高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)—抽象函數(shù)—教師版

1、抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)槌橄?，學(xué)生解題時(shí)思維常常受阻，思路難以展開研究抽象函數(shù)首先要注意函數(shù)的定義域，尤其是在解答抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式時(shí)，通過抽象函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞康拇笮￡P(guān)系式，不能忽視自變量的取值范圍；其次抽象函數(shù)都是依據(jù)一類具體函數(shù)的性質(zhì)抽象出來的，如f (x+ y) = f (x) + f (y)就是從正比例函數(shù)抽象出來的；f (xy) = f (x) + f (y)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)抽象出來的；f (x + y) = f (x) f (y)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)抽象出來的.因此在解決此類問題可以先類比具體函

2、數(shù)的性質(zhì)研究我們要解答的抽象函數(shù)的性質(zhì)，解答抽象函數(shù)問題要注意賦值法的應(yīng)用，通過賦值可以找到函數(shù)的不變性質(zhì)，這個(gè)不變性質(zhì)往往是解決問題的突破口抽象函數(shù)性質(zhì)的證明是一種代數(shù)推理，要注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，每一步推理都要有充分的條件，不可以漏掉條件，更不要臆造條件，推理過程層次分明.、抽象函數(shù)的概念抽象函數(shù)就是沒有給出具體函數(shù)解析式的函數(shù)。常見的解題方法有賦值法、換元法、具體化法等。若f(x )的定義域是 a,b，則對(duì)f b(xj來說，必有g(shù)(x戶kb，從而可以得 到函數(shù)f g(x»的定義域。若fJg(xp的定義域是 a,b,則b,b應(yīng)作為函數(shù)g(x)的定義域， 進(jìn)而求出g(x)的值域，從而得

3、到函數(shù) f(x)的定義域。總而言之，外層函數(shù)的定義域就是內(nèi) 層函數(shù)在復(fù)合函數(shù)的定義域上的值域。抽象函數(shù)的值域和最值問題，一般先根據(jù)條件確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再求其值域或最值。對(duì)于選擇、填空題也可以利用奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上具 有相同的單調(diào)性、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性等結(jié)論來求解?！纠?】函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y ,均滿足f (x + y2 )= f (x)+2【f(y曠，且f(1)#0, 貝U f 2016 =【難度】【答案】1008【解析】令 y =1,則 f(x+1 )= f(x "2【f(1 立即 f(x +1)-f(x)=2f(1)F,再令 x = 0 , y=1

4、,得 f(1)=f(0)+2【f(1)2 ,令 x=y = 0，得 f(0)=0 ,故 f(1)=,則 21_ f(x+1)-f (x)= ,累加可得 f(2016)=1008 2【例2】函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)?Q, 1,則函數(shù)y = f log 2(x2 2)的定義域是【難度】【答案】( .2,2 一 -2,一、2)【解析】因?yàn)閘og2(x?2)相當(dāng)于f (x)中的x,所以log2(x2 2) E1 ,解得22 <x E2或2 Ex <V2.【例3】已知f ()=2x+1，求 f(x).x 1【難度】,1，x【答案】f(x)= 1 -x_. . _ xuu 1 - u1

5、 x【解析】設(shè)=u5Ux=-u-，f(u)=2-u-+1=. f(x)= x 11 -u1 -u1 -u1 f【例4】如果奇函數(shù)f(x )在13,7】上是增函數(shù)且有最小值為 5,那么f(x)在L7,3上是()A.增函數(shù)且有最小值為 -5B.增函數(shù)且有最大值為-5C.減函數(shù)且有最小值為-5D.減函數(shù)且有最大值為 -5【難度】【答案】B【例5】設(shè)f (x)是R上的奇函數(shù)，g(x)是R上的偶函數(shù)，若函數(shù)f (x) + g (x)的值域?yàn)?,3), 則f (x) - g(x)的值域?yàn)?【難度】【答案】(-3, -1【解析】在f(x)g(x)代入x,因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，g(x)是R上的偶函數(shù)，f

6、(-x) -g(-x) = - f(x)+g(x),所以值域?yàn)?3,1,因?yàn)槎x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以值域是一樣的，f(x)-g(x)值域?yàn)?3,1【鞏固訓(xùn)練】1 .定義在 R 上的函數(shù) f (x )滿足 f (x + y )= f (x )+f (y )+2xy , f(1)=2,則 f -3 =【難度】【答案】62 .已知函數(shù)f (x -1)的定義域?yàn)?, 4,求函數(shù)f (2x)的定義域.【難度】【答案】1 3_2,23 .若函數(shù)y = f(x+1)的值域?yàn)?,1,求函數(shù)y = f (3x + 2)的值域.【難度】【答案】-1,1.【解析】函數(shù) y = f(3x +2)中定義域與對(duì)應(yīng)法則與

7、函數(shù)y = f (x +1)的定義域與對(duì)應(yīng)法則完全相同，故函數(shù) y = f (3x + 2)的值域也為1,1.4.已知f(x)為偶函數(shù),【難度】 -1g(x)為奇函數(shù)，且有 f (x) + g(x)=,求 f (x) , g(x).f(x)=x2 -1g(x)=xx2 -1x -1抽象函數(shù)(教師版)5 / 34【解析】 f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù),f (-x) = f(x) , g( x) =fg(x),一 一 .一1一. .不妨用-x代換f (x)+g(x)=中的x,x 71 1一 f ( -x) + g(x)=即 f (x) - g(x)= -x -1x 1顯見+即可消去g(x)，

8、求出函數(shù)f (x) = 21 再代入求出g(x)= 2x x -1x -15.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y都有f (x + y) = f (x) + f (y),且當(dāng)x >0時(shí), f(x)>0, f(-1) =-2,求 f (x)在2, 1上的值域.【難度】【答案】乂，2【解析】設(shè)x1 < x2且x1, x2 w R ,則*2-玉0,由條件當(dāng)x A 0時(shí)，f(x)A0.f (x2 - x1) , 0又 f 區(qū))= f(x2 -x1) x1=f 區(qū)-x1) f (x1). f (x1)二f(x)為增函數(shù)，令 y = -x,則 f (0) = f(x) + f(-x)又令x

9、 = y = 0得 f (0)=0 ，f (x) = f (x),故f (x)為奇函數(shù)，f (1) = -f(1) = 2, f(-2) = 2f (-1) = 4二f (x)在一2, 1上的值域?yàn)?4, 2二、抽象函數(shù)的性質(zhì)1、抽象函數(shù)的單調(diào)性抽象函數(shù)單調(diào)性的求解與證明一般按照單調(diào)性的定義來解決，但由于解析式的缺乏，往往只能對(duì)題設(shè)條件中的等量關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠磁c湊，來處理f儀1 )- f(X2)與0的大小比較，如將X1變形成(X1 -x2 )+x2、上.X2等。X2【例6】函數(shù)f(X任意白實(shí)數(shù) m、n有f(m + n尸f(m)+ f(n),且當(dāng)x>0時(shí)有f(X)>0。(1)求證：f

10、(X )在R上為增函數(shù)；(2)若 f (1 )=1 ,解不等式 f log2(X2 -x-2)J<2【難度】【答案】(1)證明：取 X1,X2 w R且2 <X2 ,則 X2 -X1 >0,故 fd x1)>0,:.f(X1f (x2 )= f(X1f (x2 一 X1 + X1 f ( X2 X1 )< 0,f(xJ<f(X2 ),二函數(shù)f(x )在R上為增函數(shù)。(2) ; f(1)=1,- 2=1+1 = f(1)+f(1)=f(2),二 f log 2fx2-x-2f (2 ),由(1)知函數(shù)f (x )在R上為增函數(shù)，故log2(x2 -x -2 )

11、<2 ,2x - x - 2 02，即2<x<1 或 2<x<3,x - x - 2 ： 4.原不等式的解集是(2,1(2,3)【例7】已知f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)，若a,bw 1-1,1,且a+b#0有f(a) f(b) 0 a b(1) 判斷f (x)在-1,1上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；(2) 解不等式 f (5x1 )< f(6x2)【難度】【答案】(1)增函數(shù)(2) x w.0,1 j 一 3【例8】已知偶函數(shù)f(x/區(qū)間0,+至)上單調(diào)遞增，則滿足 f (2x1)< f:的x取值范圍.【難度】1 2【答案】1,23 3【解

12、析】由于f(x)是偶函數(shù)，且在區(qū)間 b,+8)上單調(diào)遞增，所以在(-的,0)上單調(diào)遞減.，一.112根據(jù)圖像得2x 1 <-,解得一 < x < 一 . 333【鞏固訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,也)，當(dāng)x>1時(shí)，f(x) >0 ,且f(xy)= f(x) +f(y)(1)求f (1)的值(2)證明：f (x)在定義域上是增函數(shù)【難度】【答案】(1) f(1) = 0; (2)設(shè)溝 >為下0,則fd) -f(X)= f(x1x2)一f(x1)= f(x)f(上) f(xj=f (土)x1x(x1. , x2 >x1 >0 ,上 A1

13、, . . f 盧)> 0 ,即 f (x2) f (x1) >0 , f (x2) > f (x1)f (x)在(0, +*)上是增函數(shù).2.已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?2, 2且在區(qū)間-2, 0的單調(diào)遞減，求滿足f(1 -m)+f(1m2) <0的實(shí)數(shù)m的取值范圍.【難度】【答案】-1 < m二1【解析】f (x)的定義域?yàn)?2,2,»-2 三1 - mw2，口,K 芯，有9 ，解得一1 wm W J3-2<1-m2<2由 f (1 m) f (1 m2)：二 021' f (1 -m) ： - f (1 -m )又由f(x)為

14、奇函數(shù)，得 f (1m2) = f (m2 1)1' f (1 -m) : f (m2 -1)又f (x)為奇函數(shù)，且在-2,0上單調(diào)遞減，f(x)在-2,2上單調(diào)遞減.(要證明)2 - 1 -m m -1.即-2<m<1綜合，可知-1 _ m <1.3.函數(shù)f (x)對(duì)任意的a, be R,都有f(a+b) = f (a)+f (b)-1，并且當(dāng)乂下0時(shí)，”刈>1 , 若 f (4) =5,解不等式 f(3m2 m2) <3.【難度】【答案】-1,4 ,3【解析】設(shè) x1,x2WR 且 x1<x2 .f(a+b)=f(a) + f(b)1 f (x

15、1 x2 -x1) = f (x1) , f (x2 rxi) -1即 f (x2) 一 f (x1) = f (x2 - x1) -1因?yàn)?x2 -x1 >0f (x2 -x1 )>1 f(x2) -f (x1) = f (x2 -x1) -1 0f (x)在R上單調(diào)遞增 f (4) = f (2)+ f (2)1 =5 . - f(2 )=3_2_ f(3m -m-2) <3-f 223m -m -2 :二 24斛得：-1 :二 m .3所以原不等式的解為-1,4 .,32、抽象函數(shù)的奇偶性抽象函數(shù)奇偶性的判斷往往借助與賦值法和定義，對(duì)于已給恒等式中出現(xiàn)的兩個(gè)或兩個(gè)以上的

16、變量，利用賦值的方法將其替換成f (x ) f (- x )0出現(xiàn)的形式，在恒等式中僅有這兩種形式或是具體函數(shù)值的形式而不會(huì)出現(xiàn)新的函數(shù)結(jié)構(gòu)。【例9】已知函數(shù) f(x)的定義域是 x00的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意x1,x2都有f(x為)=f(x1)+ f(x2),試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性【難度】【答案】令 x1 =x2 =1,得 f (1) = 2f(1),f(1) = 0,令 Xi =X2=1 ，得 f(1)=0,f (-x) = f (1 X) = f (1) + f (x) = f (x),f(x)是偶函數(shù).【例10】已知f(x)g(x班別是定義在 R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)g

17、(x)=x3+2/，則f 2 g2 =【難度】【答案】-4【解析】令 x = -2, f (2)g( 2)=(2)3+22 =4= f (2)+g(2)【例11若定義在 R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x1,x2亡R者B有f (x1 +x2 )= f % )+ f區(qū))+1,則下列說法一定正確的是()A. f(x)為奇函數(shù)B. f(x )為偶函數(shù)C. f(x)+1為奇函數(shù)D. f(x)+1為偶函數(shù)【難度】【答案】C【鞏固訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)對(duì)一切x, y都有f (x + y) = f (x)+f(y),求證：f (x)是奇函數(shù)；若 f(-3) =a，試用 a表示 f (12)【難度】【答案】f

18、(12)=4a【解析】1.在 f (x + y) = f (x)+ f (y)中，令 y = x得 f(0) = f (x)+f(-x),又令 x = y = 0 得 f(0)= f(0)+f(0),. f(0)=0,. f(x)+f(x) = 0即f (-x) =-f(x)故f (x)是奇函數(shù)2.已知 f(3)=a 于是 f(3) = f(3) = a 在 f(x + y)= f(x) + f(y)中取 y =x 可得 f (2x) =2f (x),因此 f(12) = 2 f (6) = 4 f (3) = Ya2.設(shè)函數(shù)f (x )和g(x )分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立

19、的是()A. f收)十g(x )為偶函數(shù)B. f(x)|g(x為奇函數(shù)C. f僅b + g(x加偶函數(shù)D. f(xj-g(x )為奇函數(shù)【難度】【答案】A3.已知 f(x )是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且 f(1)+g(1)=2 , f(1)+g(1)=4,則 g(1) =【難度】【答案】33、抽象函數(shù)的周期性若函數(shù)f (x )滿足f (x +T )= f (x ),我們就說T是函數(shù)f (x )的一個(gè)周期。抽象函數(shù)的抽象函數(shù)(教師版)21 / 34周期性的推導(dǎo)中大都會(huì)使用替換變量來進(jìn)行迭代計(jì)算，例如將x + a替換x進(jìn)行代入，這類問題的本質(zhì)就是尋找 f(x+ma”f(x)間的數(shù)量關(guān)系。若函數(shù)f

20、(x融足f(x + a)= f(x),k1 ffx 一.f(x+a)= (k是不為零的常數(shù))，f(x + a)=等，都表小f(x)是以2a為f (x )1 十 f (x )1周期的函數(shù)；若函數(shù) f x涮足f(x+a)=1一1-f x,f(x)是以3a為周期的函數(shù)；若函數(shù)一1 f xf (x "兩足 f (x +a )=,1 - f xf(x)是以4a為周期的函數(shù)；若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x )+f(x+2a), f (x )是以6a為周期的函數(shù)等。這些常見的周期函數(shù)的結(jié)論都是利用替換迭代求解出來的，這也是抽象函數(shù)求解的主要方法。還有函數(shù)既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心的，若f(x)

21、關(guān)于兩條直線x = a,x = b軸對(duì)稱，或是關(guān)于(a,0),(b,0)中心對(duì)稱，則f(x)是以 2a 為周期的函數(shù)，若f(x)關(guān)于兩條直線 x = a,(b,0)對(duì)稱，則f(x)是以4a -b為周期的函數(shù)。1 一一【例12】已知函數(shù)f(x網(wǎng)任意實(shí)數(shù)x都有f(x+1)=，若f(1)=8,則f(2016) = f x【難度】-1【答案】18【例13】設(shè)f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 x =1對(duì)稱.對(duì)任意-1x1, x2 H0, -都有 f (x1+x2) = f (x1) f (x2). 2、一,1(I)設(shè) f(1)=2,求 f (1),2(II )證明f (x)是周期函數(shù).【難

22、度】【答案】見解析 【解析】(I)解略.(II )依題設(shè)y = f(x)關(guān)于直線x = 1對(duì)稱故 f (x) = f (2x), xwR又由f(x)是偶函數(shù)知f (-x) = f (x), x w R二 f (x)= f(2x), xwR將上式中-x以x代換，得f(x) = f(x+2), xWR這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期f(x)是偶函數(shù)的實(shí)質(zhì)是f(x)的圖象關(guān)于直線 x = 0對(duì)稱又f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，可得f (x)是周期函數(shù)且2是它的一個(gè)周期【例14】已知f(x)是定義在 R上的函數(shù)，且滿足：f(x + 2)1 f (x) = 1+f(x),f (1) =

23、1997 ,求 f(2001)的值.【難度】【答案】1997.【解析】緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)f(x)是周期函數(shù)，顯然 f(x)#1 ,于是f (x 2)=1 f (x)1 - f (x)1 1 f(x)1f(x 2)=1 f(x)一,1 - f (x 2)1 1 f(x) f (x)-1 -f(x)一,1所以 f (x 8) = = f (x)f (x 4)故f (x)是以8為周期的周期函數(shù)，從而f (2001) f (8 250 1) = f (1)=1997【例15奇函數(shù)f(x )的定義域?yàn)镽,若f(x+2 )為偶函數(shù)，且f(1)=1,則f(8)+f(9)=【難度】【答案】1【解析

24、】 因?yàn)?f(0)=0 , f(-x)=-f(x) , f(x+2)= f (x + 2),所以 f(x+4)=f (x)=f(x),所以 f(x+8)= f(x ), T =8,故 f(8)+ f(9)= f(0)+ f(1)=1【鞏固訓(xùn)練】1 - f x 一. .一 ，一1 .已知f(x)滿足f(x+1) =-,貝U f x的最小正周期是 .1 f x【難度】 【答案】22 .函數(shù)f(x )對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足f(x + 2)=2016 ,若f(1)=-5,則fff.f x201613 .已知函數(shù) f (x 射足:4f (x )f (y )= f (x + y )+ f (x y (x,y

25、匚 R1若 f (1 )=,則4f 2016 =.【難度】4 .奇函數(shù)f(x )的定義域?yàn)镽,若f(x-2)為偶函數(shù)，則f(2016) =【難度】【答案】0三、抽象函數(shù)的綜合應(yīng)用抽象函數(shù)的綜合問題一般難度較大，常涉及到函數(shù)性質(zhì)，不等式，方程等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，抽象思維程度要求較高， 解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)： 一是注意函數(shù)定義域的， 二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“ f ”前的“負(fù)號(hào)”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“ f ” .注意定義域優(yōu)先原則，賦值法(常量賦值和變量賦值)，換元法.【例16】已知定義域?yàn)?R的函數(shù)f (x )在(8,十資)上為減函數(shù)，且函數(shù) y=f(x + 8)為偶函數(shù)，則()

26、A. f 6 f 7 B. f 6 f 9 C. f 7 f 9 D. f 7 f 10【難度】【答案】D【例17】已知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足(1)fX1 - X2=f (Xi)|_f(X2) 1f(X2)-f(Xj(2)存在正常數(shù)a ,使得f(a)=1求證：(1) f (x)是奇函數(shù)；(2) f (x)是周期函數(shù)，并且有一個(gè)周期為4a【難度】【答案】 提示：(1)看f(X1 -X2后f(X2 -X1 )的關(guān)系;(2)賦值得到f(2a) =0,1，f(X 2a) = - - f(X)【例18】定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(X)滿足f (3)=log23且對(duì)任意x, yw R都有f

27、x y = f x f y .(1)求證f (x )為奇函數(shù)；(2)若f (k 3X )+ f (3X -9X -2 )<0對(duì)任意x£ R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【難度】 【答案】見解析：(2) kW，2y/21)【解析】(1)證明：令x = y=0,得f (0) = 0令 y = x ,得 f (x )十 f (x )= f (0) = 0f (x )為奇函數(shù)(2)由(1)知 f (0 )=0又f (3)=log23>0= f (0)且f (x謖定義在R上的單調(diào)函數(shù) . f (x用R上單調(diào)遞增由 f (k 3x )+ f (3x -9x -2 )<0得 f (

28、k 3x )<-f (3x -9x -2 )即 f k 3x :二 f -3x 9x 2 k 3x <3x+9x +2對(duì)任意xw R恒成立I2得 k ：二 3x - -13x因?yàn)?x +馬1之2，21當(dāng)且僅當(dāng)3x = J2即x=log3 J2時(shí)等號(hào)成立 3所以k 22 -1.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-叼2衣-1).【例19】定義在(-1, 1 )上的函數(shù)f (x)滿足對(duì)任意x, y亡(-1, 1)者B有f(x) + f(y)= fxy),且當(dāng) xe(-1, 0)時(shí)，有 f(x)>0： 1 xy(1)試判斷f (x)的奇偶性；(2)判斷f (x)的單調(diào)性； .1. 1.11 求

29、證 f( ) + ” )+. +f(_-)> f(-).511n 3n 12【難度】【答案】（1）對(duì)條件中的x, y,令x = y= 0,再令y = -x可得f(0)f(0) = f(0) =f(x)f(-x) =0f(0) =0 f(-x) = -f(x),所以f（x）是奇函數(shù)抽象函數(shù)(教師版)25 / 34x x0(2)設(shè)1<x1 <x2 <0,則 f(x1) f(x2)= f (x1)+f (x2) = f (-) 1 - x1x2v x1 -x2 <0, 0 < x1x2 < 1 ,x xx xo巳<0,由條件(2)知f()>0,從

30、而有 f (x1) f (x2) A0 ,即1 -x1x21 f x1x2f（x1）Af （x2）,故“乂）在（-1, 0）上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，f （x）在（0,1）上仍是單調(diào)減函數(shù).1 J -1、1(3), f(*»11/n+1ln + 2JT = T >7l(n+1<n+2A1J 1/ 1 丫 -1 )L ln+1 人 n + 2 人f(f(1n 11n 1)f()-f(-1n 21n 2111f(-) +f (-)+ +f(-)511n 3n 1111111f(-)-f (-) + f f () + + f ()-f ()2334n 1 n 21 1f(-

31、)-f(-)2 n 211f (-) - f (2n 2111)f(-)21【例 20】設(shè)函數(shù) f(x)在(-«,-)上滿足 f(2x) = f(2 + x) , f (7 x)= f(7 + x),且在閉區(qū)間0, 7上，只有f(1)=f(3) = 0.(i)試判斷函數(shù) y = f (x)的奇偶性；(n)試求方程 f(x)=0在閉區(qū)間-2005, 2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.【難度】【答案】非奇非偶函數(shù)；802【解析】由f (2 x) = f(2 +x) , f (7 x)= f(7 +x)得函數(shù)y = f (x)的對(duì)稱軸為x = 2和 x = 7,從而知函數(shù)y=f(x)不

32、是奇函數(shù)，f(4x) = f (14-x)f(2 x) = f (2 + x) jf (x) = f(4x) 一f(7 _x) = f (7 + x)f J(x) = f (14x)f=f (x) = f (x+10)，從而知函數(shù)y = f(x)的周期為T =10又f (3) = f(0) =0,而£(7) 00,故函數(shù)y = f (x)是非奇非偶函數(shù)(II)由7(2 -x) = f (2+x) f (7-x) = f(7 + x) ,'f(x)= f(4x) _ f(x)= f (14-x) =f (4 - x) = f (14-x)=f(x) = f (x 10)(II)

33、又 f (3) = f(0) =0, f(11) = f (13) = f (-7) = f (9) =0故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)y = f (x)在0,2005上有402個(gè)解，在-2005.0上有400個(gè)解,所以函數(shù)y = f (x)在-2005,2005上有802個(gè)解.【鞏固訓(xùn)練】1.設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽+，且有：f '11 = 1 , 對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有 22)f(xy)= f( x廣f( y) f(x)為減函數(shù)11.一(1) 求：f(-), f(-), f(1),f(2), f(4)的值48(2) 求證：當(dāng)x亡1,也)時(shí)，f (x

34、) <0x(3) 求證：當(dāng) x, y 匚 R 時(shí)，都有 f () = f (x) - f (y)y(4)解不等式：f(_x) + f(3x)之 _2【難度】111111111【答案】(1) f(-)=f(-)=2f(-)=2, f(3)= f(M：)=fH)+f 匕)=3 42 2282 42411.f(1)= f (1>d)=2f (1)= f(1) = 0, f(1)= f(2) = f(2) + f()= f(2) = 122f(4) =2f (2) = -2.(2)因?yàn)閒(1)=0且f(x)為減函數(shù)，所以當(dāng) xw1,+w)時(shí)，f (x) <0(3) f J)= f(x

35、) + fp), f(1)=f(y) = f(y)+fA)=0 = f(-)=-f(y) yyyyy所以當(dāng) x,y e R士時(shí)，都有 f(-) = f(x)- f(y) y(4) f(x) +f (3 -x)= fx(x -3), f (4) =-2,所以f(x2 -3x) > f(4),因?yàn)閒(x)在定義域(0號(hào) 上為減函數(shù)，所以-x >0J3 -x >0 = -1 Ex <0x2 -3x - 42 .已知定義在 R上的函數(shù)f (x )滿足：(1)值域?yàn)?1,1),且當(dāng) x>0 時(shí)，-1<f (x)<0;(2)對(duì)于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)x, y ,均滿足

36、:試回答下列問題:抽象函數(shù)(教師版)27 / 34(I)試求f(0 )的值;(n)判斷并證明函數(shù) f( x)的單調(diào)性;【答案】(I)在f前聲n )中,令m>0,n=0，則有f fm . f (m )+f t0 ) 即: 1 f m f n1 f m f 0f m ?|1f m f 0= f m f 0也即：f (0)( f(m)f-1=0.由于函數(shù)f(x )的值域?yàn)?-1,1),所以,2(f (m) 1 #0,所以 f (0)=0.(n)函數(shù)f(x)的單調(diào)性必然涉及到 f (xf (y于是，由已知f(m+n尸f(m)*f(n),我們可以聯(lián)想到:是否有f(m” f(m)fn)? (*) 1

37、 f m f n1 - f m f n這個(gè)問題實(shí)際上是： f (-n ) = - f (n發(fā)否成立？為此，我們首先考慮函數(shù)f(x)的奇偶性，也即f(-x用f(x)的關(guān)系.由于f(0)=0,所以，在 f (m+n )= f(m 廣 f(n)中,令 n = m ,得 f (m )+ f (m) = 0 .所以，函數(shù) 1 f m f nf (x 為奇函數(shù).故(* )式成立.所以，f(m)f(n)=f(m n)1 f(m)f(n)l.任 取 x1，x2 w R ,且 x1 <x2,貝u x2 x1 >0 ,故 f (x2 x)<0且1 < f 他)，f (x1)<1.所

38、以，f (x2 )- f (x1 )= f (x2 -x1 )1 - f (x2 )f (x1 )1 <0 ,所以，函數(shù) f (x )在 R 上單調(diào)遞 減.3 .已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)xy恒有f(x+y)= f(x)+f (y)且當(dāng)x>0 , f(x)<0又 f(1) =2(1) .判斷f(x)的奇偶性;(2) .求f(x)在區(qū)間 3,3上的最大值；(3) .解關(guān)于 x 的不等式 f (ax.當(dāng) 0<a<2時(shí)，x = x|x> 或x<1a) 2f (x) < f(ax)+4.【難度】【答案】(1).取 x = y =0,則 f(0+0) =2

39、f(0)二 f(0)=0取 y = _x,則f (x x) = f (x) + f (x)二f (x) = -f(x)對(duì)任意xw R恒成立f(x)為奇函數(shù).(4) .任取 xi,x2 W (-,)且 xi < x2 ,則 x2 - xi A 0f(x2)f (-x1) = f (x2 - x1) : 0.二 f (x2) < - f (-xi),又 f(x)為奇函數(shù) 二 f(xi)f(x2)f(x)在(-OO, +8)上是減函數(shù).二對(duì)任意 x W 3,3,恒有 f(x) < f(-3)而 f(3)= f (2 i)= f (2) f (i) =3f (i) - -2 3 -

40、-6. f(3) = f (3) =6 f(x)在 3, 3上的最大值為 62(5) .f(x)為奇函數(shù)，整理原式得f (ax ) + f (2x)< f(ax) + f(2)進(jìn)一步可得 f(ax2 -2x)二 f(ax -2)而 f(x)在(一00, +8)上是減函數(shù)，ax2 - 2x > ax -2 (ax -2)(x -1) > 0.二當(dāng) a = 0 時(shí)，xw (-0o,i)當(dāng) a=2時(shí)，xwx|x#i且xw R2當(dāng) a<0時(shí)，x = x|- <xd a一 一 2 ,、 一當(dāng) a A2時(shí)，xwx|x< 或x>1 a4.對(duì)于定義域?yàn)?"1

41、的函數(shù)f (x),如果同時(shí)滿足以下三條:對(duì)任意的x三0,1,總有f(x)之0； f(1)=1 ；若 xi 之 0, x2 >0,xi +x2 <1 ,都有 f(xi+x2)> f(xi) + f(x2)成 立，則稱函數(shù)f (x)為理想函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，求 f(0)的值； x(2)判斷函數(shù)g(x)=2 1 (x = 0,1)是否為理想函數(shù)，并予以證明；(3).若函數(shù)f (x)為理想函數(shù)， 假定存在10,1，使得f (%戶10,1,且f (f (x。) =x0,求證 f (x0) =x .【難度】【答案】(1).取 x1 =x2 =0可彳導(dǎo) f (0)f (0

42、) + f (0)= f (0) <0 .又由條件f(0)之0 ,故f(0) =0.x(2).顯然g(x) = 2 -1在0, 1滿足條件g(x)20；也滿足條件g(1) = 1.若 x1之0, x2 之0 , x +x2 M1,則g(x1x2)一g(x1)g(x2)=2的x2-1一(2均-1)(2x2-1)=2為加 _2x1 -2x2 +1 = (2x2 -1)(2x1 -1) >0 ,即滿足條件，故g(x)理想函數(shù).(3),由條件知，任給 m、nW0, 1,當(dāng)m<n時(shí)，由m<n知n-mW0, 1,f (n) = f (n - m m) _ f (n - m) - f

43、 (m) _ f (m)若 xo <f(%),則 f(xo)<ff(xo)=xo,前后矛盾；若 xo >f(xo),則 f(Xo) >ff(Xo)=Xo ,前后矛盾.故 X0 = f(xo)關(guān)于抽象問題，考查的仍然是然函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，比如周期性，對(duì)稱性，單調(diào)性，奇偶 性等。加上本身的抽象性，所以問題眾多，解題方法眾多，常用的賦值法和模型法，其中以 特殊模型代替抽象函數(shù)幫助解題和理解題意，行之有效，他能解決大多抽象函數(shù)問題，有抽象函數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想已學(xué)過的具有相同的相似結(jié)構(gòu)的基本函數(shù)，并由基本函數(shù)的相關(guān)結(jié)構(gòu)猜想抽象函數(shù)可能具有的性質(zhì)，加深對(duì)題意的理解，但是不能有特殊的

44、模型去代替演繹推理，那樣犯了特殊代替一般的邏輯錯(cuò)誤，解題過程中不要忘了定義域。1 .已知f(x)的定義域?yàn)?r+,且f(x + y)= f(x) + f (y)對(duì)一切正實(shí)數(shù) x,y都成立，若 f(8)=4,則 f(2)=.【難度】2 .已知函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足f(1+x)= f (1x),并且f(x) = 0有三個(gè)實(shí)根，則 這三個(gè)實(shí)根之和是.【難度】【答案】3【解析】由f (1+x) = f(1x)知直線x = 1是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸又f (x) =0有三個(gè)實(shí)根，由對(duì)稱性知 x1 二 1必是方程的一個(gè)根，其余兩根x2, x3關(guān)于直線x =1 對(duì)稱，所以 x2 +x3 =2 父

45、1 = 2 ,故 x1 +x2 +x3 = 3.3 .若f(x)是R上的減函數(shù)，且f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(0,4)和點(diǎn)B(3-2),則當(dāng)不等式2 < f(x+t) <4的解集為( 1,2)時(shí)，t的值為.【難度】【答案】1【解析】要成功去掉 f這個(gè)外殼，不等式的左中右必須都是 f()的形式.所以，要把-2,4 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 f的表達(dá)式，由 f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(0,4)和點(diǎn)B(3,2)可知，4=f(0), 2 = f(3).所以2<f (x+t)<4 等價(jià)轉(zhuǎn)化為 f(3)<f(x+t)< f(0).又 f(x)是 R 上的 減函數(shù)，所以0<x+t&l

46、t;3,解得：t <x<3t,不等式得解集為(1,2).所以t=1.24.已知奇函數(shù)f(x )是定義在(-3,3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f (x-3)+f (x -3)<0,求x的取值范圍【難度】 【答案】2 :二x 63 f-3<x-3<3'0<x<6一廠【解析】由J 2 得J L L且x=0,故0<x< J6.-3 <x6.設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)、g(x)都有反函數(shù)，并且f(x-1)和g (x-2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，若g(5)=1999，那么f (4)=().【難度】【答案】2001 【解析】 f(x

47、1)和g(x2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線 y = x對(duì)稱， -3<3-v,6 <x< V6又.f(x )是奇函數(shù)，. f (x 3)<f (x2 3)= f (3 x2 )又f (x )在(-3,3 )上是減函數(shù)，, * x - 3、3 - x解得x>2或x<3,綜上得2 <x <J6,即x的取值范圍是x2<x< J6>5.設(shè)奇函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?,5,若當(dāng)xw (0,5時(shí)，f(x)是增函數(shù)且f(2)=0求不等式xf (x) <0的解集.【難度】【答案】0<乂<2或2<乂<0g(x 2)反函數(shù)是f(

48、x1),而g,(x2)的反函數(shù)是：2 + g(x) ,f(x -1) = 2 +g(x)，故 f =20017 .定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x),對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f(x+1)= f (2-x)成立，若f(x)=0僅有101個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為()【難度】【答案】30323【解析】由已知，函數(shù) f(x)的圖象有對(duì)稱軸x=-2于是這101個(gè)根的分布也關(guān)于該對(duì)稱軸對(duì)稱3即有一個(gè)根就是士，其余100個(gè)根可分為23 .50對(duì)，每一對(duì)的兩根關(guān)于 x=-對(duì)稱 2利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，這 100個(gè)根的和等于3X100 = 1502抽象函數(shù)(教師版)35 / 34所有101個(gè)根的和為”01= 3038

49、.已知偶函數(shù)y = f (x)定義域?yàn)镽,且恒滿足f(x+2) = f(2x),若方程f(x) = 0在0,4 1 上只有三個(gè)實(shí)根，且一個(gè)根是4,求方程在區(qū)間(8,10中的根?！敬鸢浮糠匠痰母鶠?6 -4 2、0、2、46、& 10共9個(gè)根f (1) = 0 ,解不等式9.函數(shù)y = f( x)( x 0)是奇函數(shù)，且當(dāng) xW R時(shí)是增函數(shù)，若,1fx(x-“0.【答案】上近<x<0或1<x<117 424【解析】由函數(shù)y = f (x)(x =0)是奇函數(shù)且當(dāng)xwR時(shí)是增函數(shù)，可得圖象形狀大致如1 1右圖，f(1) = f(1)=0 若 x(x1)>0

50、時(shí)，. fx(x1)< f(1) 221、，1-1711.17" 0<x(x -) < 1 解得：<x<0 或 一 <x<2 42411右 x(x)<0時(shí)，f x(x -) < f (-1) 221x(x -) < -1 解得：x (j) 21 - -171117所以：<x<0 或 一 <x<42410.如果 f(a+b) = f(a) f(b)且 f (1) = 2,則f(1) , f(3) , f(5) |H . f(2005)二f (0) f (2) f (4) f (2004) 一【難度】【答

51、案】2006【解析】所求的是函數(shù)值分式的和，從已知式變形 f(a+b)=f(b)知函數(shù)值商等于自變量 f(a)值差的函數(shù).業(yè)+型+3+ 川+f20Moiaf(0)f(2)f(4) f (2004)1：03 個(gè)= 1003 f (1) = 200611 .已知 f (x)對(duì)一切 x, y ,滿足 f (0) # 0, f (x + y) = f (x) f (y),且當(dāng) x < 0時(shí),f (x)在R上為減函數(shù)f(x)>1,求證：(1) xa0時(shí)，0<f(x)<1;【難度】【答案】丫對(duì)一切 x, y w R有 f (x + y) = f(x) ,f(y).且 f (0) # 0,令 x = y = 0 ,得 f (0) = 1,現(xiàn)設(shè) x A0,則x <0, f (-x) > 1 ,而 f (0) = f (x) f (-x) =1f (-x)=1f(x)0 < f (x) <1 ,設(shè) x1，x2 W R且 x1 <x2 ,則 0 :二 f (x2 - x1)< 1,f (x2) = f(x2 -x1)x1二 f (x2 -x1)f (x1)； f (x1)二 f (x1)> f (x2),即f (x)為減函數(shù).x (0,1),恒有 f (x) > 0 ；對(duì)12 .設(shè)f(x)是區(qū)間(0