大連理工大學(xué)-高等數(shù)值分析-拋物型方程有限差分法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上拋物型方程有限差分法 拋物方程差分法的構(gòu)造在空間方向上與橢圓方程類似，在時(shí)間方向上用一階差商代替代替一階微商。然后在時(shí)間方向上逐層求解。特別當(dāng)空間維數(shù)較高時(shí)，可以使用局部一維格式大大降低計(jì)算量。1. 簡(jiǎn)單差分法考慮一維模型熱傳導(dǎo)方程(1.1) ，其中為常數(shù)。是給定的連續(xù)函數(shù)。（1.1）的定解問(wèn)題分兩類： 第一，初值問(wèn)題（Cauchy 問(wèn)題）：求足夠光滑的函數(shù)，滿足方程（1.1）和初始條件：（1.2） , 第二，初邊值問(wèn)題（也稱混合問(wèn)題）：求足夠光滑的函數(shù)，滿足方程（1.1）和初始條件： , 及邊值條件 ， 假定和在相應(yīng)的區(qū)域光滑，并且于，兩點(diǎn)滿足相容條件,則上述問(wèn)題有

2、唯一的充分光滑的解?，F(xiàn)在考慮邊值問(wèn)題（1.1），（1.3）的差分逼近取 為空間步長(zhǎng)，為時(shí)間步長(zhǎng)，其中，是自然數(shù)，, ； , 將矩形域分割成矩形網(wǎng)格。其中 表示網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)；表示網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)（位于開矩形中的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）的集合；表示位于閉矩形中的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的集合；表示-網(wǎng)格邊界點(diǎn)的集合。表示定義在網(wǎng)點(diǎn)處的待求近似解，。注意到在節(jié)點(diǎn)處的微商和差商之間的下列關(guān)系（）：可得到以下幾種最簡(jiǎn)差分格式（一） 向前差分格式 ， =0其中，。取為網(wǎng)比，則進(jìn)一步有 =+此差分格式是按層計(jì)算：首先，令，得到=+于是，利用初值和邊值=0，可算出第一層的，。再由取，可利用和=0算出，。如此下去，即可逐層算出所有（，）。由于第層值可以

3、通過(guò)第層值直接得到，如此的格式稱為顯格式。并視為的近似值。若記，則顯格式可寫成向量形式其中若記那末截?cái)嗾`差（1.5）=其中是矩形，中某一點(diǎn)。事實(shí)上，+=+=。這里故，從而（二） 向后差分格式 ， =0其中 ，。取為網(wǎng)比，則進(jìn)一步有 +=+按層計(jì)算：首先，取，則利用初值和邊值=0，來(lái)確定出第一層的，即求解方程組：+=+，=0。求出，在由取，可利用，解出，。如此下去，即可逐層算出所有，。如此每層必須解一個(gè)三對(duì)角線性方程組的格式稱為隱格式。并視為的近似值。直觀地說(shuō)，采用顯式格式進(jìn)行求解既方便又省工作量。但是，后面我們將看到，有些情況用隱式格式更為便利。1.2.3 Grank-Nicholson法將向

4、前差分格式和向后差分格式做算術(shù)平均，得到的差分格式稱之為六點(diǎn)對(duì)稱格式，也稱為Crank-Nicholson格式： ， =0進(jìn)一步， +=+按層計(jì)算：首先，取，則利用初值和邊值=0，來(lái)確定出第一層的，即求解方程組：+=+，=0。求出，在由,取，可利用，解出，。如此下去，即可逐層算出所有，。若記在處作Taylor 展開，可以算出截?cái)嗾`差為（1.7） =。+（四）Richardson格式（1.10） +進(jìn)一步 =（+）+2這是三層顯式差分格式。顯然截?cái)嗾`差的階為。為使計(jì)算能夠逐層進(jìn)行，除初值外，還要用到。它可以用其他雙層格式提供。Richardson格式的矩陣形式為：其中2 穩(wěn)定性與收斂性 拋物方程

5、的兩層差分格式可以統(tǒng)一寫成向量形式:(2.1) 其中，和是階矩陣。我們假定可逆，即（2.1）是唯一可解的。對(duì)于顯格式，等于單位矩陣。三層格式可以通過(guò)引入新變量化成兩層格式。假設(shè)差分解的初始值（其實(shí)可以是任一層的值）有誤差，以后各層計(jì)算沒(méi)有誤差，讓我們來(lái)考察初始誤差對(duì)以后各層的影響。令和分別是以和為初始值由差分格式（2.1）得到的兩組差分解，則滿足（2.2） 因此，按初值穩(wěn)定應(yīng)該意味著。這就導(dǎo)致如下定義： 假設(shè)，我們稱差分格式（2.1）按初值穩(wěn)定，如果存在正常數(shù)和，使得以下不等式成立：（2.2） ， 這里是上的某一個(gè)范數(shù)，例如 類似地，假設(shè)，我們稱差分格式（2.1）按右端穩(wěn)定，如果存在正常數(shù)和，

6、使得以下不等式成立：（2.2） ， 可以證明，差分格式若按初值穩(wěn)定，則一定按右端穩(wěn)定。因此，這時(shí)我們簡(jiǎn)單地稱差分格式穩(wěn)定。前面討論的向前差分格式（1.4）當(dāng)網(wǎng)比時(shí)穩(wěn)定，當(dāng)時(shí)不穩(wěn)定。這就意味著給定空間步長(zhǎng)以后，時(shí)間步長(zhǎng)必須足夠小，才能保證穩(wěn)定。而向后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）則對(duì)任何網(wǎng)比都是穩(wěn)定的，時(shí)間步長(zhǎng)可以取得大一些，從而提高運(yùn)算效率。Richardson格式則對(duì)任意網(wǎng)比都是不穩(wěn)定的。因此，雖然Richardson格式是個(gè)顯格式，截?cái)嗾`差又很小，但是卻不可用。如果某個(gè)差分格式的截?cái)嗾`差當(dāng)和趨于0時(shí)隨之趨于0，則稱這個(gè)差分格式是相容的?？梢宰C明：若差分格式

7、是相容的和穩(wěn)定的，則它是收斂的，并且差分解與微分解之間誤差的階等于截?cái)嗾`差的階。因此，當(dāng)網(wǎng)比時(shí)，向前差分格式（1.4）有收斂階。對(duì)任何網(wǎng)比，向后差分格式（1.6）有收斂階，而Crank-Nicholson格式（1.8）有收斂階。3高維拋物方程差分法考慮如下二維拋物方程的差分格式。（3.1） 取空間步長(zhǎng)，時(shí)間步長(zhǎng)。作兩族平行與坐標(biāo)軸的網(wǎng)線，其中，將矩形區(qū)域分割成個(gè)小矩形。記為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的差分解。前述各種一維差分格式都可以直接用于以（3.1）為代表的二維以至更高維的拋物方程。例如，向前差分格式成為（3.2） 實(shí)際計(jì)算時(shí)，先令，利用已知的等等，對(duì)，用（3.2）算出。而由邊值條件，補(bǔ)充得到。下一步，令

8、，利用已知的第1層的差分解類似地算出第2層的差分解。以此類推，直到。各種隱格式，例如向后差分格式和Crank-Nicholson格式，也可以類似地推廣用于高維情形。每次計(jì)算新的一層差分解時(shí)，同樣需要求解一個(gè)線性方程組。但是，這個(gè)線性方程組不再是三對(duì)角的，方程組階數(shù)為，其中是拋物方程的維數(shù)。因此，求解成本大大增加，甚至導(dǎo)致無(wú)法求解。為了克服這一困難，人們提出了各種降維技巧，局部地把高維問(wèn)題化成一維問(wèn)題求解。下面給出的求解二維拋物方程的LOD格式（局部一維格式）就是其中一例。（3.3a） （3.3b） ； 其中 ，LOD格式的計(jì)算步驟可以總結(jié)如下：1） 令。2） 。3） 求解三對(duì)角線性方程組（3.3a）得到差分解。4） 若，則增加1，轉(zhuǎn)步驟3）。否則轉(zhuǎn)5）。5） 令。6） 求解三對(duì)角線性方程組（3.3b）得到差分解。7） 若，則增加1，轉(zhuǎn)步驟6）。否則轉(zhuǎn)8）。8） 若，則增加1，轉(zhuǎn)步驟2）。否則結(jié)束。LOD格式的基本想法是，由第層計(jì)算層