專題訓(xùn)練--直線與圓錐曲線

1、明了專題能力訓(xùn)練-直線與圓錐曲線能力突破訓(xùn)練?1 .已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C:?2+ 才1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A,B分別為C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PFx軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為1A.31B.22C.33D.412A.而3.如果與拋物線y2= 8x相切傾斜角為135 °的直線l與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是 A和B,那么過A,B兩點(diǎn)的最小圓截拋?22 .已知雙曲線 浮-彳=1(a,b>0)的離心率為 甚,則拋物線x2=4y的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是(V5B虧物線y2= 8x的準(zhǔn)線所得的

2、弦長(zhǎng)為(A.4B.2V2C.2?24.已知雙曲線 4:?1-/=1(a>0,b>0)A.30° 和 150°B.45° 和 135°C.60° 和 120°D.15° 和 165°?的左、右焦點(diǎn)分別為 F1,F2,橢圓12：+ =1的離心率為e,直線MN過F2與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，若cosZ F1MN= cos/閂印,用苫則雙曲線11的兩條漸近線的傾斜角分別為()5.平面直角坐標(biāo)系?xOy中，雙曲線。:芯-方=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線 C2：x2=2py(p> 0)交于點(diǎn)

3、O,A,B.若AOAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則Ci的離心率為?6 .已知橢圓C:?+ ?-1(a>b> 0)的右焦點(diǎn)F(1,0)，過點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線PQ經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)其傾斜角恰好為60: (1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OF上是否存在點(diǎn)T(t,0),使得？?= ?若存在，求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在, 說明理由.7 .如圖，已知拋物線x2=y,點(diǎn)A(-2,1),B(3,9)拋物線上的點(diǎn)P(x,y)(-1< ?< 3).過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA| |PQ|的

4、最大值.8 .已知橢圓 C：?2+ £=1(a>b> 0)的離心率為 E，A(a,0),B(0,b),O(0,0),4AB 的面積為 1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證：|AN| |BM|為定值.?29 .已知橢圓C：Ly2=1與直線l:y=kx+m相交于E,F兩點(diǎn),且直線l與圓O:x2+y2=可相切于點(diǎn) W(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)證明:OE上OF;(2)設(shè)F篇,求實(shí)數(shù)入的取值范圍.! ?思維提升訓(xùn)練10 .定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P滿足費(fèi)？?2?(1)求點(diǎn)P的軌跡

5、曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，求？?最大值.11 .設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為 A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，1交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線 Ci,直線1交Ci于M,N兩點(diǎn)，過B且與1垂直的直線與圓 A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面 積的取值范圍.12 .已知橢圓E:?2+ ?2=1(a>b> 0)過點(diǎn)(0,/),且離心率e=、.(1)求橢圓E的方程；9(2)設(shè)直線1:x=my-1(mCR)交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G

6、(-;,0)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由參考答案專題能力訓(xùn)練-直線與圓錐曲線能力突破訓(xùn)練1.A 解析由題意，不妨設(shè)直線l的方程為y=k(x+a),k>0,分別令x=-c與x=0，得|FM|二k (a-c),|OE|二ka. 設(shè)OE的中點(diǎn)為G,|?麗?1|?由 AOBG s FBM,得2L!= |?rr ? .?1艮 2?= 云+/理，得?= 3,故橢圓的離心率e=1,故選A.3?2 ?-?22.B 解析拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為(0,1)，雙曲線?2- ?=1(a,b>0)的離心率為v5,所以方=交?-=，？?1=2，雙曲線的漸 近線為y= ± ?x= &#

7、177; 2x,則拋物線x2=4y的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是去=.故選B.3 .C 解析設(shè)直線l的方程為y=-x+b ,聯(lián)立直線與拋物線方程，消元得y2+8y-8b=0.因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以& 82- 4X(-8b)=0,解得b=-2,故直線l的方程為x+y+2=0，從而A(-2,0),B(0,-2).因此過A,B兩點(diǎn)的最小圓即為以 AB為直徑的 圓淇方程為(x+1)2+(y+l)2=2,而拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2，此時(shí)圓心(-1,-1)到準(zhǔn)線的距離為1,故所截弦長(zhǎng)為2V(v2)2-12=2.4 .C解析由題意可知粵?|=e=；, |?1?2：2|F1M|=|F

8、1N|.由 cos/FiMN= COS/F1F2M, 可得 Z FiMN= /F1F2M, 即 |FiM|=|F iF2|= 2c，|FiN|= 4c, 由雙曲線的定義可得 |MF2|=2c- 2a,|NF2|=4c-2a.取 MF2的中點(diǎn) K,連接 KFi,則|KM|=|KF 2|=c-a. 由勾股定理可得|FiK|2+|NK| 2=|NFi|2,即 4c2-(c-a)2+(5c-3a)2=16c2,?整理可得(c-2a)(3c-a)=0,由雙曲線的性質(zhì)可得 e=?=2,則雙曲線1的兩條漸近線的傾斜角分別為60°和120° .故選C.35.2解析雙曲線的漸近線為y= &#

9、177; ?x.由?= 一?2?2?3?=?2?A',R,一 ？= - -? _ 2?2? 嗎？ , 2；?b(fb?- F(0 ,2)為 AOAB 的垂心，：kAF koB=-1.2?2?.即6!?2(-?=-1,解得9=4, ?06 .解(1)由題意知c=1,又?=tan60。=v3,所以b2= 3,a2=b2+c2=4,所以橢圓的方程為?+?2=1. ：43?._non c(2)設(shè)直線 PQ 的萬程為 y=k(x-1)(k卻),代入彳 + §=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12= 0,?+?2設(shè) P(x1,y1),Q(x2,y2),線段 PQ 的中點(diǎn)為 R

10、(x0,y0),則 xo= 24?3?即產(chǎn)k(x0-1)=-.由？?？?= ?! ? ?律?簟？?0, 所以直線TR為直線PQ的垂直平分線，直線TR的方程為y+?2=-1 (?". 3+4?2?3+4?令y=0得點(diǎn)T的橫坐標(biāo)t=?z= 露.3+4?2+4?23因?yàn)?k2C (0, + 8),所以葬+4 6 (4,+ oc),t34).所以 te(0，1).所以線段OF上存在點(diǎn)T(t,0),使得？?？?= ?蹩?其中?-117 .解(1)設(shè)直線AP的斜率為k,k=4=x-?412一 2因?yàn)?1<x<3,所以直線AP斜率的取值范圍是(-1,1).(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程

11、?+ 2?+ 4=0,?+?9?3 = o,4 2，解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是XQ=*.1O因?yàn)?|PA|=，1+ ?(?+ 2)= V1+ ?(k+1),|PQ|= V1+ ?、(xq-x)=-(?1)(?+1)2M?+1所以 |PA| |PQ|二- (k-1)(k+ 1)3.令 f(k)=-(k-1)(k+ 1)3,因?yàn)?f(k)=-(4k-2)(k+ I)2,11所以f(k)在區(qū)間(-1,上單調(diào)遞增，(，1)上單調(diào)遞減因此當(dāng)k=g時(shí),|PA| |PQ|取得最大值 得?_?=子8.解(1)由題意得解得 a=2,b=1.1_ ?7S» 12»所以橢圓C的方程為彳+丫2=由知,A(

12、2Q),B(0,1)設(shè) P(xo,yo),貝l?/4?J = 4.當(dāng)xo#O時(shí)，直線PA的方程為令 x=0,得 yM=-4, - 0292從而 |BM|=| 1-yM|= |1 + 而直線PB的方程為y=-x+1. - 0令 y=0,得 xN=- 0_ 1從而 |AN|=| 2-xn|=|2 + r|.-o 1所以 |AN| |BM|= |2 + 券|,?a+4?%+4?0?個(gè)4?>8?3+4 =1?0?&?8例+24?3?3-4?3-8?g+8?Z?-?3-2?3+2 1.當(dāng) x0=0 時(shí),yo=-1,|BM|= 2,|AN|= 2,所以 |AN| |BM|= 4.綜上,|AN

13、| |BM|為定值.9.解(1)因?yàn)橹本€I與圓O相切，所以圓X，y2=2的圓心到直線I的距離d='2= 從而m2=f(1+k2).3v1+?33?另 2由彳 + ?. = 1，整理相(1 + 2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.?= ?%> ?, , 設(shè) E(xi,yi),F(x2,y2),4?2?2-2則 Xl+X2=淅，X1X2=，所以？?？ ?xix2+y iy2=xi&+(kxi+m ) (kx2+m) =(1 +k2)xix2+km (xi+X2)+m2=(1+kU+ 士+m23?2-2?<2-21+2?21+2?1+2?2(1+?2)-2?弓-2=

14、01+2?2.所以O(shè)E"F.? c ? c(2)因?yàn)橹本€l與圓O相切于 W,2-+ ? = 1,畀 ？=1,所以拉四=可?= a+?抬=中!?v!?-?M?+?2-2v?2+ 1由(1)知 x1x2+y 1y2=0,所以 x1x2=-y 1y2,即？? ？? = ?12?,從而? = (1 -?)(1 -?2)，即?= 黑?2,所以拉口=空算.91T+3因?yàn)?v2 Wx & &,所以? 2,2.思維提升訓(xùn)練10.解(1)設(shè) A(xo,0),B(0,yo),P(x,y),由?2? (x,y-yo)=2(xo-x,-y),3即?.= 2(.?-?, ? ? =2?= -2

15、? ? ?= 3?因?yàn)椋?+ ?= 9,所以(2 ?2 + (3y)2=9,化簡(jiǎn)，得?2+y 2= 1,所以點(diǎn)P的軌跡方程為?+y2=1.(2)當(dāng)過點(diǎn)(1,0)的直線為 y=0 時(shí),?(2,0) (-2,0)=-4, 當(dāng)過點(diǎn)(1,0)的直線不為y=0時(shí)，可設(shè)為x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2). ?聯(lián)立T+ ?= 1,并化簡(jiǎn)，得(t2+4)y2+2ty-3=0,?= ?1. 2?3由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y 2=-72-,y1y2=-2-,?+4 ,?+4 ,?蜂=xiX2+yiy2=(tyi+ 1)(ty2+1)+y iy2=(t2+ 1)yiy2+t(yi+y2)+ 1 =

16、(t2+ 1)+t ?+1=-4-4(?+4 )+17?+44+裝.又由 A=4t2+i2(t2+4)=16t2+48>0 恒成立，所以 tC R,對(duì)于上式，當(dāng)t=0時(shí),(？?簟黝?nax="1綜上所述，？?？最大值為1. 411.解(1)因?yàn)?|AD|=|AC| ,EB/AC,故 / EBD= / ACD= / ADC.所以 |EB|=|ED| ,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+ 1)2+y2= 16,從而 |AD|= 4,所以 |EA|+|EB|= 4.由題設(shè)得 A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點(diǎn) E的軌

17、跡方程為+ =1(y0).(2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k (x-1)(k加),M(xi ,yi),N(x2,y2), ?= ?1),由?+ 得(4k2+ 3)x2-8k2x+4k2-12= 0,貝U Xi+X2=8?24?,-124?著3 ,X1X2=4?, +3所以 |MN|= V1 + ?§|xi-x2|= 13"1，.過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線 m:y=-?x-i),A到m的距離為-=2=M?+i所以 |PQ|= 2*2-(=)M?3+1故四邊形MPNQ的面積1.1S二2|MN|PQ|= 12V1 + 爾.可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積

18、的取值范圍為(12,8"3).當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x=1,|MN|= 3,|PQ|= 8,四邊形MPNQ的面積為12.綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8v3).?= v2,?= 2,12.解(i)由已知，得?=至 解得?=亞，?2 '?3 = ? + ?,?真也所以橢圓E的方程為?2+?=i.(2)方法一：設(shè)點(diǎn) A(xi,yi),B(X2,y2),AB 的中點(diǎn)為 H(xo,yo). ?= ?1,由?得(m2+2)y2-2my-3=0,T+T= 1所以yi+y 2=2?2+2 ,yiy2="?2+2 ,從而 yo=_Z?_. ?2+2C 2匚2所以 |GH|2= (?)+4) + ?0 = (? +4) + ?0=(m2+ 1)?0 + 2myo+存.|? (?-?)2 + (?-?)2(1+?2)(?-?)2(1+?2)(?+?)2-4?4二 (1+m2)(?-yiy2),25+16故 |GH|2J?= |myo+(1 +m2)yiy25?23(1+?2)25=2(?2+2 ) -?2+2 + 16 _ 17?2+2= 16(?2+2 廣0, 所以 |GH|> !?2?9故點(diǎn)G(-4,0)在以AB為直徑的圓外