《離散數(shù)學(xué)》試題及答案

1、一、填空題 1 設(shè)集合A,B，其中A1,2,3, B= 1,2, 則A - B_3_; r(A) - r(B) _3,1,3,2,3,1,2,3_ .2. 2. 設(shè)有限集合A, |A| = n, 則 |r(AA)| = _3. 設(shè)集合A = a, b, B = 1, 2, 則從A到B的所有映射是_a1= (a,1), (b,1), a2= (a,2), (b,2),a3= (a,1), (b,2), a4= (a,2), (b,1);_, 其中雙射的是_a3, a4._4. 已知命題公式G(PQ)R，則G的主析取范式是_(PQR)_.5.設(shè)G是完全二叉樹，G有7個(gè)點(diǎn)，其中4個(gè)葉點(diǎn)，則G的總度數(shù)

2、為_12_，分枝點(diǎn)數(shù)為_3_.6 設(shè)A、B為兩個(gè)集合, A= 1,2,4, B = 3,4, 則從AB_4_; AB_1, 2, 3, 4_;AB _1, 2_ .3. 7. 設(shè)R是集合A上的等價(jià)關(guān)系，則R所具有的關(guān)系的三個(gè)特性是_自反性；對(duì)稱性；傳遞性_.8. 設(shè)命題公式G(P(QR)，則使公式G為真的解釋有_(1, 0, 0)_，_ _(1, 0, 1)_, _(1, 1, 0)_.9. 設(shè)集合A1,2,3,4, A上的關(guān)系R1 = (1,4),(2,3),(3,2), R1 = (2,1),(3,2),(4,3), 則R1R2 = _(1,3),(2,2),(3,1)_,R2R1 =_(

3、2,4),(3,3),(4,2)_ _,R12 =_(2,2),(3,3)_.4. 10. 設(shè)有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 則| |r(AB)| = _2mn_.11 設(shè)A,B,R是三個(gè)集合，其中R是實(shí)數(shù)集，A = x | -1x1, xR, B = x | 0x 2, xR,則A-B = _x | -1x 0, xR_ , B-A = _x | 1 x 6 (D)下午有會(huì)嗎？5 設(shè)I是如下一個(gè)解釋：Da,b, 則在解釋I下取真值為1的公式是( D ).(A)$xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)x$yP(x,y).6. 若供選擇答案中的

4、數(shù)值表示一個(gè)簡單圖中各個(gè)頂點(diǎn)的度，能畫出圖的是( C ).(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).7. 設(shè)G、H是一階邏輯公式，P是一個(gè)謂詞，G$xP(x), HxP(x),則一階邏輯公式GH是( C ).(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可滿足的 (D)前束范式.8 設(shè)命題公式G(PQ)，HP(QP)，則G與H的關(guān)系是( A )。(A)GH (B)HG (C)GH (D)以上都不是.9 設(shè)A, B為集合，當(dāng)( D )時(shí)ABB.(A)AB(B)AB(C)BA(D)AB.10 設(shè)集合A = 1,2,3,4

5、, A上的關(guān)系R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4), 則R具有( B )。(A)自反性 (B)傳遞性(C)對(duì)稱性 (D)以上答案都不對(duì)11 下列關(guān)于集合的表示中正確的為( B )。(A)aa,b,c (B)aa,b,c(C)a,b,c (D)a,ba,b,c12 命題xG(x)取真值1的充分必要條件是( ).(A) 對(duì)任意x，G(x)都取真值1. (B)有一個(gè)x0，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不對(duì).13. 設(shè)G是連通平面圖，有5個(gè)頂點(diǎn)，6個(gè)面，則G的邊數(shù)是( A ).(A) 9條 (B) 5條 (C) 6條 (D) 11條.14.

6、 設(shè)G是5個(gè)頂點(diǎn)的完全圖，則從G中刪去( A )條邊可以得到樹.(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15. 設(shè)圖G的相鄰矩陣為，則G的頂點(diǎn)數(shù)與邊數(shù)分別為( D ).(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.三、計(jì)算證明題1.設(shè)集合A1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12，R為整除關(guān)系。(1) 畫出半序集(A,R)的哈斯圖；(2) 寫出A的子集B = 3,6,9,12的上界，下界，最小上界，最大下界；(3) 寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元。(1) (2) B無上界，也無最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A無最大元，最小元是1，極大元8,

7、 12, 90+; 極小元是1.2. 設(shè)集合A1, 2, 3, 4，A上的關(guān)系R(x,y) | x, yA 且 x y, 求 (1) 畫出R的關(guān)系圖；(2) 寫出R的關(guān)系矩陣.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)3. 設(shè)R是實(shí)數(shù)集合，s,t,j是R上的三個(gè)映射，s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) x/4,試求復(fù)合映射st，ss, sj, jt，sjt. (1)sts(t(x)t(x)+32x+32x+3.(2)sss(s(x)s(x)+3(x+3)+3x+6,(3)sj

8、s(j(x)j(x)+3x/4+3, (4)jtj(t(x)t(x)/42x/4 = x/2,(5)sjts(jt)jt+32x/4+3x/2+3.4. 設(shè)I是如下一個(gè)解釋：D = 2, 3, abf (2)f (3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011試求 (1) P(a, f (a)P(b, f (b);(2) x$y P (y, x).(1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2)= P(3, 2)P(2, 3)= 10= 0. (2) x$y P (y, x) = x (P (2, x)P (3, x)

9、 = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. 設(shè)集合A1, 2, 4, 6, 8, 12，R為A上整除關(guān)系。(1) 畫出半序集(A,R)的哈斯圖；(2) 寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元；(3) 寫出A的子集B = 4, 6, 8, 12的上界，下界，最小上界，最大下界.1)(2) 無最大元，最小元1，極大元8, 12; 極小元是1.(3) B無上界，無最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. 設(shè)命題公式G = (PQ)(Q(PR), 求G的主析取范式。G = (PQ)(Q(PR)= (PQ)(Q(PR)= (PQ)

10、(Q(PR)= (PQ)(QP)(QR)= (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)= (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)= m3m4m5m6m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).7. (9分)設(shè)一階邏輯公式：G = (xP(x)$yQ(y)xR(x)，把G化成前束范式.G = (xP(x)$yQ(y)xR(x)= (xP(x)$yQ(y)xR(x)= (xP(x)$yQ(y)xR(x)= ($xP(x)yQ(y)zR(z)= $xyz(P(x)Q(y)R(z)9. 設(shè)R是集合A = a, b, c, d. R是A上的二元關(guān)系, R = (a,b),

11、(b,a), (b,c), (c,d),(1) 求出r(R), s(R), t(R)；(2) 畫出r(R), s(R), t(R)的關(guān)系圖.(1) r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)關(guān)系圖:11. 通過求主析取范式判斷下列命題公式是否等價(jià)：(1) G = (PQ)

12、(PQR) (2) H = (P(QR)(Q(PR)G(PQ)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)m6m7m3 (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q(PR)(PQ)(QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)m6m3m7 (3, 6, 7)G,H的主析取范式相同，所以G = H.13. 設(shè)R和S是集合Aa, b, c, d上的關(guān)系，其中R(a, a),(a, c),(b, c),(c, d), S(a, b),(b, c),(b, d),(d, d).(1) 試寫出R和S的關(guān)系矩陣；(2) 計(jì)算RS, RS, R1, S1R1.(

13、1) (2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四、證明題1. 利用形式演繹法證明：PQ, RS, PR蘊(yùn)涵QS。證明：PQ, RS, PR蘊(yùn)涵QS(1) PRP(2) RPQ(1)(3) PQP(4) RQQ(2)(3)(5) QRQ(4)(6) RSP(7) QSQ(5)(6)(8) QSQ(7)2. 設(shè)A,B為任意集合，證明：(A-B)-C = A-(BC).證明：(A-B)-C = (AB)C

14、 = A(BC)= A(BC)= A-(BC)3. (本題10分)利用形式演繹法證明：AB, CB, CD蘊(yùn)涵AD。證明：AB, CB, CD蘊(yùn)涵AD(1) AD(附加)(2) ABP(3) BQ(1)(2)(4) CBP(5) BCQ(4)(6) CQ(3)(5)(7) CDP(8) DQ(6)(7)(9) ADD(1)(8)所以 AB, CB, CD蘊(yùn)涵AD.4. (本題10分)A, B為兩個(gè)任意集合，求證：A(AB) = (AB)B .4. 證明：A(AB) = A(AB)A(AB)(AA)(AB)(AB)(AB)AB而 (AB)B= (AB)B= (AB)(BB)= (AB)= AB所

15、以：A(AB) = (AB)B.參考答案一、填空題1. 3; 3,1,3,2,3,1,2,3. 2. .7. a1= (a,1), (b,1), a2= (a,2), (b,2),a3= (a,1), (b,2), a4= (a,2), (b,1); a3, a4.8. (PQR).9. 12, 3. 10. 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2. 11. 自反性；對(duì)稱性；傳遞性.12. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).13. (1,3),(2,2),(3,1); (2,4),(3,3),(4,2); (2,2),(3,3).14. 2mn.15. x | -

16、1x 0, xR; x | 1 x 2, xR; x | 0x1, xR.16. 12; 6.17. (2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6).18. $x(P(x)Q(x).19. 21.20. (R(a)R(b)(S(a)S(b).21. (1, 3),(2, 2); (1, 1),(1, 2),(1, 3). 二、選擇題 1. C. 2. D. 3. B. 4. B.5. D. 6. C. 7. C.8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A.15. D三、計(jì)算證明題1. (1)(2)

17、 B無上界，也無最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A無最大元，最小元是1，極大元8, 12, 90+; 極小元是1.2.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)3. (1)sts(t(x)t(x)+32x+32x+3.(2)sss(s(x)s(x)+3(x+3)+3x+6,(3)sjs(j(x)j(x)+3x/4+3, (4)jtj(t(x)t(x)/42x/4 = x/2,(5)sjts(jt)jt+32x/4+3x/2+3.4. (1) P(a, f (a)P(b, f (b

18、) = P(3, f (3)P(2, f (2)= P(3, 2)P(2, 3)= 10= 0. (2) x$y P (y, x) = x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. (1)(2) 無最大元，最小元1，極大元8, 12; 極小元是1.(3) B無上界，無最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. G = (PQ)(Q(PR)= (PQ)(Q(PR)= (PQ)(Q(PR)= (PQ)(QP)(QR)= (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)= (PQR

19、)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)= m3m4m5m6m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).7. G = (xP(x)$yQ(y)xR(x)= (xP(x)$yQ(y)xR(x)= (xP(x)$yQ(y)xR(x)= ($xP(x)yQ(y)zR(z)= $xyz(P(x)Q(y)R(z)9. (1) r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)關(guān)系圖:11.