朱校華之?dāng)?shù)學(xué)筆記《說(shuō)一說(shuō)等腰三角形那些事》

1、 說(shuō)一說(shuō) 等腰三角形 那些事 （ 上饒市秦峰中學(xué) 朱校華 ）三角形中只有 等腰三角形 才是 軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是 ？ ；等腰三角形中，最特殊的 應(yīng)算 等邊三角形，等邊三角形 是 最優(yōu)美的 三角形；本文先說(shuō)說(shuō) 等腰三角形 的 性質(zhì)： （在教育隨筆（三十七）中說(shuō)說(shuō)判定）1. 角的性質(zhì)等腰三角形的兩底角相等 （簡(jiǎn)記為：等邊對(duì)等角）理解點(diǎn)： “等邊對(duì)等角”是一種簡(jiǎn)記（在需要填寫(xiě)理由時(shí)可用），不是一個(gè)完整的真命題，真正完整的真命題是“等腰三角形的兩底角相等”. 主要是因?yàn)椤暗冗厡?duì)等角”暗藏著大前提“在同一個(gè)三角形中”，換句話說(shuō)，“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”這樣說(shuō)是對(duì)的；而“等邊對(duì)等角”是錯(cuò)的，特別

2、在使用等腰三角形這個(gè)性質(zhì)時(shí)須注意哦！ 等腰三角形的兩個(gè)底角存在“相等”關(guān)系，這是今后解決“證明兩個(gè)角相等”問(wèn)題的第二條思路：當(dāng)要證的兩個(gè)角正好落在同一個(gè)三角形中，不妨可以考慮先去證這個(gè)三角形有兩邊相等，再利用“等邊對(duì)等角”即可。 等腰三角形“等邊對(duì)等角”這個(gè)性質(zhì)在計(jì)算角有益處：已知等腰三角形一個(gè)角的度數(shù)，能很快知道其余兩角的度數(shù)。如經(jīng)典中考題一： 有一個(gè)50°角的等腰三角形，其余兩角分別等于 ；（答案：50°，80°或65°，65°.）2. 邊的性質(zhì)等腰三角形有兩條邊相等理解點(diǎn)： 只要是等腰三角形，均有兩條邊能相等著；很明顯，遇上直角的等腰三角

3、形，只能兩條直角邊相等；鈍角的等腰三角形只能兩條短邊相等咯！ 倒過(guò)來(lái)說(shuō)，有兩條邊相等的三角形一定是等腰三角形；這其實(shí)是定義，事實(shí)上，定義就是判定（是常用來(lái)判定某一三角形是否是等腰三角形的依據(jù)之一），定義也是一條性質(zhì)，相互通用。 本性質(zhì)容易被忽視，其實(shí)卻常用著。如 畫(huà)等腰三角形，就是考慮先畫(huà)相等的兩邊之后再畫(huà)底邊；或者先畫(huà)出一條線段作為底邊，再使用圓規(guī)畫(huà)弧出交點(diǎn)，最后連出兩腰。3. 線段性質(zhì)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡(jiǎn)記為：三線合一）理解點(diǎn)： 簡(jiǎn)記“三線合一”只針對(duì)“等腰三角形”來(lái)說(shuō)，而且“三線”僅限于 等腰三角形ADCB的頂角平分線、底邊上的高及底邊上的中線 這

4、三條線段（專屬的）. 本性質(zhì) 其實(shí)隱藏著 三大真命題：（證明也很簡(jiǎn)單?。?）ABC中，ABAC，AD平分BAC求證： ADBC ， BDDC（2）ABC中，ABAC ， ADBC 求證：AD平分BAC ，BDDC（3）ABC中，ABAC ， BDDC（圖361） 求證：AD平分BAC， ADBC請(qǐng)記?。阂陨先笳婷}，今后做題遇上，可完全予以借鑒之！ “三線合一”實(shí)質(zhì)說(shuō)的是：一條線段有三種“身份”，既是“頂角平分線”，又是“底邊上的高”，還是“底邊上的中線”；這點(diǎn)告訴了我們今后遇上“等腰三角形”有關(guān)問(wèn)題時(shí)，不妨添加“底邊上的高”，往往能給我們帶來(lái)驚喜哦！因此請(qǐng)記住：等腰三角形底邊上的高是常添

5、輔助線之一（至于用不用，當(dāng)然具體得看題意而定）。（圖362）AEDCB例如：（ 經(jīng)典中考題二）如圖362示，ABC中，ABAC ，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在邊CA的延長(zhǎng)線上，且ADE是等腰三角形，試判斷BC與DE兩線段所在的直線存在何種特殊的位置關(guān)系？寫(xiě)出您認(rèn)為正確的關(guān)系并證明之！簡(jiǎn)析：本題最精彩處是憑“幾何直覺(jué)”就能感悟到 DEBC，作BC上的高AF，證AFDE；(或作DAE的平分線AG ).4. 對(duì)稱性質(zhì)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形理解點(diǎn)：等腰三角形有一條對(duì)稱軸；等邊三角形是特殊的等腰三角形，有三條對(duì)稱軸，每一邊的垂直平分線（或說(shuō) 中垂線） 就是等邊三角形的對(duì)稱軸。 這里特別小心的是：不能說(shuō)“等腰三角

6、形頂角平分線是對(duì)稱軸”，不能說(shuō)“等腰三角形底邊上的高是對(duì)稱軸”，也不能說(shuō)“等腰三角形底邊上的中線是對(duì)稱軸”；請(qǐng)記住：對(duì)稱軸 永遠(yuǎn)是 直線，而不是線段。另外本性質(zhì)還告訴我們：等腰三角形被對(duì)稱軸分成兩個(gè)全等的直角三角形。說(shuō)明等腰三角形中有直角三角形，其實(shí)直角三角形中也有等腰三角形，俗稱“你中有我·我中有你”！說(shuō)一說(shuō)等腰三角形那些事（續(xù)） （ 上饒市秦峰中學(xué) 朱校華 ）本文說(shuō)說(shuō) 等腰三角形 的 判定， 等腰三角形的常用判定方法主要有：5. 定理法有兩角相等的三角形是等腰三角形（等腰三角形判定定理）理解點(diǎn)： 本判定法說(shuō)的是：當(dāng)三角形有兩個(gè)角存在“相等”關(guān)系，就足以能說(shuō)明該三角形是等腰三角形。

7、教科書(shū)將這個(gè)判定定理敘述成“如果三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)記為等角對(duì)等邊）”，其實(shí)質(zhì)也是在說(shuō)“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”。 換句話說(shuō)：證明到“一個(gè)三角形兩角相等”，就可得出該三角形是等腰三角形結(jié)論。 特別注意的是“等角對(duì)等邊”是一種簡(jiǎn)記（在需要填寫(xiě)理由時(shí)可用），不是一個(gè)完整的真命題，真正完整的真命題是“在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊”。（與“等邊對(duì)等角”是互逆關(guān)系，但其暗藏的 大前提 是一樣的。）（圖371）AEDCB“等角對(duì)等邊”暗示我們：它是今后解決“證明兩條線段相等”問(wèn)題的第二條思路：當(dāng)要證的兩條線段正好落在同一個(gè)三角形中，不妨可以考慮先去證這個(gè)三角形有兩角

8、相等，再利用“等角對(duì)等邊”即可。（補(bǔ)注：第一條思路是“當(dāng)要證的兩條線段正好落在不同的兩個(gè)三角形中，不妨可以考慮去證這兩個(gè)三角形全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可”） 需要說(shuō)明的是：“定理法”是等腰三角形判定方法中用得最多的方法，約有90%的“證明某一個(gè)三角形是等腰三角形”題都用“定理法”來(lái)解決。6. 定義法有兩條邊相等的三角形是等腰三角形理解點(diǎn)： 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，這就是定義，F(xiàn)事實(shí)上，定義是常用來(lái)判定某一個(gè)三角形是否是等腰三角形的重要依據(jù)。因?yàn)橛袝r(shí)證明兩條線段相等可能比證明兩個(gè)角相等要快，此時(shí)用定義來(lái)作為判斷依據(jù)最好不過(guò)，所以別以為判定某一三角形是等腰三角形只有用判定定理，原

9、始定義有時(shí)倒更能用得得心應(yīng)手。記?。核袛?shù)學(xué)名詞的原始定義是一筆“財(cái)富”，千萬(wàn)別“遺忘”它！請(qǐng)認(rèn)真做一做下面題：經(jīng)典中考題例1：如圖371示，ABC中，ABAC ，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在邊CA的延長(zhǎng)線上，且EDBC,垂足是F. 求證： ADE是等腰三角形很明顯：例1通過(guò)“作ABC邊BC上的高AH”，知“AH又是BAC的平分線”及“AHEF”，這樣證出“ADEE”后，依“等腰三角形判定定理”得出：ADE的確是等腰三角形；在此非用“定理法”不可，走“邊”路不通。下面一道題中若單獨(dú)用“定理法”則走不通，必須改用“定義法”不可（您從中可以好好地“領(lǐng)悟”之）：（圖372）EFDA經(jīng)典中考題例2：如圖372

10、示，ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CA上，CDBE，BC， 求證：BFCF簡(jiǎn)析：CB表面上看起來(lái)，本題似乎與等腰三角形判定無(wú)關(guān)；由給出的已知條件發(fā)現(xiàn)能證ABEACD（AAS），于是有ABAC，連BC，則ABC就是等腰三角形；從而ABCACB，進(jìn)一步獲得FBCFCB，所以BFCF.（本題于兩處分別用了“定義法”與“定理法”判定ABC與BCF為等腰三角形，又用了等腰三角形性質(zhì)，佳題呀?。?. 其它法角平分線 與 平行線（或垂線）組合可獲得 等腰三角形理解點(diǎn)：DCB A這其實(shí)是“角平分線”的第三功用：當(dāng)角平分線遇上過(guò)角平分線上任一點(diǎn)且與角的一邊平行的線時(shí)，極易構(gòu)造出等腰三角形； 當(dāng)角平分線遇上垂直于

11、角平分線的線時(shí)也能構(gòu)造出等腰三角形。后一句話其實(shí)如圖373示隱藏著 三大真命題：（1）ABC中，AD平分BAC ，ADBC求證： ABAC ， BDDC（2）ABC中，AD平分BAC ，BDDC 求證： ABAC ， ADBC（圖373）（3）ABC中 ， BDDC，ADBC 求證： ABAC ， AD平分BAC請(qǐng)記住：以上三大真命題，事實(shí)上是教育隨筆（三十六）中三大真命題的逆命題，今后做題遇上，可完全予以借鑒之！等腰三角形 是中考必考知識(shí)點(diǎn)之一！除了在“計(jì)算”與“證明”兩方面大展拳腳外，還與“作圖”緊密相連（喜歡與“操作”、“探究”、“類比”等題粘上，花樣繁多，但總離不開(kāi)“等腰三角形的定義、性質(zhì)、判定”三大知識(shí)塊）。(圖374)AC經(jīng)典中考題例3：如圖374示，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)C在 a直線a外，請(qǐng)?jiān)谥本€a上尋找點(diǎn)B，使ABC是等腰三角形，試使用尺規(guī)作圖，須保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法。（答案：符合條件的B有四個(gè)）例3多變化：例4：將線段AC置身于直角坐標(biāo)系（點(diǎn)C在Y軸上，直線a與X軸重合）中，已知AC2，AC與X軸所夾的銳角等于30°，其余條件不變，請(qǐng)你求出在坐標(biāo)軸上符合要求的點(diǎn)B的坐標(biāo)？例5：將線段AC端點(diǎn)A與C置身于“5×5