2020高考熱點(diǎn)第3講三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

1、第3講三角函數(shù)的圖象和性質(zhì), bsin j2 22% a2+b2a1 .輔助角公式 asin a+ bcos a= Ja一 一一 ，一， 一，1 =-2cos4(x a)的圖象.又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此有g(shù)(0) = 2cos+ b2 sin（ a+ 機(jī) 其中 cos（j）= 1fo f a2+ b2或 tan b a2 .三角函數(shù)的奇偶數(shù)、周期性、對(duì)稱性的處理方法, ,兀一，,一 一 一，若f(x)=Asin(cox+昉為偶函數(shù)，則 Q kjt+q(kC Z),同時(shí)當(dāng)x= 0時(shí)，f(x)取得最大或最小值.若f(x) = Asin(cox+ 為奇函數(shù)，則 Q kjt kC Z),

2、同時(shí)當(dāng)x= 0時(shí)，f(x) =0.(2)f(x)= Acos(cox+ 當(dāng)kTt+京kC Z)時(shí)為奇函數(shù);當(dāng) 上knkC Z)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì) 稱軸方程可由 wx+(= k Tike Z)求得.f(x)= Atan(wx+機(jī) 當(dāng)(j)=(k Z)時(shí)為奇函 數(shù).(3)求三角函數(shù)最小正周期，一般先通過(guò)恒等變形化為y=Asin(x+ M, y= Acos(«x+昉,一 一2兀 2兀兀. .y=Atan(cox+財(cái)?shù)男问剑俜謩e應(yīng)用公式丁=1|, 丁=71，丁=求解.國(guó) 網(wǎng) 對(duì)于函數(shù)y= Asin(cox+/ 其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)一對(duì)稱中心的叱坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn).(5)若 f

3、(x)=Asin(cox+ 昉，則對(duì)稱軸為 x=2kk對(duì)稱中心為:kj=L_0 (kCZ).2 3 co_cok2 -f(x) = Atan(cox+ 的對(duì)稱中心為(=,0)(k Z).考點(diǎn)一 三角函數(shù)的圖象及變換小心仲縮”看A、6；由圖”定式“找對(duì)象”.，一、c1兀，一一、一 ，一 一，例(1)已知函數(shù)f(x)=sin2(cox) 2(3>0)的最小正周期為2,若將其圖象沿x軸向右平移a的最小值為()a(a>0)個(gè)單位，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則正實(shí)數(shù)兀-3兀兀兀A.4 B- 7C.2 D- 8解析：選D.依題意得f(x)=1coS 2°X-；=1cos 2cox,最小正

4、周期丁=尹=5 3 = 2, 2222 co 21.1 所以f(x) = -2cos 4x,將f(x) = 2cos 4x的圖象向右平移a個(gè)單位后得到函數(shù) g(x)4a=0, 4a= -+1k”，即a = A8，底Z,因此正實(shí)數(shù)a的最小值是8.(2)已知函數(shù)f(x)=Asin(cox+(A,。是常數(shù)， A>0, «>0, 0W g兀)的部分圖象如圖所示，其中M, N兩點(diǎn)之間的距離為 5,則f(6) =.解析：由題圖可知A=2,因?yàn)镸, N兩點(diǎn)分別為函數(shù)圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，設(shè) M(xi, 2), N(x2, 2),因?yàn)?|MN|=5,所以 y(xi X2)2+ 2

5、( 2) 2 = 5, 解得|X1 X2|=3,因?yàn)镸, N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為最小正周期的一半，即T=3,解得T=6,所以f(6) = f(0)=1.答案：1總結(jié)：已知函數(shù)y= Asin(cox+(f)(A>0, 3>0)的圖象求解析式時(shí)， 常采用待定系數(shù)法，由圖 中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A;由函數(shù)的周期確定3；確定。常根據(jù) 五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.(2)在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換.變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1,就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位 長(zhǎng)

6、度數(shù)和方向.變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=Asin(cox+ 9)(A>0, |。|< nt的部分圖象如圖所示，將函數(shù)y = f(x)的圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度彳#到函數(shù)y=g(x)的圖象，則函數(shù)y=g(x)的解析式為()A . g(x) = 2sin 2x兀C. g(x)= 2sin 2x+ 兀B. g(x) = 2sin 2x+- o兀D . g(x) = 2sin 2x 4解析：圖象法由圖得 A= 2, T=f ?=兀，所以3= 醇 2. o oI3兀 jt一一因?yàn)?x=-2 = 8J寸，y=2,所以 20= + 2k 兀 kCZ),所以 0= j+ 2k 兀 kCZ),因?yàn)?/p>

7、|。|兀，所以。=4,所以函數(shù)f(x) = 2sin 2x+4 .因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象由函數(shù)f(x)的圖象向右平移 江單位長(zhǎng)度得到，所以 g(x)=f x-4 =2sin2(x-4) + 4 = 2sin 2x4 .故選D.考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例2 (2018全國(guó)卷n )若f(x) = cos x-sin x在-a, a上是減函數(shù)，則 a的最大值是()兀A.4兀B, 2D.兀C 37t解析：導(dǎo)數(shù)法轉(zhuǎn)化不等式恒成立模型f' x) = sin x cos x= (sin x+ cos x) = >/2sin x+ 4 .由題意知，f'x)w0,即一J2sin x+4

8、< 0在區(qū)間a, a上恒成立,，、八一兀,一、一,，一 ，、也就是sin x + 4 > 0在區(qū)間 a, a上恒成立.由 sin x+4 >0,得 2k 送 x+jw 2卜兀+ 兀 kC Z),解得 2k 兀一j< x<2kTt+ 34r(ke Z). _兀3兀所以a, a? 2kL4, 2k%+ (kCZ),顯然當(dāng)k=0時(shí)，上述關(guān)系才能成立，-a>-即a, a? 乎,此時(shí)解得a<T.從而a的最大值為?選A.443 兀44aw T，例 3 已知函數(shù) f(x) = sin(x+ 昉 w>0, |(f)|<2 , x= j為 f(x)的零點(diǎn)，x

9、=4為 y=f(x)圖象的對(duì)稱軸，且f(x)在 喧，36t上單調(diào)，則 的最大值為()A. 11 B. 9C. 7 D. 5斛析： 由 f4=0 佝，-4 w+ 4= k 兀 k C Z),后 k 兀+ w,則 f (x) = sin w x+ k 兀+ w =-2csin 3 x+ 43 , k= 2n4一，兀Tt 兀兀,(n C Z).由 f 4 = ± 1,即 sin 4 co + 4 3 = sin 2w= ± 1,一 sin 3 x+4 3 , k=2n+ 1可知3為正奇數(shù)兀，兀 兀-2<。+43< 2(3>0).由2k o 口 _K J2 36-

10、18-2-4k< «<2-4k,又由于w> 0,所以k只能取0, 1-2, - 3.當(dāng) k= 0 時(shí),« (-2, 2);當(dāng) k= 1 時(shí)，« (26)；當(dāng) k= 2 時(shí)，coC (6,10);當(dāng) k=- 3 時(shí)，« (10,14).因?yàn)?是正奇數(shù)(不超過(guò)12),所以 co 1 , 3, 5, 79, 11.當(dāng) 3=11 時(shí)，xC 7；, 5； , 3X+ 九=11x+ 詈 C18 3644121 兀 154 兀 人士 7 兀 ntt r/ .百，年，里面含有萬(wàn)，則f(x)在A，36t上不可能單調(diào)，不符合題意7t18，36，x+ 4(d

11、=9x+了3e99 % 126 兀中-T人 2n+1箭飛6-，里面不含 一2一兀ne Z)中的任何一個(gè)，f(x)在比，16t上單調(diào)，符合題意.綜上，3的最大值為9.故選B.總結(jié)求解三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題的常用方法及技巧求單調(diào)區(qū)間的兩種方法：代換法：求形如 y=Asin(cox+ (或 y=Acos(cox+(j)(A, w,()為常數(shù)，Awq w>0) 的單調(diào)區(qū)間時(shí)，令cox+(j)= z,則y = Asin z(或y = Acos z),然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得.圖象法：畫(huà)出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求其單調(diào)區(qū)間.(2)判斷對(duì)稱中心與對(duì)稱軸：利用函數(shù)y=Asin(cox+昉的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)

12、圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)值等于零的點(diǎn)這一性質(zhì)，通過(guò)檢驗(yàn)f(xo)的值進(jìn)行判斷.(3)三角函數(shù)的周期的求法：定義法.公式法：y=Asin(cox+昉和y=Acos(cox+ 0的最小正周期為 汗 y=tan(cox+昉的最小正周期為 產(chǎn).利用圖象對(duì)稱性求周期.心|心|課后練習(xí)1. (2019全國(guó)卷n)下列函數(shù)中，以2為周期且在區(qū)間4, 2單調(diào)遞增的是()A . f(x)= |cos 2x|B . f(x)= |sin 2x|C. f(x)=cos|x|D. f(x)= sin|x|解析：選A.作出函數(shù)f(x)=|cos 2x|的圖象，如圖.J、/ ,由圖象可知f(x) = |co

13、s 2x|的周期為2,在區(qū)間：，2上單調(diào)遞增.號(hào)4 晉普“同理可得f(x)=|sin 2x|的周期為2t，在區(qū)間4, 2上單調(diào)遞減，f(x)=cos|x|的周期為2 71f(x)= sin岡不是周期函數(shù)，排除 B, C, D.故選A.3兀8 7114 71 2. (2019長(zhǎng)沙*II擬)已知函數(shù)f(x)=2cos cox+ 6(co>0)滿足：f目=f且在區(qū)間8寸, 手 內(nèi)有最大值但沒(méi)有最小值.給出下列四個(gè)命題: 33pi: f(x)在區(qū)間0 , 2 nt上單調(diào)遞減；P2： f(x)的最小正周期是 4 %P3： f(x)的圖象關(guān)于直線x=+稱；P4： f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)一學(xué) 0對(duì)稱.其

14、中的真命題是()A .pi ,P2 B.pi,P3C.P2,P4D.P3,P4解析：選C.由題意得，當(dāng)x= 33, f(x)取得最大彳1,則cos11%+2 = i,233611+ 2= 2k% 3= * 1 (kC N*),又易知 T= 2-> 14工等三 2 兀，0<1,所以 k =3622co 331_ x 兀 27t,1, 3=2, f(x) = 2cos 2+6 .故 f(x)的最小正周期 T=4it, P2是真命題，又£4=0，因此f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn) 一 0對(duì)稱，P4是真命題.故選 C. 33考點(diǎn)三與三角函數(shù)有關(guān)的值域、最值小上心 sin 2x+ sin x

15、.,例函數(shù)f(x)=-*的值域?yàn)?sin 2x+ sin x斛析：f(x)=sin x =2C0sx+1,且x次為所以彳 211m 10 t+2 +2.因?yàn)楹瘮?shù)的取大值為2,顯然此時(shí)t= 5.令g(t) = 萬(wàn)，得t= 1或t=0,由題意知xC -2 m ,當(dāng)x=, t= 1, g( 1)=結(jié)合g的圖象及函數(shù)的域?yàn)?T, 3)- ，一C1- 兀 (2)(2019 蘇州模擬)已知函數(shù) f(x) = 10sin1“1人一TT, ,、，值域?yàn)橐?, 2 , 可"2<sin m"斛"6wmw。.故選 B.總結(jié)：求三角函數(shù)在指定區(qū)間上最值的類型和方法(1)化歸與整體意

16、識(shí)：化一角一函數(shù)型的三角函數(shù)形如f(x)= Asin(wx+(j)+ B,注意x的范圍.(2)換元轉(zhuǎn)化意識(shí)：對(duì)于 f(x)=asin2x+ bsin x+ c 和 y= a(sin x+ cos x) + bsin xcos x+c 型常用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間上的最值問(wèn)題. x10sin x-2, xC -2, m 的值域?yàn)?一-,2 ,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.7t3'0 B.7t6'0 C.7tjr6D.6'.一一 .兀一 一. c1解析：選 B.記 t=sin x, xC -2, m ,則函數(shù) f(x)可轉(zhuǎn)化為 g(t) = - 10t2-10t-

17、= -變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)f（x）= sin w x+ 4（3。）在 溫 3上有最大值，但沒(méi)有最小值，則 值范圍是解析：由題意得：mco卜六畀2k兀小+23+ 2k% kC Z , T =4 234 2co<3+24k,kC Z,kC Z,得觀察可得3co >4+ 6k, k e Z ,k= 0,故34 3 .答案:課后練習(xí)1函數(shù)必=富聲的最小正周期為B.C.71D.71解析：選C.f（x）tan x1tan2 xsin xcos xsin xcos x“sin2xcos2 x+ sin2 x1+co?;,1，= sin xcos x=2sin 2x,所以 f(x)的最小正周期2-

18、5T= 2 ,i, -12 .函數(shù) f(x)=5sin兀 x+-3+ cos兀x6的最大值為（6A.5 B-3C.51D- 5解析：選A.cos兀x6兀=cos 2 一兀x+- 3一一 ,兀= sin x+-3則 f(x) = 1sin x + f +sin x+f =-6 5335sin x+ 3函數(shù)的最大值為6.3 .定義一種運(yùn)算a b=ad bc,將函數(shù)c df(x) =2sin x的圖象向左平移 0）cos x個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則（）的最小值是（）兀兀2兀A.6B- 3 C. 35兀D-三解析：選 C.f(x)= 2cosx 2msin x= 4cos x+；,依題意 g（x） = f（x+ =4cos x+3c +。是偶函數(shù)（其中（f） 0）.24= k兀，k C Z