專題14平行線分線段成比例定理與三角形形的“四心”初升高銜接教材系列二(解析版)

1、僮信公眾號：每H一題高中數(shù)學專題14平行線分線段成比例定理及三角形的“四心”一、知識點精講(-)平行線分線段成比例定理在解決幾何問題時，我們常涉及到一些線段的長度、長度比的問題.在數(shù)學學習與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線 常能產(chǎn)生一些重要的長度比.1在一張方格紙上，我們作平行線乙，/，直線。交人/于點人用。，48 = 2,80 = 3,另作直線b交/于點A,以C,AB40不難發(fā)現(xiàn)行=D C我們將這個結論般化，歸納出平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.ar DEAB DE如圖，IJ/U/I有天廠=戶當然，也可以得出寸.在運用該定理解決問題的過程中，我們一 BC EFAC

2、DF定要注意線段之間的而應關系，是“對應”線段成比例.二、典例精析【典例1】.如圖，t，21，且48 = 2,8C = 3.OF = 4,求。石工廠.【答案】見解析僮信公眾號：每H一題高中教學.AB DE 2【解析】V/./3,A BC EF 33Q7ITDE = -DF = 2,EF = DF =.2 + 352 + 35【典例2】在/16c中，。工為邊A5.AC上的點，DEf/BC.求證:AD AE _ DEAC 5C5【答案】見解析【解析】 證明（1） v DE/ BC、，ZADE = ZABGZAED = NACB,j.tADE s ABC,AD _AE _ DEAB - AC-BC證

3、明(2)An AF如圖過A作直線/6C, t/。七SC,.竽=牛.AB AC過E作七廠A8交AB 丁。，得口BDEF，因而0E = 8E丁 , iAEBFDEADAEDEv EF / AB,.9.=./.=.ACBCBCABACBC從上例可以得出如卜結論：平行于三角膨的一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊而應成比例. 【典例3】已知A8C,。在AC上，AO:OC = 2:1,能否在A5上找到一點E，使得線段EC的中點 在BD上.【答案】見解析【解析】A圖334假設能找到，如圖3.14,設

4、EC交6。于尸，則尸為EC的中點，作EGAC交8。于G EGH AC、EF = FC ,/. aEGF =aCDF , I1EG = DC,1 RF EG 1：.EG心 ADhBEG AD , E = = 1,=2BA AD 2二.E為A8的中點.可見，行E為A5的中點時，EC的中點在50上.AB _ BD7c - DC我們在探索一些存在性問題時，常常先假設其存在，再解之，有解則存在，無解或矛盾則不存在.【典例4】在4803 AO為N8AC的平分線，求證:【答案】見解析【解析】證明：過。作CE4。，交84延長線于E,03.1-5BDDCRAAD/CE. AEAD 平分N8AC,. NBA。=

5、NDAC, 由 AD/ CE 知 /BAO = ZE,ZDAC = ZACE.NE = 4CE#|ME = AC,AB BD* AC - DC例4的結論也稱為角平分線性質定理，可敘述為角平分線分對邊成比例（等于該角的齦然料T豺敷 【典例5】如圖3.1-12,在直角三角形ABC中，N8AC為直隹，ADJ.8C于。.求證：(1) AB2 =BDBC，(2) AC2 = CD CBx/2 = 2應.又S,A8C = ； AC,6E,解得BE =殍(2)如圖,/為內(nèi)心,則/到三邊的距離均為人連/AB/C, Sc = S. + S + %c，即2& = ；A8 r + ；8C r + ；C4r, 解得r

6、 =也.2(3) A6c是等腰三角形，外心。在40上，連80,則中，OD = AD-R.OB2 = BD2 + OD2,：.R2 = (2&- Rf + r,解得 A =. 8【說明】在直角三角形ABC中，44為直角，垂心為直角頂點A,外心。為斜邊8C的中點，內(nèi)心I在三角形的內(nèi)部，旦內(nèi)切圓的半徑為也（其中n,Ac分別為三角形的三邊8C,C4工8的長），為什么？（該 2直角三角形的三邊長滿足勾股定理：AC-+ AB-= BC22.如圖，在ABC中，AB=AC,尸為8C上任意一點.求證：AP2 = AB1 - PB PC 【解析】證明：過A作4。J. 6。于D在心BD 中,AD2=AB2-BD在

7、A/aAP。中，AP2 = AD2-DP2- AP2 = AB2 - BD2 + DP2 = AB2 - (BD + DP)(BD - DP).AB = AC. AD BC,. BD = DC.#僮信公眾號：每H一題高中教學 BD-DP = CD - DP = PC .AP2 = AB2-PBPC.3.已知等邊三角形ABC和點P,設點P到三邊AB, AC, BC的距離分別為九，俶惠，三角形4BC的高為h，“若點尸在一邊BC上（如圖a）,此時4=0,可得結論：4+4+/?3=人”請直接應用以上信息解決卜.列問題：當（1）點尸在AB。內(nèi)（如圖b）, （2）點在46C外（如圖c）,這兩種情況時，上述結論是否還成立?若成立，請給予證明：若不成立，%,生，由與人之間有什么樣的關系，請給出你的猜想（不必證明）.【答案】見解析【解析】（1）當點尸在/!6c內(nèi)時,法一如圖，過戶作8。分別交A8.AM.AC于B.AT,。,由題設知AM=PD + PE.故PD+PE + PF = AM ,即4+ 生+%=.法二如圖,* S&ABC SPAB + Smac + S“BC，.-BCAM=-ABPD + -ACPE + -BCPF, 2222又 AB = 8C = AC.,AM = PD + PE + PF ,即九+九+力3=/l(2)當點P在A6C外如圖位置時，4+生+%=萬不成立，猜想：h】+h2