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1、 說(shuō)一說(shuō) 等腰三角形 那些事 ( 上饒市秦峰中學(xué) 朱校華 )三角形中只有 等腰三角形 才是 軸對(duì)稱圖形,其對(duì)稱軸是 ? ;等腰三角形中,最特殊的 應(yīng)算 等邊三角形,等邊三角形 是 最優(yōu)美的 三角形;本文先說(shuō)說(shuō) 等腰三角形 的 性質(zhì): (在教育隨筆(三十七)中說(shuō)說(shuō)判定)1. 角的性質(zhì)等腰三角形的兩底角相等 (簡(jiǎn)記為:等邊對(duì)等角)理解點(diǎn): “等邊對(duì)等角”是一種簡(jiǎn)記(在需要填寫(xiě)理由時(shí)可用),不是一個(gè)完整的真命題,真正完整的真命題是“等腰三角形的兩底角相等”. 主要是因?yàn)椤暗冗厡?duì)等角”暗藏著大前提“在同一個(gè)三角形中”,換句話說(shuō),“在同一個(gè)三角形中,等邊對(duì)等角”這樣說(shuō)是對(duì)的;而“等邊對(duì)等角”是錯(cuò)的,特別

2、在使用等腰三角形這個(gè)性質(zhì)時(shí)須注意哦! 等腰三角形的兩個(gè)底角存在“相等”關(guān)系,這是今后解決“證明兩個(gè)角相等”問(wèn)題的第二條思路:當(dāng)要證的兩個(gè)角正好落在同一個(gè)三角形中,不妨可以考慮先去證這個(gè)三角形有兩邊相等,再利用“等邊對(duì)等角”即可。 等腰三角形“等邊對(duì)等角”這個(gè)性質(zhì)在計(jì)算角有益處:已知等腰三角形一個(gè)角的度數(shù),能很快知道其余兩角的度數(shù)。如經(jīng)典中考題一: 有一個(gè)50°角的等腰三角形,其余兩角分別等于 ;(答案:50°,80°或65°,65°.)2. 邊的性質(zhì)等腰三角形有兩條邊相等理解點(diǎn): 只要是等腰三角形,均有兩條邊能相等著;很明顯,遇上直角的等腰三角

3、形,只能兩條直角邊相等;鈍角的等腰三角形只能兩條短邊相等咯! 倒過(guò)來(lái)說(shuō),有兩條邊相等的三角形一定是等腰三角形;這其實(shí)是定義,事實(shí)上,定義就是判定(是常用來(lái)判定某一三角形是否是等腰三角形的依據(jù)之一),定義也是一條性質(zhì),相互通用。 本性質(zhì)容易被忽視,其實(shí)卻常用著。如 畫(huà)等腰三角形,就是考慮先畫(huà)相等的兩邊之后再畫(huà)底邊;或者先畫(huà)出一條線段作為底邊,再使用圓規(guī)畫(huà)弧出交點(diǎn),最后連出兩腰。3. 線段性質(zhì)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合(簡(jiǎn)記為:三線合一)理解點(diǎn): 簡(jiǎn)記“三線合一”只針對(duì)“等腰三角形”來(lái)說(shuō),而且“三線”僅限于 等腰三角形ADCB的頂角平分線、底邊上的高及底邊上的中線 這

4、三條線段(專屬的). 本性質(zhì) 其實(shí)隱藏著 三大真命題:(證明也很簡(jiǎn)單?。?)ABC中,ABAC,AD平分BAC求證: ADBC , BDDC(2)ABC中,ABAC , ADBC 求證:AD平分BAC ,BDDC(3)ABC中,ABAC , BDDC(圖361) 求證:AD平分BAC, ADBC請(qǐng)記?。阂陨先笳婷},今后做題遇上,可完全予以借鑒之! “三線合一”實(shí)質(zhì)說(shuō)的是:一條線段有三種“身份”,既是“頂角平分線”,又是“底邊上的高”,還是“底邊上的中線”;這點(diǎn)告訴了我們今后遇上“等腰三角形”有關(guān)問(wèn)題時(shí),不妨添加“底邊上的高”,往往能給我們帶來(lái)驚喜哦!因此請(qǐng)記住:等腰三角形底邊上的高是常添

5、輔助線之一(至于用不用,當(dāng)然具體得看題意而定)。(圖362)AEDCB例如:( 經(jīng)典中考題二)如圖362示,ABC中,ABAC ,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在邊CA的延長(zhǎng)線上,且ADE是等腰三角形,試判斷BC與DE兩線段所在的直線存在何種特殊的位置關(guān)系?寫(xiě)出您認(rèn)為正確的關(guān)系并證明之!簡(jiǎn)析:本題最精彩處是憑“幾何直覺(jué)”就能感悟到 DEBC,作BC上的高AF,證AFDE;(或作DAE的平分線AG ).4. 對(duì)稱性質(zhì)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形理解點(diǎn):等腰三角形有一條對(duì)稱軸;等邊三角形是特殊的等腰三角形,有三條對(duì)稱軸,每一邊的垂直平分線(或說(shuō) 中垂線) 就是等邊三角形的對(duì)稱軸。 這里特別小心的是:不能說(shuō)“等腰三角

6、形頂角平分線是對(duì)稱軸”,不能說(shuō)“等腰三角形底邊上的高是對(duì)稱軸”,也不能說(shuō)“等腰三角形底邊上的中線是對(duì)稱軸”;請(qǐng)記住:對(duì)稱軸 永遠(yuǎn)是 直線,而不是線段。另外本性質(zhì)還告訴我們:等腰三角形被對(duì)稱軸分成兩個(gè)全等的直角三角形。說(shuō)明等腰三角形中有直角三角形,其實(shí)直角三角形中也有等腰三角形,俗稱“你中有我·我中有你”!說(shuō)一說(shuō)等腰三角形那些事(續(xù)) ( 上饒市秦峰中學(xué) 朱校華 )本文說(shuō)說(shuō) 等腰三角形 的 判定, 等腰三角形的常用判定方法主要有:5. 定理法有兩角相等的三角形是等腰三角形(等腰三角形判定定理)理解點(diǎn): 本判定法說(shuō)的是:當(dāng)三角形有兩個(gè)角存在“相等”關(guān)系,就足以能說(shuō)明該三角形是等腰三角形。

7、教科書(shū)將這個(gè)判定定理敘述成“如果三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)記為等角對(duì)等邊)”,其實(shí)質(zhì)也是在說(shuō)“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”。 換句話說(shuō):證明到“一個(gè)三角形兩角相等”,就可得出該三角形是等腰三角形結(jié)論。 特別注意的是“等角對(duì)等邊”是一種簡(jiǎn)記(在需要填寫(xiě)理由時(shí)可用),不是一個(gè)完整的真命題,真正完整的真命題是“在同一個(gè)三角形中,等角對(duì)等邊”。(與“等邊對(duì)等角”是互逆關(guān)系,但其暗藏的 大前提 是一樣的。)(圖371)AEDCB“等角對(duì)等邊”暗示我們:它是今后解決“證明兩條線段相等”問(wèn)題的第二條思路:當(dāng)要證的兩條線段正好落在同一個(gè)三角形中,不妨可以考慮先去證這個(gè)三角形有兩角

8、相等,再利用“等角對(duì)等邊”即可。(補(bǔ)注:第一條思路是“當(dāng)要證的兩條線段正好落在不同的兩個(gè)三角形中,不妨可以考慮去證這兩個(gè)三角形全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可”) 需要說(shuō)明的是:“定理法”是等腰三角形判定方法中用得最多的方法,約有90%的“證明某一個(gè)三角形是等腰三角形”題都用“定理法”來(lái)解決。6. 定義法有兩條邊相等的三角形是等腰三角形理解點(diǎn): 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形,這就是定義,F(xiàn)事實(shí)上,定義是常用來(lái)判定某一個(gè)三角形是否是等腰三角形的重要依據(jù)。因?yàn)橛袝r(shí)證明兩條線段相等可能比證明兩個(gè)角相等要快,此時(shí)用定義來(lái)作為判斷依據(jù)最好不過(guò),所以別以為判定某一三角形是等腰三角形只有用判定定理,原

9、始定義有時(shí)倒更能用得得心應(yīng)手。記?。核袛?shù)學(xué)名詞的原始定義是一筆“財(cái)富”,千萬(wàn)別“遺忘”它!請(qǐng)認(rèn)真做一做下面題:經(jīng)典中考題例1:如圖371示,ABC中,ABAC ,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在邊CA的延長(zhǎng)線上,且EDBC,垂足是F. 求證: ADE是等腰三角形很明顯:例1通過(guò)“作ABC邊BC上的高AH”,知“AH又是BAC的平分線”及“AHEF”,這樣證出“ADEE”后,依“等腰三角形判定定理”得出:ADE的確是等腰三角形;在此非用“定理法”不可,走“邊”路不通。下面一道題中若單獨(dú)用“定理法”則走不通,必須改用“定義法”不可(您從中可以好好地“領(lǐng)悟”之):(圖372)EFDA經(jīng)典中考題例2:如圖372

10、示,ABC中,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在CA上,CDBE,BC, 求證:BFCF簡(jiǎn)析:CB表面上看起來(lái),本題似乎與等腰三角形判定無(wú)關(guān);由給出的已知條件發(fā)現(xiàn)能證ABEACD(AAS),于是有ABAC,連BC,則ABC就是等腰三角形;從而ABCACB,進(jìn)一步獲得FBCFCB,所以BFCF.(本題于兩處分別用了“定義法”與“定理法”判定ABC與BCF為等腰三角形,又用了等腰三角形性質(zhì),佳題呀?。?. 其它法角平分線 與 平行線(或垂線)組合可獲得 等腰三角形理解點(diǎn):DCB A這其實(shí)是“角平分線”的第三功用:當(dāng)角平分線遇上過(guò)角平分線上任一點(diǎn)且與角的一邊平行的線時(shí),極易構(gòu)造出等腰三角形; 當(dāng)角平分線遇上垂直于

11、角平分線的線時(shí)也能構(gòu)造出等腰三角形。后一句話其實(shí)如圖373示隱藏著 三大真命題:(1)ABC中,AD平分BAC ,ADBC求證: ABAC , BDDC(2)ABC中,AD平分BAC ,BDDC 求證: ABAC , ADBC(圖373)(3)ABC中 , BDDC,ADBC 求證: ABAC , AD平分BAC請(qǐng)記住:以上三大真命題,事實(shí)上是教育隨筆(三十六)中三大真命題的逆命題,今后做題遇上,可完全予以借鑒之!等腰三角形 是中考必考知識(shí)點(diǎn)之一!除了在“計(jì)算”與“證明”兩方面大展拳腳外,還與“作圖”緊密相連(喜歡與“操作”、“探究”、“類比”等題粘上,花樣繁多,但總離不開(kāi)“等腰三角形的定義、性質(zhì)、判定”三大知識(shí)塊)。(圖374)AC經(jīng)典中考題例3:如圖374示,點(diǎn)A在直線a上,點(diǎn)C在 a直線a外,請(qǐng)?jiān)谥本€a上尋找點(diǎn)B,使ABC是等腰三角形,試使用尺規(guī)作圖,須保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法。(答案:符合條件的B有四個(gè))例3多變化:例4:將線段AC置身于直角坐標(biāo)系(點(diǎn)C在Y軸上,直線a與X軸重合)中,已知AC2,AC與X軸所夾的銳角等于30°,其余條件不變,請(qǐng)你求出在坐標(biāo)軸上符合要求的點(diǎn)B的坐標(biāo)?例5:將線段AC端點(diǎn)A與C置身于“5×5

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