(完整版)容斥原理題庫(kù)教師版

1、7-7 容斥原理教學(xué)目標(biāo)1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2. 掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明一、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成： A U B A B A I B ( 其中符號(hào)“ U ”讀作“并” ，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“ I ”讀作“交” ，相當(dāng)于中文“且”的意思 ) 則稱這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱容斥原理圖示如下: A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C

2、表示大圓與小圓的公共部分，記為：A I B ，即陰影面積圖示如下: A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A I B ，即陰影面積1先包含 A B重疊部分 A IB 計(jì)算了 2 次，多加了 1次；2再排除 AB A IB把多加了 1次的重疊部分AI B減去包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A、B 的并集 A U B 的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步： 分別計(jì)算集合 A、B 的元素個(gè)數(shù)， 然后加起來(lái)， 即先求 A B ( 意思是把 A、B 的一切元素都 “包含”進(jìn)來(lái)，加在一起 ) ；第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去C A IB ( 意思是

3、“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)) 二、三量重疊問題A 類、B 類與 C 類元素個(gè)數(shù)的總和A 類元素的個(gè)數(shù)B 類元素個(gè)數(shù)C 類元素個(gè)數(shù)既是 A 類又是 B類的元素個(gè)數(shù) 既是 B 類又是 C 類的元素個(gè)數(shù) 既是 A 類又是 C 類的元素個(gè)數(shù) 同時(shí)是 A 類、 B 類、 C 類的元素個(gè)數(shù)用符號(hào)表示為： AUBUC A B C AI B BI C AI C AI BI C圖示如下：2010 年·暑假 .三年級(jí) . 第 3 講 . 重疊問題教師版page 1 of 13圖中小圓表示 A 的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示 B 的元素的個(gè)數(shù)，大圓表示 C 的元素的個(gè)數(shù)1先包含： A B C重疊部分 A IB、

4、BI C、CIA 重疊了 2 次，多加了 1 次2再排除： AB CA I BBIC AIC重疊部分 A IB I C 重疊了 3次，但是在進(jìn)行A B CA I BB I CA IC 計(jì)算時(shí)都被減掉了3再包含： AB CA I BBIC AICAI BI C在解答有關(guān)包含排除問題時(shí)，我們常常利用圓圈圖( 韋恩圖 ) 來(lái)幫助分析思考例題精講板塊一、兩量重疊問題【例 1】?jī)蓮堥L(zhǎng) 4厘米，寬2 厘米的長(zhǎng)方形紙擺放成如圖所示形狀把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘米？4厘米2厘米圖 32 厘米的正方【解析】 兩 個(gè)長(zhǎng)方形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊( 見圖中的陰影部分 ) ，重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為形，如果利用兩

5、個(gè) 4 2 的長(zhǎng)方形面積之和來(lái)計(jì)算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個(gè)長(zhǎng)方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了所以，被覆蓋面積長(zhǎng)方形面積之和 - 重疊部分于是，被覆蓋面積4 2 2 2 2 12(平方厘米 )【鞏固】 把長(zhǎng) 38厘米和 53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條已知焊接部分長(zhǎng)4 厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)？【解析】因?yàn)楹附硬糠譃閮筛F條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng) 38 53 4 87(厘米)【鞏固】把長(zhǎng) 23厘米和 37厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條已知焊接部分長(zhǎng)3 厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)？【解析】 焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除

6、法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng)：2337357 ( 厘米 ) 【例 2】實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班， 參加語(yǔ)文興趣小組的有 28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有 29 人，有 12人兩個(gè)小組都參加 這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組？【解析】如圖所示， A 圓表示參加語(yǔ)文興趣小組的人， B 圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人， A 與 B 重合的部分 C ( 陰影部分 ) 表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人 圖中ACBA 圓不含陰影的部分表示只參加語(yǔ)文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有 28 12 16( 人 ) ；圖中 B 圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語(yǔ)文興趣小組的2010 年·暑假 .三年級(jí) . 第

7、3 講 . 重疊問題教師版page 2 of 13人，有 291217 (人)方法一：由此得到參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的有：16 12 17 45(人)方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得：參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的人參加語(yǔ)文興趣小組的人參加數(shù)學(xué)興趣小組的人兩個(gè)小組都參加的人，即：2829 12 45 (人) 【鞏固】 芳草地小學(xué)四年級(jí)有 58 人學(xué)鋼琴，43 人學(xué)畫畫，37 人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫的分別有多少人？【解析】 解包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡(jiǎn)捷的方法，可以幫助解決問題，畫圖時(shí)注意把不同的對(duì)象與不同的區(qū)域?qū)?yīng)清楚建議教師幫助學(xué)生畫ACB圖分析，清楚的分析每一部分的含義

8、如圖， A 圓表示學(xué)畫畫的人，B 圓表示學(xué)鋼琴的人，C 表示既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫的人，圖中 A圓不含陰影的部分表示只學(xué)畫畫的人，有：43 37 6 ( 人 ) ，圖中 B 圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人，有：58 37 21( 人) 【例 3】一個(gè)班 48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語(yǔ)文作業(yè)沒完成數(shù)學(xué)作業(yè)；一種是完成數(shù)學(xué)作業(yè)沒完成語(yǔ)文作業(yè)；一種是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成了已知做完語(yǔ)文作業(yè)的有37 人；做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人這些人中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有多少人？【解析】 不妨用下圖來(lái)表示：線段 AB 表示全班人數(shù)，線段AC 表示做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)，線段DB 表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)，重疊部分

9、 DC 則表示語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都做完的人數(shù)根據(jù)題意，做完語(yǔ)文作業(yè)的有37人，即 AC37 做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人，即 DB42AC DB 374279(人)LLLLAB 48(人)LLLL式減式，就有 DC 79 48 31( 人)所以，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文作業(yè)都做完的有31人【鞏固】 四年級(jí)科技活動(dòng)組共有 63 人在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有34人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)問：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？【解析】 因 42 34 76， 76 63 ，所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)活動(dòng)由于每個(gè)同學(xué)都

10、至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)，根據(jù)包含排除法知，4234( 完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù) )全組人數(shù)，即 76( 完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù) ) 63由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為76 63 13 ( 人 ) 也可畫圖分析【鞏固】 實(shí)驗(yàn)二校一個(gè)歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有10 人，能表演跳舞的有18 人，兩種都能表演的有 7 人這個(gè)表演隊(duì)共有多少人能登臺(tái)表演歌舞？【解析】 根據(jù)包含排除法，這個(gè)表演隊(duì)能登臺(tái)表演歌舞的人數(shù)為：10 18721( 人) 【鞏固】 某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有32 人，參加軍棋比賽的有28 人，有 18人兩項(xiàng)比賽都參加了，這個(gè)班參加棋類比賽的共有多少人？【解析】 如圖，

11、A 圓表示參加象棋比賽的人，B 圓表示參加軍棋比賽的人，A 與B 重合的部分表示同時(shí)參加兩項(xiàng)比賽的人圖中A 圓不含陰影的部分表只參兩項(xiàng)只參加象比賽加軍2010 年·暑假 .三年級(jí) . 第 3 講 . 重疊問題教師版棋比都參棋比page 3 of 13加的賽的賽的AB示只參加象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有 321814 ( 人 ) ；圖中 B 圓不含陰影的部分表示只參加軍棋比賽不參加象棋比賽的人，有 281810( 人) 由此得到參加棋類比賽的人有14181042( 人) 或者根據(jù)包含排除法直接得：32 2818 42( 人) 【例 4】( 第二屆小學(xué)迎春杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽) 有 100位旅客

12、，其中有10人既不懂英語(yǔ)又不懂俄語(yǔ)，有75人懂英語(yǔ)， 83人懂俄語(yǔ)問既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有多少人？【解析】 方法一：在 100人中懂英語(yǔ)或俄語(yǔ)的有：100 10 90( 人) 又因?yàn)橛?75 人懂英語(yǔ)，所以只懂俄語(yǔ)的有： 90 7515 ( 人 ) 從 83位懂俄語(yǔ)的旅客中除去只懂俄語(yǔ)的人，剩下的83 1568( 人) 就是既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的旅客方法二：學(xué)會(huì)把公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，由包含與排除原理，得：AUB A B AI B 75 83 90 68(人)【鞏固】 47 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文考試，其中語(yǔ)文得分95 分以上的 14 人，數(shù)學(xué)得分95 分以上的21 人，兩門都不在 95分以上的有22人

13、問：兩門都在 95分以上的有多少人？【解析】 如圖，用長(zhǎng)方形表示這47名學(xué)生， A 圓表示語(yǔ)文得分95分以上的人數(shù)， B 圓表示數(shù)學(xué)得95分以上的人數(shù)，A 與 B 重合的部分表示兩門兩門數(shù)學(xué)都在 95 分以上的人數(shù)， 長(zhǎng)方形內(nèi)兩圓外的部分表示兩門都不在95分語(yǔ)文95分95分95分以上的人數(shù)以上以上以上的由圖中可以看出，全體人數(shù)是至少一門在95分以上的人數(shù)與兩門都的的AB不在 95 分以上的人數(shù)之和，則至少一門在95 分以上的人數(shù)為：兩門都不在95分以上的47 22 25 ( 人 ) 根據(jù)包含排除法，兩門都在 95 分以上的人數(shù)為：14212510( 人) 【鞏固】 某班共有 46人，參加美術(shù)小

14、組的有12人，參加音樂小組的有 23 人，有 5 人兩個(gè)小組都參加了這個(gè)班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？【解析】 已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù)，就得到既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的人數(shù)根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個(gè)小組的總?cè)藬?shù)為12 23 530(人)所以，該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是46 30 16( 人) 【鞏固】 四年級(jí)一班有 45 人，其中 26 人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，22人參加了作文比賽， 12 人兩項(xiàng)比賽都參加了一班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒有參加？【解析】 由包含排除法可知，至少參加一項(xiàng)比賽的人數(shù)是：26

15、22 12 36( 人 ) ，所以，兩項(xiàng)比賽都沒有參加的人數(shù)為： 45 36 9 ( 人) 【鞏固】 某次英語(yǔ)考試由兩部分組成， 結(jié)果全班有 12 人得滿分， 第一部分有25 人做對(duì)， 第二部分有 19人有錯(cuò)，問兩部分都有錯(cuò)的有多少人？【解析】 如 圖，用長(zhǎng)方形表示參加考試的人數(shù)，A 圓表示第一部分對(duì)的人數(shù) B 圓表示第二部分對(duì)的人數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩部分都有只做兩部只做錯(cuò)的人數(shù)對(duì)第分全對(duì)第一部二部對(duì)的已知第一部分對(duì)的有 25人，全對(duì)的有12人，可知只對(duì)第一部分的有：分的分的25 12 13( 人 ) 又因?yàn)榈诙糠钟?9 人有錯(cuò)，其中第一部分對(duì)第兩部分都有錯(cuò)的二部分有錯(cuò)的有 13 人，

16、那么余下的1913 6 ( 人 ) 必是第一部分和第二部分均有錯(cuò)的，兩部分都有錯(cuò)的有6 人【鞏固】 對(duì)全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會(huì)游泳的有20人，會(huì)打籃球的有 25人兩項(xiàng)都會(huì)的有 10 人，兩項(xiàng)都不會(huì)的有9人這個(gè)班一共有多少人？會(huì)兩會(huì)打項(xiàng)2010 年·暑假 .三年級(jí) . 第 3 講 . 重疊問題教師版page 4 of 游13籃泳都球會(huì)的的的AB兩項(xiàng)都不會(huì)的【解析】 如圖，用長(zhǎng)方形表示全班人數(shù)，A 圓表示會(huì)游泳的人數(shù)， B 圓表示會(huì)打籃球的人數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)由圖中可以看出，全班人數(shù)至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)，至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)為：20 25 10 35 ( 人 )

17、 ，全班人數(shù)為： 359 44(人)【例 5】 在 46 人參加的采摘活動(dòng)中，只采了櫻桃的有18 人，既采了櫻桃又采了杏的有7人，既沒采櫻桃又沒采杏的有 6人，問：只采了杏的有多少人？【解析】 如圖，用長(zhǎng)方形表示全體采摘人員46人， A 圓表示采了櫻桃的人數(shù)， B 圓表示采了杏的人數(shù)長(zhǎng)方形中陰影部分表示既沒采櫻既采A櫻桃B又采桃又沒采杏的人數(shù)杏的由圖中可以看出， 全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采既沒采櫻桃的人數(shù)之和，則至少采了一種的人數(shù)為：46 6 40( 人) ，而至又沒采杏的少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)兩種都采了的人數(shù)只采了杏的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為：40 18 7 15

18、(人)【例 6】 甲、乙、丙三個(gè)小組學(xué)雷鋒，為學(xué)校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組擦的，52塊玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了60 塊玻璃那么，甲、乙、丙三個(gè)小組各擦了多少塊玻璃？【解析】 68 塊玻璃不是甲組擦的，說(shuō)明這68 塊玻璃是乙、丙兩組擦的；52塊玻璃不是乙組擦的，說(shuō)明這52 塊玻璃是甲、丙兩組擦的如圖，用圓 A 表示乙、丙兩組擦的68塊玻璃， B 圓表示甲、丙兩組擦的52塊玻璃因甲乙兩組共擦了 60塊玻璃，那么 68 5260 60( 塊 ) ，這是兩個(gè)丙組擦的玻璃數(shù)60 2 30(塊)丙組擦了 30塊玻璃乙組擦了： 6830 38 ( 塊 ) 玻璃，甲組擦了：523022(塊

19、)玻璃【鞏固】 育才小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16 幅畫不是六年級(jí)的，有15 幅畫不是五年級(jí)的，五、六年級(jí)共展出 25 幅畫，其他年級(jí)的畫共有多少幅？【解析】 通過 16 幅畫不是六年級(jí)的可以知道， 五年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是16，通過 15幅畫不是五年級(jí)的可以知道六年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是15，那也就是說(shuō)五年級(jí)的畫比六年級(jí)多1幅，我們還知道五、六年級(jí)共展出25 幅畫，進(jìn)而可以求出五年級(jí)畫作有13 幅，六年級(jí)畫作有12幅，那么久可以求出其他年級(jí)的畫作共有3 幅【例 7】一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)， 甲答錯(cuò)題目總數(shù)的1 ，乙答錯(cuò) 3 道題，兩人都答錯(cuò)的題目是題目總數(shù)的1 。求甲、46乙都答對(duì)

20、的題目數(shù).acn (1)【解析】 ( 法一 ) 設(shè)共有 n 道題。由右圖知 d 即為所求，并有關(guān)系式c4b3(2)cn (3)6由知 ,n 是 4 和 6 的公倍數(shù)，即12 的倍數(shù)。將代入，有b3n ，6由于 b 是非負(fù)整數(shù)， 所以 n=12，由此求出 c=2，b=1，a=1. 又由 a+b+c+d=n，得到 d=n- （ a+b+c)=8（法二）顯然兩人都答錯(cuò)的題目不多于3 道，所以題目總數(shù)只可能是6、12、 18，其中只有12，能使甲答錯(cuò)題目總數(shù)是整數(shù) .2010 年·暑假 .三年級(jí) . 第 3 講 . 重疊問題教師版page 5 of 13【例 8】 在 1100 的全部自然數(shù)

21、中，不是 3 的倍數(shù)也不是 5 的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？【解析】 如圖，用長(zhǎng)方形表示 1100 的全部自然數(shù)， A 圓表示 1100 中 3的倍數(shù)， B 圓表示 1100 中 5 的倍數(shù)，長(zhǎng)方形內(nèi)兩圓外的部分表示既不是 3 的倍數(shù)也不是 5 的倍數(shù)的數(shù)由 100 3 33L 1可知， 1100 中 3 的倍數(shù)有 33個(gè)；由 100 5 20可知，1100 中 5 的倍數(shù)有 20個(gè)；由 100 （3 5） 6L 10 可知， 1100 既是 3 的倍數(shù)又是 5 的倍數(shù)的數(shù)有 6 個(gè)AB由包含排除法， 3 或 5 的倍數(shù)有：3320 647 ( 個(gè)) 從而不是3 的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有100 47

22、 53( 個(gè)) 【鞏固】 在從 1 至 1000 的自然數(shù)中，既不能被5 除盡，又不能被7 除盡的數(shù)有多少個(gè) ?【解析】 1 1000 之間， 5 的倍數(shù)有1000=200 個(gè)， 7的倍數(shù)有1000=142 個(gè)，因?yàn)榧仁? 的倍數(shù)，又57是 7 的倍數(shù)的數(shù)一定是 35 的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有1000 =28 個(gè)35所以既不能被 5 除盡，又不能被7 除盡的數(shù)有1000-200-142+-28=686 個(gè)【鞏固】 求在 1 至 100 的自然數(shù)中能被3 或 7 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)?！窘馕觥?記 A ： 1100 中 3 的倍數(shù)， 100333L L1，有 33 個(gè)；B：1 100 中 7 的倍數(shù)，

23、100714L L2，有 14 個(gè)；A B ：1100 中 3和 7 的公倍數(shù)，即21 的倍數(shù)， 10021 4L L 16，有 4 個(gè)。依據(jù)公式， 1 100 中 3 的倍數(shù)或7 的倍數(shù)共有33 14443個(gè)，則能被 3 或 7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為 43個(gè).【鞏固】50 名同學(xué)面向老師站成一行老師先讓大家從左至右按1，2， 3， 49， 50 依次報(bào)數(shù)；再讓報(bào)數(shù)是 4 的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6 的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)問：現(xiàn)在面向老師的同學(xué)還有多少名?【解析】 在轉(zhuǎn)過兩次后，面向老師的同學(xué)分成兩類：第一類是標(biāo)號(hào)既不是4 的倍數(shù)，又不是6 的倍數(shù)；第二類是標(biāo)號(hào)既是4 的倍數(shù)又是6 的倍數(shù)15

24、0 之間， 4 的倍數(shù)有50=12,6 的倍數(shù)有50=8，即是 4 的倍數(shù)又是6 的倍數(shù)的數(shù)46一定是 12 的倍數(shù)，所以有50=4于是，第一類同學(xué)有50-12-8+4=34 人，第二類同學(xué)12有 4 人，所以現(xiàn)在共有34+4=38 名同學(xué)面向老師【鞏固】在游藝會(huì)上，有100 名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1 至 100 的獎(jiǎng)券按獎(jiǎng)券標(biāo)簽號(hào)發(fā)放獎(jiǎng)品的規(guī)則如下：（ 1）標(biāo)簽號(hào)為 2 的倍數(shù)，獎(jiǎng) 2 支鉛筆；（ 2）標(biāo)簽號(hào)為 3 的倍數(shù)，獎(jiǎng) 3 支鉛筆；（ 3）標(biāo)簽號(hào)既是 2 的倍數(shù)，又是 3 的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎(jiǎng)；2010 年·暑假 .三年級(jí) . 第 3 講 . 重疊問題教師版page 6 of

25、13（ 4）其他標(biāo)簽號(hào)均獎(jiǎng) 1 支鉛筆那么游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有多少支?【解析】 1 100， 2 的倍數(shù)有100 =50， 3 的倍數(shù)有100=33 個(gè)，因?yàn)榧仁?2 的倍數(shù)，又是 3 的倍數(shù)的23數(shù)一定是 6 的倍數(shù)，所以標(biāo)簽為這樣的數(shù)有100=16 個(gè)于是，既不是 2 的倍數(shù)，又不是3 的6倍數(shù)的數(shù)在 1 100中有 100-50-33+16=33 所以，游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有：50× 2+33× 3+33× 1=232 支 .板塊二、三量重疊問題【例 9】某班學(xué)生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34 人，手中

26、有黃旗的共有 26 人，手中有藍(lán)旗的共有18 人其中手中有紅、 黃、藍(lán)三種小旗的有6 人而手中只有紅、黃兩種小旗的有9 人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有4 人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有3人，那么這個(gè)班共有多少人？【解析】 如圖，用 A 圓表示手中有紅旗的，B 圓表示手中有黃旗的，C 圓表示手中有藍(lán)旗的如果用手中有紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只AB有紅、黃兩種小旗的各重復(fù)計(jì)算了一次，應(yīng)減去，手中有三種顏色小旗的重復(fù)計(jì)算了二次， 也應(yīng)減去， 那么，全班人數(shù)為：（3426 18）（943）C6 2 50(人)【鞏固】 某班有 42人，其中 26人愛打籃球， 17 人愛打排球， 19人愛踢

27、足球， 9人既愛打籃球又愛踢足球，4 人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個(gè)人三種球都愛好，也沒有一個(gè)人三種球都不愛好問：既愛打籃球又愛打排球的有幾人？【解析】 由于全班 42人沒有一個(gè)人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有42人根據(jù)包含排除法， 42 （26 17 19）（9 4 既愛打籃球又愛打排球的人數(shù) ） 0 ，得到既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)為： 49 42 7 ( 人) 【例 10】 四年級(jí)一班有46 名學(xué)生參加3 項(xiàng)課外活動(dòng)其中有24 人參加了數(shù)學(xué)小組，20 人參加了語(yǔ)文小組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的35 倍，又是 3 項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7 倍，既參加

28、文藝小組也參加語(yǔ)文小組的人數(shù)相當(dāng)于3 項(xiàng)都參加的人數(shù)的2 倍，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有10 人求參加文藝小組的人數(shù)【解析】 設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合A，參加語(yǔ)文小組的學(xué)生組成集合B，參加文藝小組的學(xué)生組成集 合G 三 者 都 參 加 的 學(xué) 生 有z人 有A U B U C =46 ， A =24 ， B =20 ， C =3.5 ，AI C=7AI BI C，BI C=2AI BI C， AI B=10因?yàn)锳UBUCABCAIBAICBICAIBIC，所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得 x=3，即三者的都參加的有3 人那么參加文藝小組的有37=21 人【鞏固

29、】五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)其中有25 人參加自然興趣小組，35 人參加美術(shù)興趣小組，27 人參加語(yǔ)文興趣小組，參加語(yǔ)文同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有12 人，參加自然同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有8 人，參加自然同時(shí)又參加語(yǔ)文興趣小組的有9 人，語(yǔ)文、美術(shù)、自然3 科興趣小組都參加的有4 人求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)【解析】 設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合A，參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語(yǔ)文興趣小組的2010 年·暑假 .三年級(jí) . 第 3 講 . 重疊問題教師版page 7 of 13人組成集合 CA =25， B =35， C =27， BIC =12， AI B

30、 =8， AIC =9，A IBI C =4.AUBUC=A B C AI B AI C BIC AI BI C.所以，這個(gè)班中至少參加一項(xiàng)活動(dòng)的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個(gè)班每人至少參加一項(xiàng)即這個(gè)班有 62 人【鞏固】 五年級(jí)三班有46 名學(xué)生參加三項(xiàng)課外活動(dòng)，其中24 人參加了繪畫小組，20 人參加了合唱小組，參加朗誦小組的人數(shù)是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數(shù)的3.5 倍，又是三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7 倍，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)相當(dāng)于三項(xiàng)都參加人數(shù)的2倍，既參加繪畫小組又參加合唱小組的有10 人，求參加朗誦小組的人數(shù)。【解析】 設(shè)三項(xiàng)都參加的人數(shù)有X 人

31、，則參加朗誦小組的人數(shù)為7X 人，參加繪畫小組又參加朗誦小組的人數(shù)為 2X 人，參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)為2X 人，于是有 46=（ 24+20+7X-2X-2X-10+X ），解得 X=3, 所以參加朗誦小組的人數(shù)為21 人?！纠?11】 三個(gè)面積均為50平方厘米的圓紙片放在桌面上( 如圖 ) ，三個(gè)紙片共同重疊的面積是10平方厘米三個(gè)紙片蓋住桌面的總面積是100厘米問：圖中陰AB影部分面積之和是多少？10【解析】 將圖中的三個(gè)圓標(biāo)上A 、 B 、 C 根據(jù)包含排除法，三個(gè)紙片蓋住桌面的總面積( A圓面積B 圓面積C 圓面積 ）（ A 與 B 重合部分面積A與 C重C合部分面積B 與

32、 C 重合部分面積） 三個(gè)紙片共同重疊的面積，得：100（505050）（ A 與 B 重合部分面積A 與 C 重合部分面積B 與 C 重合部分面積 ） 10，得到 A 、 B 、 C 三個(gè)圓兩兩重合面積之和為：160100 60 平方厘米，而這個(gè)面積對(duì)應(yīng)于圓上的那三個(gè)紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即： 60103 陰影部分面積， 則陰影部分面積為：6030 30( 平方厘米 ) 【鞏固】 如圖，已知甲、乙、丙3 個(gè)圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6， 8， 5，而 3 個(gè)圓覆蓋的總面積為73求陰影部分的面積【解析】 設(shè)甲圓組成集合A，乙圓組成集合 B

33、，丙圓組成集合CABC =30， AI B =6， BI C =8， AI C =5， AU BUC =73，而 AUBUC =A B C AIB BIC AIC AIBIC.有 73=30× 3-6-8-5+AI BIC，即 AIB I C =2，即甲、乙、丙三者的公共面積( 部分面積 )為 2那么只是甲與乙 ( ) ，乙與丙 ( ) ，甲與丙 ( ) 的公共的面積依次為6-2=4 ，8-2=6 ，5-2=3 ，所以有陰影部分 ( 、部分之和) 的面積為 73-4-6-3-2=58【例 12】 如圖，三角形紙板、 正方形紙板、 圓形紙板的面積相等，都等于 60平方厘米 陰影部分的面

34、積總和是40 平方厘米，3 張板蓋住的總面積是100 平方厘米， 3 張紙板重疊部分的面積是多少平方厘米？【解析】 陰 影部分是有兩塊重疊的部分，被計(jì)算兩次，而三張紙重疊部分是被計(jì)算了三次所以三張紙重疊部分的面積（60 310040） 220( 平方厘米 ) 【鞏固】 如圖所示， A 、 B 、 C 分別是面積為12、 28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為38若 A 與 B 、 B 與 C 的公共部分的面積分別為8 、7， A、 B、 C這三張紙片的公共部分為3求 A 與 C 公共部分的面積是多少？【解析】 設(shè) A 與 C 公共部分的面積為 x ，由包含與排除原理

35、可得：A 先“包含” ：把圖形 A 、 B 、 C 的面積相加：12 281656 ，那么B2010 年·暑假 .三年級(jí) . 第 3 講 . 重疊問題教師版page 8 of 13C每?jī)蓚€(gè)圖形的公共部分的面積都重復(fù)計(jì)算了1次，因此要排除掉 再“排除”： 5687x ，這樣一來(lái)，三個(gè)圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補(bǔ)回 再“包含”： 5687 x 3，這就是三張紙片覆蓋的面積根據(jù)上面的分析得：56 8 7 x 338 ，解得： x6 【例 13】 在某個(gè)風(fēng)和日麗的日子，10 個(gè)同學(xué)相約去野餐， 每個(gè)人都帶了吃的，其中 6 個(gè)人帶了漢堡，6個(gè)人帶了雞腿，4 個(gè)人帶了芝士蛋糕，有3個(gè)人

36、既帶了漢堡又帶了雞腿，1 個(gè)人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕2個(gè)人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕問： 三種都帶了的有幾人？ 只帶了一種的有幾個(gè)？【解析】 如圖，用 A 圓表示帶漢堡的人，B 圓表示帶雞腿的人，C 圓表示帶芝士蛋糕的人A 根據(jù)包含排除法， 總?cè)藬?shù) （ 帶漢堡的人數(shù)帶雞腿的人數(shù)帶芝士蛋B糕的人數(shù) ）（ 帶漢堡、雞腿的人數(shù)帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)） 三種都帶了的人數(shù)，即C10 （664）（321） 三種都帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù)為： 10100(人) 求只帶一種的人數(shù)，只需從10 人中減去帶了兩種的人數(shù)，即10 （321）4( 人) 只帶了一種的有4人【鞏固】 盛夏的一

37、天，有10 個(gè)同學(xué)去冷飲店，向服務(wù)員交了一份需要冷飲的統(tǒng)計(jì)表：要可樂、雪碧、橙汁的各有 5 人；可樂、雪碧都要的有3人；可樂、橙汁都要的有2 人；雪碧、橙汁都要的有2 人；三樣都要的只有1 人，證明其中一定有1人這三種飲料都沒有要【解析】 根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)( 要可樂的人數(shù)要雪碧的人數(shù)要橙汁的人數(shù) ) ( 要可樂、 雪碧的人數(shù)要可樂、 橙汁的人數(shù)要雪碧、 橙汁的人數(shù) )三種都要的人數(shù)， 即至少要了一種飲料的人數(shù)為： （555）（322） 19 (人)1091( 人 ) ，所以其中有1人這三種飲料都沒有要【例 14】 (2008 年西城實(shí)驗(yàn)考題 ) 新年聯(lián)歡會(huì)上， 共有

38、90人參加了跳舞、 合唱、演奏三種節(jié)目的演出如果只參加跳舞的人數(shù)三倍于只參加合唱的人數(shù)；同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時(shí)參加演奏、跳舞但沒有參加合唱的人多4 人； 50 人沒有參加演奏； 10人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒有參加演奏；40 人參加了合唱；那么，同時(shí)參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的有_人【鞏固】 設(shè)只參加合唱的有x 人，那么只參加跳舞的人數(shù)為3x ，由50人沒有參加演奏、10人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為50 10 40 人，即x 3x 40 ，得 x10，所以只參加合唱的有10人，那么只參加跳舞的人數(shù)為30

39、人，又由“同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人”，得到同時(shí)參加三項(xiàng)的有3 人，所以參加了合唱的人中“同時(shí)參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的”有：401010317人【鞏固】 五一班有 28 位同學(xué)，每人至少參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、自然課外小組中的一個(gè)。其中僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，沒有同學(xué)僅參加語(yǔ)文或僅參加自然小組，恰有6個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)與自然小組但不參加語(yǔ)文小組，僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)是3 個(gè)小組全參加的人數(shù)的 5倍，并且知道3 個(gè)小組全參加的人數(shù)是一個(gè)不為0 的偶數(shù)，那么僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的人有多少人？【解析】 參加 3 個(gè)小組的人數(shù)是一個(gè)不為0 的偶數(shù)，如果該數(shù)

40、大于或等于4，那么僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)則大于等于20，而僅參加數(shù)學(xué)與自然小組的人有6 個(gè)，這樣至少應(yīng)有30 人，與題意矛盾， 所以參加3 個(gè)小組的人數(shù)為2。僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)為10，于是僅參加語(yǔ)文與自然、 僅參加數(shù)學(xué)與自然和參加3 個(gè)小組的人數(shù)一共是18 人，剩下的 10人是僅參加2010 年·暑假 .三年級(jí) . 第 3 講 . 重疊問題教師版page 9 of 13數(shù)學(xué)與語(yǔ)文以及僅參加數(shù)學(xué)的。由于這兩個(gè)人數(shù)相等，所以僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的有5人?！眷柟獭?某學(xué)校派出若干名學(xué)生參加體育競(jìng)技比賽，比賽一共只有三個(gè)項(xiàng)目，已知參加長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍三個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)分別為10、 1

41、5、20 人，長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍每一項(xiàng)的的參加選手中人中都有五分之一的人還參加了別的比賽項(xiàng)目，求這所學(xué)校一共派出多少人參加比賽？【解析】 由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2 人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人 體育 55人 17 文藝 56人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4 人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和415 x跳高的人數(shù)為x，只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y，只參加標(biāo)槍和跳高的有z 人，三項(xiàng)都參加的有n 人. 那么有以下方程組：科學(xué) 51人由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2 人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4 人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為x，只參加

42、長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y，只參加標(biāo)槍和跳高的有 z 人，三項(xiàng)都參加的有n 人. 那么有以下方程組：xyn2xzn3zyn4將 3 條等式相加則有 2（ x+y+z ）+3n=9，由這個(gè)等式可以得到， n 必須是奇數(shù)，所以， n 只能是 1 或 3、 5、 7，如果 n 3 時(shí) x、y、 z 中會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù) . 所以 n=1，這樣可以求得 x=0， y=1， z=2.由此可得到這個(gè)學(xué)校一共派出了10+15+20-0-1-2-2× 1=40 人 .將 3 條等式相加則有 2（x+y+z ）+3n=9，由這個(gè)等式可以得到， n 必須是奇數(shù)，所以， n 只能是 1 或 3、 5、7，如果 n 3

43、時(shí) x、 y、 z 中會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù) . 所以 n=1，這樣可以求得 x=0， y=1，z=2.由此可得到這個(gè)學(xué)校一共派出了10+15+20-0-1-2-2× 1=40 人.【例 15】 全班有 25個(gè)學(xué)生，其中17人會(huì)騎自行車，13人會(huì)游泳， 8 人會(huì)滑冰，這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒有人全會(huì)，至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有6 個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，那么， 數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾個(gè)學(xué)生？ 有幾個(gè)人既會(huì)游泳，又會(huì)滑冰？【解析】 有 6 個(gè)數(shù)學(xué)不及格，那么及格的有：25619 ( 人 ) ，即最多不會(huì)超過19人會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一而又因?yàn)闆]人全會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，那么，最少也會(huì)有：（17138） 219 ( 人 ) 至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一