概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(II)期末考試樣卷

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（II）期末考試樣卷3參考答案計(jì)算中可能用到的分布函數(shù)值或分位數(shù)為一、填空題（每小題3分，共24分）1. 設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且，令，則9902. 在總體中隨機(jī)地抽取一個(gè)容量為36的樣本，則均值落在4與6之間的概率=o3. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，均服從分布且與分別是來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從參數(shù)為9 的t 分布。4. 設(shè)為來自Laplace分布的樣本，是給岀的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量。5. 從一批電子元件中抽取8個(gè)進(jìn)行壽命測(cè)試，測(cè)得如下數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）:1050 11001130 1040 1250 13001200 1080設(shè)電子元件的壽命服從指數(shù)分布，試對(duì)這批元件的平均壽

2、命的矩估計(jì)為 1143.75o6. 設(shè)總體分布為則總體分布的費(fèi)希爾信息量o7. 設(shè)總體的方差為，據(jù)來自的容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，測(cè)得均值為， 則的期望的置信度近似等于的置信區(qū)間為48 5.2。8. 設(shè)總體都是未知參數(shù)，把從X中抽取的容量為的樣本均值記為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差記為S,當(dāng)已知時(shí)，在顯著性水平a下，檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量為_ ,拒絕域?yàn)?。二、單?xiàng)選擇題（每小題2分，共8分）1. 設(shè)為來自的一個(gè)樣本，其中u已知而未知，則下列各選項(xiàng)中的量不 是統(tǒng)計(jì)量的是（D ） o2. 設(shè)為來自的一個(gè)樣本，和分別為樣本均值和樣本方差，則下面結(jié)論 不成立的有（D ） oA.和相互獨(dú)立；B.和相互獨(dú)立；C.和相互獨(dú)立；D.和

3、相互獨(dú)立。3設(shè)是的無偏估計(jì)，且，則是的（C ）（A）無偏估計(jì)量 （B）有效估計(jì)量（C）有偏估計(jì)（D） A和B同時(shí)成立4.機(jī)床廠某日從兩臺(tái)機(jī)器所加工的同一種零件中，分別抽取滬20. 尸25的兩個(gè)樣本，檢驗(yàn)兩臺(tái)機(jī)器的臺(tái)工精度是否相同，則提出 假設(shè)（B ） o三、計(jì)算題（共24分）1 （8分）設(shè)容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本取自總體N （ 3.4, 36 ），且樣本均值在區(qū)間（1.4,5.4）內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量D至少應(yīng)取多大? 解：設(shè)是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，貝9：（3分）又由于:（5分）則：，查表得（8分）即知樣本容量n至少應(yīng)取35.2 （8分）設(shè)總體X的概率密度為：，設(shè)是取自總體的簡(jiǎn)單隨

4、機(jī)樣本。（1）求的矩估計(jì)量；（2）的方差Var（）o 解，（1）,令得的矩估計(jì)量°（4分）（2）經(jīng)計(jì)算可得：，（8分）3 （8分）下面列出的是某工廠隨機(jī)選取的20只部件的裝配時(shí)間（分）：9.8, 10.4, 10.6, 9.6, 9.7, 9.9, 10.9, 11. 1, 9.6, 10.2, 10.3,9.6, 9.9, 11.2, 10.6, 9.8, 10.5, 10.1, 10.5, 9.7。經(jīng)計(jì)算得，設(shè) 裝配時(shí)間的總體服從正態(tài)分布，是否可以認(rèn)為裝配時(shí)間的均值顯著地大 于 10 （取=0. 05） ?解：由于未知，故對(duì)于該假設(shè)檢驗(yàn)可采用t檢驗(yàn)。：，：（2分）拒絕域?yàn)?分）（

5、4代入比較落入拒絕域，故拒絕原假設(shè)，從而認(rèn)為裝配時(shí)間的均值顯著地大于10o（8分）四、應(yīng)用題（共30分）1 （8分）某種導(dǎo)線，要求其電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過0. 005 （歐姆）。今 在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中取樣品9根，測(cè)得s=0. 007（歐姆），設(shè)總體為正態(tài)分 布，參數(shù)均未知。問在水平=0. 05下能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差異顯著 地偏大？解：已知。檢驗(yàn)假設(shè)（2分）拒絕域?yàn)椋?分）由查表得， 比較 15.6815.507知落在拒絕域中，即在下拒絕，接 受，故認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差異顯著地偏大。（8分）2 （10分）假定電話總機(jī)在某單位時(shí)間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)服從泊松分布，現(xiàn)觀測(cè)了40個(gè)單位時(shí)間，接到的呼叫次

6、數(shù)如下表0 213312134211102212251223313134061114013在顯著水平005下能否認(rèn)為該單位時(shí)間內(nèi)平均呼叫次數(shù)不低于25次？ 并給出檢驗(yàn)的值。解：以記電話總機(jī)在該單位時(shí)間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，可設(shè)。待檢假設(shè)為 （2分） 由于較大，故可采用大樣本檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，拒絕域?yàn)?。?分）由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算可得。因而，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為，拒絕原假設(shè)。（10 分）（8分） 檢驗(yàn)的值為。3 （12分）今有某種型號(hào)的電池三批，它們分別是A、B、C三個(gè)工廠所 生產(chǎn)的，為評(píng)比其質(zhì)量，各隨機(jī)抽取5只電池為樣品，經(jīng)試驗(yàn)得其壽命（小時(shí)）如下：12345A40483842459137B2634302

7、8324540C39404350509970試在 顯著 水平0.05下檢驗(yàn)電池的平均壽命有無顯著的差異。若差異是顯著的，試求均值差 及的置信度為95%的置信區(qū)間。設(shè)各工廠所生產(chǎn)的電池的壽命服從同方 差的正態(tài)分布。解 分別以記電池A,B,C型號(hào)的平均壽命，我們需檢驗(yàn)（）不全相 等（2分）現(xiàn)在（6分）又故在水平下拒絕，即各種型號(hào)的電池的壽命均值差異是顯著的。 均值的置信度的置信區(qū)間為（8分）由于故的置信度為95%的置信區(qū)間為6.17, 18.45,的置信度為95%的置信 區(qū)間為-20.25, -8.55,的置信度為95%的置信區(qū)間為-7.65,4. 05 o（12分）五、綜合題（14分）設(shè)，為其一組樣本，（1）求的最大似然估計(jì)；（2）證明是的無偏、相合估計(jì);（3）證