課件：第11章_計數(shù)原理―排列與組合(2)

1、一課資料網(wǎng) 第54濟(jì)|知識梳理L排列（1）定義：從"個不同元素中任取制，暄）個元素，按 一定的順序 排成一列.叫做從，個不同元素中取出5個元 素的一個排列.Q用E列數(shù)定義,從必個不同元素中取出刈制9）個元素的所有排列 的個轡L叫做從，個不同元素中取出仙個元素 的排列數(shù)，用符號3k表示.（3用、列數(shù)公式：,切en".Am=-1）0,一2）-m +1）n Qif。！ *學(xué)習(xí)資料下載網(wǎng)站第54講|知識梳理(4)全排列：個不同元素全部取出的一個排列，叫做"個 不同元素的一個全排列，A： = 1 )5 2.321=J_,規(guī)定0! 1 .2.組合(1)定義；從個不同元素中，任

2、意取出用的9)個元素合 成一組，叫做從個不同元素中取出切個元素的一個組合.組合數(shù)：從個不同元素中任取“9)個元素的所有 組合的個數(shù).叫從個不同元素中任意取出用個元素的組 合數(shù)，用符號 ”表示.(3)組合數(shù)公式：n(n IX* 2)(一切+ 1)小皿一A。_- 1)3*2Tj 一 .而一2r in州！=伽一"。！ /I I第54講|知識梳理”，/«eN 切Si,由于 0!=_,所以 c：= L .3.組合數(shù)的性質(zhì)i】一mC1=J】 .c%=£L+£L)第54講|要點探究【點評】在求組合數(shù)中的未知數(shù)時要注意必須使組合數(shù)公式本身有意義，同時在計算時要注意合理選

3、用組合數(shù)的兩個計算公式,簡化計算.下面一道題是有關(guān)排列數(shù)的問題，在考查排列數(shù)公式的應(yīng)用時，一定要注意到排列數(shù)是一些連續(xù)正整數(shù)的乘積，在解題時注意到這個特點進(jìn)行約分，可簡化計算.第54講|要點探究怪式題A. 14若與*=8%則舞=(B. 15 0C. 16 D. 17【思路】根據(jù)排列數(shù)公式，通過解方程解決.第54講|要點探究【解答】B因為n(n 1)(“ - 2)(配-6) - n(n - 1X« - 2)pt - 4)n(n - l)(/i - 2)-(n - 4)=("-5)(齊一6) - 1=w2 llw + 29,所以 M-i5+29=89,化筒得之一 15-60=0

4、.解得n = 15,或片=一4(舍)，故方程的解是"=15.第54講|要點探究a 探究點2排列問題<2六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同 的站法？(1)甲不站兩端；(2)甲，乙必須相鄰；(3)甲、乙不相鄰；(4)甲、乙按從左至右順序排隊(可以不相鄰)；(5)甲、乙站在兩端；(6)甲不站在左端，乙不站在右端.第54講|要點探究【思路】按特殊元素（位置）進(jìn)行合理分類，再由排 列數(shù)和計數(shù)原理可分別求得.【解答】（1）方法一：要使甲不站在兩端,可先讓甲 在中間4個位置上任選I個,有種站法，然后其余5 人在另外S個位置上作全排列有AE種站法，根據(jù)分步計 數(shù)原理,共有站法A：A，=4

5、80（種）.方法二.由于甲不站兩端,這兩個位置只能從其余5 個人中選2個人站，有小種站法，然后中間4人有種 站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有站法A*A：=480（種）.第54講|要點探究方法三：若對甲沒有限制條件共有A：種站法，甲在 兩端共有2雇種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù), 即得所求的站法數(shù)，共有A*2AW=48M種）.（2）先把甲，乙作為一個“整體' 看做一個人，有屋種 站法,再把甲.乙進(jìn)行全排列，有 此種站法，根據(jù)分步 計數(shù)原理，共有點房= 240（種）站法.0）因為甲.乙不相鄰，中何有隔擋，可用“插空法L第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊，有種；第二步 再將甲、乙排在4人形

6、成的5個空檔（含兩端）中（有A：種, 故共有站法為A%A： = 48W種）.第54講|要點探究也可以用，間接法1 6個人全排列有種站法，由 知甲、乙相鄰有雄= 。種站法，所以不相鄰的站法 有 A：-AgA；=720-240=480（種）.（4）先將甲，乙以外的4人從6個位置中挑選4個位ci進(jìn)行排列共有種，剩下的兩個位置，左邊的就是甲.右邊的就是乙,全部排完，故共有A：=360（種）.首先考慮特殊元素,甲、乙先站兩端，有種.再讓其他4人在中間位置作全排列，有種，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有A；A：=48（種）.第54講|要點探究（6）方法一,甲在左端的站法有A：種，乙在右端的站 法有A種，且甲在左端而

7、乙在右端的站法有A：種，共有 A：2Ag+A： = 504（種）站法.方法二：以元素甲分類可分為兩類：甲站右端X 種，甲在中間4個位置之一，而乙不在右端有A）A$A： =384種.故共有As+384=504種站法.第54講|要點探究【點評】帶有限制條件的排列問題，一般都是對某個 或某些元素加以限制的問題，被限制的元素通常稱為特 殊元素，被限制的位置稱為特殊位置.這一類題通常從 三種途徑考慮：以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的 排法問題，即先滿足特殊元素;以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的 排法問題，即先滿足特殊位置：先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不 符合要求的排列.第

8、54講|要點探究便式題用。9這十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的正 整數(shù).(D共有幾個三位數(shù)？(2)末位數(shù)字是4的三位數(shù)有多少？(3)求所有三位數(shù)的和；(4)四位偶數(shù)有多少？(5)比5231大的四位數(shù)有多少？【思路】按特殊元素(的位置)進(jìn)行分類，再由排列數(shù) 和計數(shù)原理可分別求得.第54講|要點探究【解答】(1)百位不能為"0",因此共有A；A；=648 個；(2)末位為4百位不能為飛”，因此共有Aj-A；=64 個.(3)考慮各數(shù)位上的數(shù)字之和，可得所有三位數(shù)的和 為iA；Ai(I+2+.+9)+A；A；(l+2+.+9)xl«+A5(l + 2+,.9)x100=355

9、680,(4)分末位數(shù)字是否為。兩種情況考慮.Ay+AjAiAs=2296 種；第54講|要點探究千位上為9,81,6的四位數(shù)各有A¥N千位上 是5,百位上為346,7,8,9的四位數(shù)各有遍個；千位上 是5,百位上為2t十位上為4,6,7居9的四位數(shù)各有A；個; 千位上是5,百位上為2,十位上為3且滿足要求的共有5個,此共有 N=4A：+6A；+5A；+5=2392 種.第54講|要點探究* 探究點3組合問題例B 課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5 人，并且男、女生各指定一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某種 活動，依下列條件各有多少種選法？只有名女生手(2)兩隊長當(dāng)選：(3)至少有

10、一名隊長當(dāng)選事(4)至多有兩名女生當(dāng)選*(5)既要有隊長，又要有女生當(dāng)選.第54講|要點探究【思路】解組合應(yīng)用題時一般從特殊元素入手，先 選出特殊元素，再選其他元素.【解答】(1)一名女生，四名男生，故共有C%C=35O(種卜(2)將兩隊長作為一類.其他II人作為一類，故共有Cci=i65(種 h(3)至少有一名隊長含有兩類,只有一名隊長和兩名隊 長，故共有Cc*+c%c； = 825(種)，或采用間接法：C；3-C；1=825(種)；第54講|要點探究（4）至多有兩名女生含有三類：有兩名女生、只有一名 女生、沒有女生.故選法有CC+C5C3+C=966（種）：分兩類:第一類是女隊長當(dāng)選，共C

11、油種L第二類是女隊長不當(dāng)選，有 c；C+c；C+c：c；+c；.故選法共有：c?2 + cl* C?+c C?+cj- c!+Ci=790（種 h第54講I要點探究t點評】解決“含與不含”問題常用優(yōu)先法來求解,注至多至少”問題，常采用直接分類法或間接排除法來求解.在選取元素時一定要做到“不重不漏”.第54講|要點探究；變式題2009海南寧夏卷7名志愿者中安排6人 在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動若每天安排3人，則 不同的安排方案共有種.（用數(shù)字作答）1思路】只要從7人中先選3人安排在周六，再從余 下的4人中選出3人安排在周日即可.第54講|要點探究【答案】140【解析】方法I：從7人中先選3人

12、安排在周六、再 從余下的4人中選出3人安排在周日，共有&C；=140種 方法.方法2：先從7人中選出6人，再從6人中選出3人 安排在周六，余下3人在周日，根據(jù)乘法原理總數(shù)為 ci = 140,方法3：先從7人中選出6人，把6人先均分方靜組. 再分配到周六和周日，根據(jù)乘法原理總數(shù)為C?Aj= 140.一第54講|要點探究* 探究點4排列、結(jié)合的綜合應(yīng)用例|4 2009四川卷3位男生和3位女生共6位同學(xué)站 成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生 相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A. 360 R, 288 C 216 D. 96【思路】有且僅有兩位女生相鄰可以把這兩位女生 “捆綁”

13、，把三名女生當(dāng)作兩個元素，在男生隔開的四個空 隙中安排這兩個元素，最后再減去甲站在兩端的情況.第54講|要點探究【解答】B 3位男生的全排列數(shù)是A：；=6,隔開四個空隙，把3位女生中的2位，,捆綁”有方法數(shù)將3位女生當(dāng)兩個看，安插在四個空隙中的兩個有方法數(shù)閑=12,故“6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生 相鄰的排法”有認(rèn);=432種；其中男生甲站兩端的男 生排法種數(shù)是A從：=4,此時只能在甲的一側(cè)的三個空隙 中安插經(jīng)過“捆綁”處理后的三個女生，有方法數(shù)C；A；A； = 36,故“3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生 甲站兩端.3位女生中有且只有兩位女生相鄰的"的排法

14、有 門執(zhí)水：江執(zhí)1）=144種，綜上，故符合條件的排法共有432一144=2SK 種.第54講|要點探究1點評】排列中有一類一些元素必須相鄰、一些元素必須不相鄰，這兩個問題都有固定的解決方法：在一個排列中某幾個元素必須相鄰，采用的是把這幾個元素 作為一個整體元素看待，即把這幾個元素“捆綁”起來,使其在和其他元素排列時是一個元素，這樣排列后這幾個元素就相鄰在一起了；在一個排列中某幾個元素不能相鄰，必須隔開，這時先排列其余元素，這樣這些元素與元素之間就出現(xiàn)了空隙，只要在這些不同的空隙中排列需要不相鄰的元素即可，這兩個問題可以簡稱為"相 鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法” .排列組合在實際

15、問題中的另一個重要應(yīng)用就是數(shù)字問題，在解決時一定 要注意“0”這個特殊元素.第54講|要點探究國式題有6本不同的書按下列分配方式分配，問共 有多小種不同的分配方式？(D分成1本+ 2本、3本三組：(2)分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2 本，一個人3本；0)分成每組都是2本的三個組；(4)分給甲.乙、丙三人，每個人2本.第54講|要點探究【解答】分三步：先選I本有C：種選法；再從余 下的5本中選2本有仁種選法：最后余下的3本全選有 種選法，由分步計數(shù)原理知，分配方式共有： =60(種).(2)由于甲.乙.丙是不同的三個人.在(1)題的基礎(chǔ)上, 還在考慮再分配問鼠 因此分配方式共有：C

16、卜弓C；A：=36刎種先分三步，則應(yīng)是種方法，但是這里面出了重復(fù).不妨記六本書為A. B、C. D、E. F.若第一步取了 AB,第二步取了 CD.第三步取了 EF,記該種分第54講|要點探究法為(AB, CD, EF),則C：C：C種分法中還有(AB, EF, CD). (CD, ABt EF), (CD, EF, AB). (EF, CD, AB). (EF, AB, CD),共A：種情況.而且這用種情況僅是AH, CD, EF的順序不同.因此只能作為一種方法.故分配方式有&CY* 3的.在問題的基礎(chǔ)上再分配即可，共有分配方式:曾 S. Q Ai=d-C?d=90(Wh第54講|規(guī)

17、律總結(jié)L排列與組合的本質(zhì)區(qū)別在于排列不僅取而且排 即 與順序有關(guān)，而組合只取出并成一組即可 與順序無關(guān).2 .注意排列數(shù)公式、組合數(shù)公式有連乘形式與階乘用 式兩種公式, A ： =- 1）"m + I） , C=迎一1）（二；一”,±1）常用于計算，而公式人,=it!(ti -m)!C，=而二常用于證明恒等式第54講|規(guī)律總結(jié)（3）代入古典概型的概率計算公式3 .解排列組合題的U6字方針，12個技巧%（iri6字方針”是解排列組合題的基本規(guī)律，即分類相 加、分步相乘、有序排列、無序組合.（2廣12個技巧”是速解排列組合題的捷徑.即相鄰問題捆綁法: 多排問題單排法: 定位問題優(yōu)先法: 多元問題分類法手不相鄰問題插空法:定序問題倍縮法：有序分配問I1分步法;交叉問題集合法;至少（或至多）問題間接法,選排問題先取后排法; QD局部與整體問題排除法；復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化法.第54講|規(guī)律總結(jié)4 .求解排列與組合的綜合應(yīng)用題，注意先選后排的原則.復(fù)雜的排列,組合問題利用分類