應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論

1、第八章 應(yīng)力狀態(tài)和強度理論授課學(xué)時：8學(xué)時主要內(nèi)容：斜截面上的應(yīng)力；二向應(yīng)力狀態(tài)的解析分析和應(yīng)力圓。三向應(yīng)力簡介。$8.1應(yīng)力狀態(tài)概述單向拉伸時斜截面上的應(yīng)力1.應(yīng)力狀態(tài)過構(gòu)件上一點有無數(shù)的截面， 這一點的各個截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點的應(yīng)力狀態(tài)2單向拉伸時斜截面上的應(yīng)力 橫截面上的正應(yīng)力N=A斜截面上的應(yīng)力PaPAap二 COS JAcos 二Pa斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力為二a = Pa COS：二二 COS2 :aa = pa sin sin 2 二2可以得出:-=0 時maxJI時4max過A點取一個單元體，如果單元體的某個面上只有正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力，那么此平面稱 為主平面。主平面上

2、的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主單元體假設(shè)單元體三個相互垂直的面皆為主平面，那么這樣的單元體稱為主單元體。個主應(yīng)力中有一個不為零，稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。 三個主應(yīng)力中有兩個不為零，稱為二向應(yīng)力 狀態(tài)。三個主應(yīng)力中都不為零，稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。主單元體三個主平面上的主應(yīng)力按代數(shù) 值的大小排列，即為二1 _匚2 _匚3。$8.2二向應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力1.任意斜截面上的應(yīng)力在根本單元體上取任一截面位置，截面的法線n。在外法線n和切線t上列平衡方程-adA ( xydAco s)si n -(；xdAco s)co s(yxdAsin ： )cos：-(二 ydAsin ： ) sin ： = 0adA - x

3、ydAcos： cos： - sdAcos： sin :二ydAsin ： cosj - yxdAsin: sin： = 0根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，xy二yx，并考慮到以下三角關(guān)系21 cos2j 21 - sin 2-：scos,sin :2 22si nrcos： = si n2_：i簡化兩個平衡方程，得2cos2：- 7xysin 2：x %si n2HxyCOs2a22.極值應(yīng)力將正應(yīng)力公式對a取導(dǎo)數(shù)，得d 石rx_by° = 一2y sin 2° + Txy COS2a如2_2d Q-假設(shè)- - - 0時，能使導(dǎo)數(shù)0，那么d«2sin 2 0xy COS2：

4、0= 0tg2 02 xy上式有兩個解：即0和090。在它們所確定的兩個互相垂直的平面上，正應(yīng)力取得極值。且絕對值小的角度所對應(yīng)平面為最大正應(yīng)力所在的平面，另一個是最小正應(yīng)力所在的平面。求得最大或最小正應(yīng)力為 max°x+Dy ° x y 22：-0代入剪力公式， 一0為零。這就是說，正應(yīng)力為最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力。d t將切應(yīng)力公式對：求導(dǎo)，令二x - ；y cos2： -2. xy sin 2=0dad t假設(shè)二二時，能使導(dǎo)數(shù)0，那么在宀所確定的截面上，剪應(yīng)力取得極值。通過求da導(dǎo)可得；x -廠 ycos2 2 xy sin

5、2：“ = 0tg2： i2 xy求得剪應(yīng)力的最大值和最小值是:TmaxT . min+ T2xy與正應(yīng)力的極值和所在兩個平面方位的對應(yīng)關(guān)系相似，剪應(yīng)力的極值與所在兩個平面方 位的對應(yīng)關(guān)系是：假設(shè).xy 0，那么絕對值較小的對應(yīng)最大剪應(yīng)力所在的平面。3. 主應(yīng)力所在的平面與剪應(yīng)力極值所在的平面之間的關(guān)系:-與：'i之間的關(guān)系為tg2 0 二1tg2 iji1 八 0-4這說明最大和最小剪應(yīng)力所在的平面與主平面的夾角為45 o$8.3二向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓1應(yīng)力圓方程將公式-y2£xD x 口 y+cos2a ?：xysin 2c(2 ysin 2二2中的削掉，得/+CTy2-C

6、y甩-2J22-xy由上式確定的以二:.和.：.為變量的圓，這個圓稱作應(yīng)力圓。圓心的橫坐標(biāo)為圓的半徑為TmaxCT -ff_ _r = maxmm"-_ 22. 應(yīng)力圓的畫法建立二-.應(yīng)力坐標(biāo)系注意選好比例尺在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點 D二x,xy和D'；y,.yxDD'與軸的交點C便是圓心以C為圓心，以AD為半徑畫圓 應(yīng)力圓。3單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系1圓上一點坐標(biāo)等于微體一個截面應(yīng)力值2圓上兩點所夾圓心角等于兩截面法線夾角的兩倍3對應(yīng)夾角轉(zhuǎn)向相同4. 在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力T min$8.4三向應(yīng)力狀態(tài)1三個主應(yīng)力二1 -匚2 -二32.三向應(yīng)力圓的畫法由二1,二2作應(yīng)力圓

7、，決定了平行于 二3平面上的應(yīng)力由二3,二1作應(yīng)力圓，決定了平行于 二2平面上的應(yīng)力由二2,二3作應(yīng)力圓，決定了平行于 二1平面上的應(yīng)力2.復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系三向應(yīng)力狀態(tài)等三個主應(yīng)力，可看作是三組單向應(yīng)力的組合。對于應(yīng)變，可求出單向應(yīng)力引起的應(yīng)變，然后疊加可得勺-1卩2卩遼3.A=一 G t 一卩(CT 2EEEE1-十6】Eb2-呱3P)1 13 =E屯5+ cr2)3. 體積胡克定律單元體變形后的體積為V = dx *dy *dz單元體變形后的體積為V| = dx Mdx dy 2dy dz 3體積改變?yōu)?-2SEJ飛2+ S)=3(1-N)3 單元體正應(yīng)力的極值為-max 二-T