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1、一課資料網(wǎng) 第54濟(jì)|知識梳理L排列(1)定義:從"個不同元素中任取制,暄)個元素,按 一定的順序 排成一列.叫做從,個不同元素中取出5個元 素的一個排列.Q用E列數(shù)定義,從必個不同元素中取出刈制9)個元素的所有排列 的個轡L叫做從,個不同元素中取出仙個元素 的排列數(shù),用符號3k表示.(3用、列數(shù)公式:,切en".Am=-1)0,一2)-m +1)n Qif。! *學(xué)習(xí)資料下載網(wǎng)站第54講|知識梳理(4)全排列:個不同元素全部取出的一個排列,叫做"個 不同元素的一個全排列,A: = 1 )5 2.321=J_,規(guī)定0! 1 .2.組合(1)定義;從個不同元素中,任
2、意取出用的9)個元素合 成一組,叫做從個不同元素中取出切個元素的一個組合.組合數(shù):從個不同元素中任取“9)個元素的所有 組合的個數(shù).叫從個不同元素中任意取出用個元素的組 合數(shù),用符號 ”表示.(3)組合數(shù)公式:n(n IX* 2)(一切+ 1)小皿一A。_- 1)3*2Tj 一 .而一2r in州!=伽一"。! /I I第54講|知識梳理”,/«eN 切Si,由于 0!=_,所以 c:= L .3.組合數(shù)的性質(zhì)i】一mC1=J】 .c%=£L+£L)第54講|要點探究【點評】在求組合數(shù)中的未知數(shù)時要注意必須使組合數(shù)公式本身有意義,同時在計算時要注意合理選
3、用組合數(shù)的兩個計算公式,簡化計算.下面一道題是有關(guān)排列數(shù)的問題,在考查排列數(shù)公式的應(yīng)用時,一定要注意到排列數(shù)是一些連續(xù)正整數(shù)的乘積,在解題時注意到這個特點進(jìn)行約分,可簡化計算.第54講|要點探究怪式題A. 14若與*=8%則舞=(B. 15 0C. 16 D. 17【思路】根據(jù)排列數(shù)公式,通過解方程解決.第54講|要點探究【解答】B因為n(n 1)(“ - 2)(配-6) - n(n - 1X« - 2)pt - 4)n(n - l)(/i - 2)-(n - 4)=("-5)(齊一6) - 1=w2 llw + 29,所以 M-i5+29=89,化筒得之一 15-60=0
4、.解得n = 15,或片=一4(舍),故方程的解是"=15.第54講|要點探究a 探究點2排列問題<2六人按下列要求站一橫排,分別有多少種不同 的站法?(1)甲不站兩端;(2)甲,乙必須相鄰;(3)甲、乙不相鄰;(4)甲、乙按從左至右順序排隊(可以不相鄰);(5)甲、乙站在兩端;(6)甲不站在左端,乙不站在右端.第54講|要點探究【思路】按特殊元素(位置)進(jìn)行合理分類,再由排 列數(shù)和計數(shù)原理可分別求得.【解答】(1)方法一:要使甲不站在兩端,可先讓甲 在中間4個位置上任選I個,有種站法,然后其余5 人在另外S個位置上作全排列有AE種站法,根據(jù)分步計 數(shù)原理,共有站法A:A,=4
5、80(種).方法二.由于甲不站兩端,這兩個位置只能從其余5 個人中選2個人站,有小種站法,然后中間4人有種 站法,根據(jù)分步計數(shù)原理,共有站法A*A:=480(種).第54講|要點探究方法三:若對甲沒有限制條件共有A:種站法,甲在 兩端共有2雇種站法,從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù), 即得所求的站法數(shù),共有A*2AW=48M種).(2)先把甲,乙作為一個“整體' 看做一個人,有屋種 站法,再把甲.乙進(jìn)行全排列,有 此種站法,根據(jù)分步 計數(shù)原理,共有點房= 240(種)站法.0)因為甲.乙不相鄰,中何有隔擋,可用“插空法L第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊,有種;第二步 再將甲、乙排在4人形
6、成的5個空檔(含兩端)中(有A:種, 故共有站法為A%A: = 48W種).第54講|要點探究也可以用,間接法1 6個人全排列有種站法,由 知甲、乙相鄰有雄= 。種站法,所以不相鄰的站法 有 A:-AgA;=720-240=480(種).(4)先將甲,乙以外的4人從6個位置中挑選4個位ci進(jìn)行排列共有種,剩下的兩個位置,左邊的就是甲.右邊的就是乙,全部排完,故共有A:=360(種).首先考慮特殊元素,甲、乙先站兩端,有種.再讓其他4人在中間位置作全排列,有種,根據(jù)分步計數(shù)原理,共有A;A:=48(種).第54講|要點探究(6)方法一,甲在左端的站法有A:種,乙在右端的站 法有A種,且甲在左端而
7、乙在右端的站法有A:種,共有 A:2Ag+A: = 504(種)站法.方法二:以元素甲分類可分為兩類:甲站右端X 種,甲在中間4個位置之一,而乙不在右端有A)A$A: =384種.故共有As+384=504種站法.第54講|要點探究【點評】帶有限制條件的排列問題,一般都是對某個 或某些元素加以限制的問題,被限制的元素通常稱為特 殊元素,被限制的位置稱為特殊位置.這一類題通常從 三種途徑考慮:以元素為主考慮,這時,一般先解決特殊元素的 排法問題,即先滿足特殊元素;以位置為主考慮,這時,一般先解決特殊位置的 排法問題,即先滿足特殊位置:先不考慮限制條件,計算出排列總數(shù),再減去不 符合要求的排列.第
8、54講|要點探究便式題用。9這十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的正 整數(shù).(D共有幾個三位數(shù)?(2)末位數(shù)字是4的三位數(shù)有多少?(3)求所有三位數(shù)的和;(4)四位偶數(shù)有多少?(5)比5231大的四位數(shù)有多少?【思路】按特殊元素(的位置)進(jìn)行分類,再由排列數(shù) 和計數(shù)原理可分別求得.第54講|要點探究【解答】(1)百位不能為"0",因此共有A;A;=648 個;(2)末位為4百位不能為飛”,因此共有Aj-A;=64 個.(3)考慮各數(shù)位上的數(shù)字之和,可得所有三位數(shù)的和 為iA;Ai(I+2+.+9)+A;A;(l+2+.+9)xl«+A5(l + 2+,.9)x100=355
9、680,(4)分末位數(shù)字是否為。兩種情況考慮.Ay+AjAiAs=2296 種;第54講|要點探究千位上為9,81,6的四位數(shù)各有A¥N千位上 是5,百位上為346,7,8,9的四位數(shù)各有遍個;千位上 是5,百位上為2t十位上為4,6,7居9的四位數(shù)各有A;個; 千位上是5,百位上為2,十位上為3且滿足要求的共有5個,此共有 N=4A:+6A;+5A;+5=2392 種.第54講|要點探究* 探究點3組合問題例B 課外活動小組共13人,其中男生8人,女生5 人,并且男、女生各指定一名隊長,現(xiàn)從中選5人主持某種 活動,依下列條件各有多少種選法?只有名女生手(2)兩隊長當(dāng)選:(3)至少有
10、一名隊長當(dāng)選事(4)至多有兩名女生當(dāng)選*(5)既要有隊長,又要有女生當(dāng)選.第54講|要點探究【思路】解組合應(yīng)用題時一般從特殊元素入手,先 選出特殊元素,再選其他元素.【解答】(1)一名女生,四名男生,故共有C%C=35O(種卜(2)將兩隊長作為一類.其他II人作為一類,故共有Cci=i65(種 h(3)至少有一名隊長含有兩類,只有一名隊長和兩名隊 長,故共有Cc*+c%c; = 825(種),或采用間接法:C;3-C;1=825(種);第54講|要點探究(4)至多有兩名女生含有三類:有兩名女生、只有一名 女生、沒有女生.故選法有CC+C5C3+C=966(種):分兩類:第一類是女隊長當(dāng)選,共C
11、油種L第二類是女隊長不當(dāng)選,有 c;C+c;C+c:c;+c;.故選法共有:c?2 + cl* C?+c C?+cj- c!+Ci=790(種 h第54講I要點探究t點評】解決“含與不含”問題常用優(yōu)先法來求解,注至多至少”問題,常采用直接分類法或間接排除法來求解.在選取元素時一定要做到“不重不漏”.第54講|要點探究;變式題2009海南寧夏卷7名志愿者中安排6人 在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動若每天安排3人,則 不同的安排方案共有種.(用數(shù)字作答)1思路】只要從7人中先選3人安排在周六,再從余 下的4人中選出3人安排在周日即可.第54講|要點探究【答案】140【解析】方法I:從7人中先選3人
12、安排在周六、再 從余下的4人中選出3人安排在周日,共有&C;=140種 方法.方法2:先從7人中選出6人,再從6人中選出3人 安排在周六,余下3人在周日,根據(jù)乘法原理總數(shù)為 ci = 140,方法3:先從7人中選出6人,把6人先均分方靜組. 再分配到周六和周日,根據(jù)乘法原理總數(shù)為C?Aj= 140.一第54講|要點探究* 探究點4排列、結(jié)合的綜合應(yīng)用例|4 2009四川卷3位男生和3位女生共6位同學(xué)站 成一排,若男生甲不站兩端,3位女生中有且只有兩位女生 相鄰,則不同排法的種數(shù)是()A. 360 R, 288 C 216 D. 96【思路】有且僅有兩位女生相鄰可以把這兩位女生 “捆綁”
13、,把三名女生當(dāng)作兩個元素,在男生隔開的四個空 隙中安排這兩個元素,最后再減去甲站在兩端的情況.第54講|要點探究【解答】B 3位男生的全排列數(shù)是A:;=6,隔開四個空隙,把3位女生中的2位,,捆綁”有方法數(shù)將3位女生當(dāng)兩個看,安插在四個空隙中的兩個有方法數(shù)閑=12,故“6位同學(xué)站成一排,3位女生中有且只有兩位女生 相鄰的排法”有認(rèn);=432種;其中男生甲站兩端的男 生排法種數(shù)是A從:=4,此時只能在甲的一側(cè)的三個空隙 中安插經(jīng)過“捆綁”處理后的三個女生,有方法數(shù)C;A;A; = 36,故“3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排,若男生 甲站兩端.3位女生中有且只有兩位女生相鄰的"的排法
14、有 門執(zhí)水:江執(zhí)1)=144種,綜上,故符合條件的排法共有432一144=2SK 種.第54講|要點探究1點評】排列中有一類一些元素必須相鄰、一些元素必須不相鄰,這兩個問題都有固定的解決方法:在一個排列中某幾個元素必須相鄰,采用的是把這幾個元素 作為一個整體元素看待,即把這幾個元素“捆綁”起來,使其在和其他元素排列時是一個元素,這樣排列后這幾個元素就相鄰在一起了;在一個排列中某幾個元素不能相鄰,必須隔開,這時先排列其余元素,這樣這些元素與元素之間就出現(xiàn)了空隙,只要在這些不同的空隙中排列需要不相鄰的元素即可,這兩個問題可以簡稱為"相 鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法” .排列組合在實際
15、問題中的另一個重要應(yīng)用就是數(shù)字問題,在解決時一定 要注意“0”這個特殊元素.第54講|要點探究國式題有6本不同的書按下列分配方式分配,問共 有多小種不同的分配方式?(D分成1本+ 2本、3本三組:(2)分給甲、乙、丙三人,其中一個人1本,一個人2 本,一個人3本;0)分成每組都是2本的三個組;(4)分給甲.乙、丙三人,每個人2本.第54講|要點探究【解答】分三步:先選I本有C:種選法;再從余 下的5本中選2本有仁種選法:最后余下的3本全選有 種選法,由分步計數(shù)原理知,分配方式共有: =60(種).(2)由于甲.乙.丙是不同的三個人.在(1)題的基礎(chǔ)上, 還在考慮再分配問鼠 因此分配方式共有:C
16、卜弓C;A:=36刎種先分三步,則應(yīng)是種方法,但是這里面出了重復(fù).不妨記六本書為A. B、C. D、E. F.若第一步取了 AB,第二步取了 CD.第三步取了 EF,記該種分第54講|要點探究法為(AB, CD, EF),則C:C:C種分法中還有(AB, EF, CD). (CD, ABt EF), (CD, EF, AB). (EF, CD, AB). (EF, AB, CD),共A:種情況.而且這用種情況僅是AH, CD, EF的順序不同.因此只能作為一種方法.故分配方式有&CY* 3的.在問題的基礎(chǔ)上再分配即可,共有分配方式:曾 S. Q Ai=d-C?d=90(Wh第54講|規(guī)
17、律總結(jié)L排列與組合的本質(zhì)區(qū)別在于排列不僅取而且排 即 與順序有關(guān),而組合只取出并成一組即可 與順序無關(guān).2 .注意排列數(shù)公式、組合數(shù)公式有連乘形式與階乘用 式兩種公式, A : =- 1)"m + I) , C=迎一1)(二;一”,±1)常用于計算,而公式人,=it!(ti -m)!C,=而二常用于證明恒等式第54講|規(guī)律總結(jié)(3)代入古典概型的概率計算公式3 .解排列組合題的U6字方針,12個技巧%(iri6字方針”是解排列組合題的基本規(guī)律,即分類相 加、分步相乘、有序排列、無序組合.(2廣12個技巧”是速解排列組合題的捷徑.即相鄰問題捆綁法: 多排問題單排法: 定位問題優(yōu)先法: 多元問題分類法手不相鄰問題插空法:定序問題倍縮法:有序分配問I1分步法;交叉問題集合法;至少(或至多)問題間接法,選排問題先取后排法; QD局部與整體問題排除法;復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化法.第54講|規(guī)律總結(jié)4 .求解排列與組合的綜合應(yīng)用題,注意先選后排的原則.復(fù)雜的排列,組合問題利用分類
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