為無窮大），那么limxafxFx=limxaf'xF'x這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.如果f'xF'x當(dāng)

31、xa 時仍屬于00型，且這時f'x，F(xiàn)'x能滿足定理中fx，F(xiàn)x所要滿足的條件，那么可以繼續(xù)施用洛必達(dá)法則先確定limxaf'xF'x，從而確定limxafxFx，即limxafxFx=limxaf'xF'x=limxaf''xF''x且可以以次類推.定理2設(shè)（1）當(dāng)x時，函數(shù)fx及Fx都趨于零；（2）當(dāng)x>N時，f'x及F'x都存在，且F'x0；（3）limxf'xF'x存在（或為無窮大），那么limxfxFx=limxf'xF'x其他還有一些0 、

32、- 、00、1、0型的未定式，也可通過00 或 型的未定式來計算.第三節(jié)泰勒公式泰勒中值定理如果函數(shù)fx在含有x0的某個開區(qū)間a，b內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則對任一xa，b，有fx=fx0+f'x0x-x0+f''x02!x-x02+fnx0n!x-x0n+Rnx其中Rnx=fn+1n+1!x-x0n+1這里是x0與x之間的某個值.第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性定理1設(shè)函數(shù)y=fx在 a，b 上連續(xù)，在 a，b 內(nèi)可導(dǎo).（1）如果在 a，b 內(nèi)f'x>0，那么函數(shù)y=fx在 a，b 上單調(diào)增加；（2）如果在 a，b 內(nèi)f'x<0，那么函數(shù)

33、y=fx在 a，b 上單調(diào)減少.定義設(shè)fx在區(qū)間I 上連續(xù)，如果對I 上任意兩點x1，x2 恒有fx1+x22<fx1+fx22那么稱fx在I 上的圖形是（向上）凹的（或凹?。?；如果恒有fx1+x22>fx1+fx22那么稱fx在I 上的圖形是（向上）凸的（或凸?。?定理2設(shè)fx在 a，b 上連續(xù)，在 a，b 內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么（1）若在 a，b 內(nèi)f''x>0，則fx在 a，b 上的圖形是凹的；（2）若在 a，b 內(nèi)f''x<0，則fx在 a，b 上的圖形是凸的.求連續(xù)曲線y=fx的拐點：（1）求f''x；（2）

34、令f''x=0，解出這方程在區(qū)間I 內(nèi)的實根，并求出在區(qū)間I 內(nèi)f''x不存在的點；（3）對于（2）中求出的每一個實根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點x0，檢查f''x在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，那么當(dāng)兩側(cè)的符號相反時，點x0，fx0是拐點，當(dāng)兩側(cè)的符號相同時，點x0，fx0不是拐點.第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值定義設(shè)函數(shù)fx在點x0的某鄰域Ux0內(nèi)有定義，如果對于去心領(lǐng)域Ux0內(nèi)的任一x，有fx<fx0 或 fx>fx0 那么就稱fx0是函數(shù)fx的一個極大值（或極小值）.定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)fx在點x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值。那么f&

35、#39;x0=0.定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)fx在點x0處連續(xù)，且在x0的某去心鄰域Ux0，內(nèi)可導(dǎo).（1）若xx0-，x0時，f'x>0，而xx0，x0+時，f'x<0，則fx在x0處取得極大值；（2）若xx0-，x0時，f'x<0，而xx0，x0+時，f'x>0，則fx在x0處取得極小值；（3）若xUx0，時，f'x的符號保持不變，則fx在x0處沒有極值.第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)定義1如果在區(qū)間 I 上，可導(dǎo)函數(shù)Fx的導(dǎo)函數(shù)為fx，即對任一xI，都有F'x=fx 或 dFx=fxdx那么函數(shù)Fx就稱為f

36、x （或fxdx）在區(qū)間 I 上的原函數(shù).原函數(shù)存在定理如果函數(shù) fx在區(qū)間 I 上連續(xù)，那么在區(qū)間 I 上存在可導(dǎo)函Fx，使對任一xI都有F'x=fx簡單地說就是:連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).定義2在區(qū)間 I 上，函數(shù)fx的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為fx （或fxdx）在區(qū)間 I 上的不定積分，記作fxdx其中記號稱為積分號，fx稱為被積函數(shù)，fxdx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量.fxdx=Fx+C基本積分表：（1）kdx=kx+C（k是常數(shù)），（2）xdx=x+1+1+C1（3）dxx=lnx+C（4）dx1+x2=arctanx+C（5）tanxdx=-lncosx+C（6）cotx

37、dx=lnsinx+C（7）secxdx=lnsecx+tanx+C（8）cscxdx=lncscx-cotx+C（9）dxa2+x2=1aarctanxa+C（10）dxx2-a2=12alnx-ax+a+C（11）dxa2-x2=arcsinxa+C（12）dxx2+a2=lnx+x2+a2+C（13）dxx2-a2=lnx+x2-a2+C不定積分的性質(zhì)：性質(zhì)1設(shè)函數(shù)fx及gx的原函數(shù)存在，則fx+gxdx=fxdx+gxdx性質(zhì)2設(shè)函數(shù)fx的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則kfxdx=kfxdx第二節(jié)換元積分法定理1設(shè)fu具有原函數(shù)，u=x可導(dǎo)，則有換元公式fx'xdx=fuduu=

38、x一般的，對于積分fax+bdx，總可作變換u=ax+b，把它化為fax+bdx=1afax+bdax+b =1afuduu=ax+b定理2設(shè)x=t是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且't0.又設(shè)ft't具有原函數(shù)，則有換元公式fxdx=ft'tdtt=-1t第三節(jié)分部積分法設(shè)函數(shù)u=ux及v=vx具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).那么，兩個的函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為：uv'=u'v+uv'移項，得uv'=uv'-u'v對這個等式兩邊求不定積分，得uv'dx=uv-u'vdx（1）公式（1）稱為分部積分公式.為簡便起見，一也可把公式（1）寫成下面的形式：udv=uv-vdu第四節(jié)有理函數(shù)的積分兩個多項式的商PxQx稱為有理函數(shù)，又稱有理分式. 我們總假定分子多項式Px與分母多項式Qx之間是沒有公因式的.當(dāng)分子多項式Px的次數(shù)小于分母多項式Qx的次數(shù)時，稱這有理函數(shù)為真分式，否則稱為假分式例1 求x+1x2-5x+6dx解被積函數(shù)的分母分解成x-3x-2，故可