高中三角極值問題在物理中應(yīng)用

1、高中三角極值問題在物理中的應(yīng)用摘要：本文討論了兩個(gè)常見的三角函數(shù)及的極值在物理解題中的應(yīng)用，總結(jié)了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的基本方法。關(guān)鍵詞：三角函數(shù) 極值 物理解題方法高中三角函數(shù)中，形如及的極值問題在物理題中有著廣泛的應(yīng)用，部分學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)在解物理題中的作用不夠重視，從而無法做到靈活運(yùn)用。本文通過詳細(xì)的推導(dǎo)和配套的例題，展開討論，說明用法。一、的極值應(yīng)用 極值推導(dǎo)在三角函數(shù)中形如的最值求法其理論依據(jù)為兩角和與差的正余弦公式。為求的最值，我們將其變形為設(shè)，進(jìn)而有 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最大值 范例解析mgFfFFN圖 1例1 一物體質(zhì)量為m，與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，用力拉物體在水平面

2、上勻速滑動(dòng)，求最小拉力及最小拉力的條件。解：設(shè)用與水平成角的外力F拉物體，其受力分析如圖1所示.由于物體勻速，則水平：， 豎直： 要討論F的取值，就需要討論的取值，由上可知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)y有最大，此時(shí)，F(xiàn)有最小值例2 如圖2所示，質(zhì)量為m的金屬桿，跨放在相距L的兩水平軌道上，金屬桿與軌道動(dòng)摩擦因數(shù)為?，F(xiàn)由一軌道向另一軌道輸送電流I，使桿向右勻速滑動(dòng)，求所需的最小磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。圖 2F安mgFf圖 3解析：設(shè)安培力方向與水平方向成角,如圖3所示，有解得當(dāng)時(shí)，此時(shí)y有最大，此時(shí)，有最小值例3 有一斜面，其底邊固定且水平，斜面的傾角可在內(nèi)變化，一物體在斜面上以一定的初速度向上運(yùn)動(dòng)，問當(dāng)多時(shí)，物體沿

3、斜面向上運(yùn)動(dòng)位移有最小值？最小值為多少？設(shè)物體與斜面間的動(dòng)摩擦系數(shù)始終為解：假設(shè)物體在如圖4所示傾角為的斜面上運(yùn)動(dòng)，mgFNFf圖 4受力分析，建立坐標(biāo)系由于物體勻速，則x軸： y軸： 因此根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有由前面結(jié)論可得，二、的極值應(yīng)用 極值推導(dǎo)在三角函數(shù)中形如的最值求法其理論依據(jù)三角最基本的公式和代數(shù)中一基本定理：若干個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。為求的極值，我們將其兩邊平方得，進(jìn)而有 上式中等號(hào)成立的條件是，即時(shí)，有最大值，就有y的最大值，即的最大值。 范例解析例4 一小球用輕繩懸掛在某固定點(diǎn)，現(xiàn)將輕繩水平拉直，然后由靜止開始釋放小球?？紤]小球由靜止開始運(yùn)動(dòng)到最低位置

4、的過程中（ ）A. 小球在水平方向的速度逐漸增大B. 小球在豎直方向的速度逐漸增大C. 到達(dá)最低位置時(shí)小球線速度最大D. 到達(dá)最低位置時(shí)繩中的拉力等于小球重力解：因輕繩對小球拉力的水平方向分量始終沒反向，故小球在水平方向的加速度沒反向，使小球在水平方向的速度逐漸增大，以致小球到達(dá)最低點(diǎn)位置時(shí)的線速度最大。選A、C。由小球到達(dá)最低位置時(shí)的受力情況，根據(jù)向心力的計(jì)算易得拉力應(yīng)大于小球重力，故D錯(cuò)。對于選擇項(xiàng)B，因小球到達(dá)最低位置時(shí)，在豎直方向的速度為零，故B錯(cuò)。現(xiàn)在需要探討的是，小球落到什么位置時(shí)，在豎直方向的速度最大？最大值是多少？如圖5，設(shè)質(zhì)量為的小球被長為的輕繩系住，懸掛在固定點(diǎn)。將輕繩拉直

5、至水平位置，把小球從靜止釋放。設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到使輕繩與水平方向成角時(shí)，小球的速度為。由機(jī)械能守恒定律，有即得等式Oy圖 5我們將速度正交分解為豎直方向的和水平方向的，易得，兩邊平方后將式代入有因時(shí)，有最大值，由式得豎直方向速度的最大值為，且豎直方向速度的最大值在時(shí)取得。對于本題，我們還可導(dǎo)出小球擺動(dòng)過程中豎直方向和水平方向加速度的變化情況。小球下落至A點(diǎn)時(shí)的受力情況如圖6所示。Omg圖 6FT由機(jī)械能守恒定律和向心力公式，有由、得。我們規(guī)定向下為正方向，有 當(dāng)，即時(shí)，小球在豎直方向的加速度，此時(shí)正好正好達(dá)到最大值。事實(shí)上，達(dá)到最大值的條件與達(dá)到的條件是相同的。我們再規(guī)定向左為正方向，有很顯示，當(dāng)時(shí)

6、，達(dá)到最大值PQABO圖 7例5 如圖7所示，P、Q是兩個(gè)電量（數(shù)值為）相等的正點(diǎn)電荷，它們連線的中點(diǎn)是O，A、B是中垂線垂線上的兩點(diǎn)，用、分別表示A、B兩點(diǎn)的場強(qiáng)和電勢，則（ ）A. 一定大于，一定大于B. 不一定大于，一定大于C. 一定大于，不一定大于D. 不一定大于，不一定大于解 因P、Q是兩個(gè)等量的正的點(diǎn)電荷，故距它們較近的A點(diǎn)的電勢大于距它們較遠(yuǎn)的B點(diǎn)的電勢，即。PQO圖 8ME1EE2對于A、B兩點(diǎn)場強(qiáng)大小的比較，我們利用點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式，其中是到點(diǎn)電荷Q的距離，如圖8。點(diǎn)電荷P在點(diǎn)M處的場強(qiáng)為，點(diǎn)電荷Q在點(diǎn)M處的場強(qiáng)為。因P、Q兩個(gè)正的點(diǎn)電荷電量相等，即設(shè)，由場強(qiáng)的矢量和得出點(diǎn)M處的合場強(qiáng)為因，有最大值，此時(shí)兩個(gè)點(diǎn)電荷的合場強(qiáng)取得最大值由易得到圖7或圖8兩個(gè)點(diǎn)電荷在中垂線上合場強(qiáng)最大的點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為。而圖7中的A、B兩點(diǎn)分別在合場強(qiáng)的最大值點(diǎn)兩側(cè)，故和的大小不能確定。選B。涉及三角函數(shù)極值的物理問題求解不